§1向量的内积,长度及正交性

1向量的内积、长度及正交性,主要内容：一、向量内积的定义及其性质二、向量的长度及其性质三、正交向量组的定义及其性质四、正交向量组的求解五、正交矩阵的定义及其性质六、正交变换的定义,1向量的内积、长度及正交性,定义:设有n维向量令x,y=x1y1+x2y2+xnyn=xTy,x,y称为向量x与y的内积.,1向量的内积、长度及正交性,例,1向量的内积、长度及正交性,内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,为实数):()x,y=y,x;()x,y=x,y;()x+y,z=x,z+y,z;()当x=o,x,x=0;当xo,x,x0.,1向量的内积、长度及正交性,定义:施瓦茨(Schwarz)不等式x,y2x,xy,y.定义:令xx称为n维向量x的长度(或范数).定义:当x=1时,称x为单位向量.,1向量的内积、长度及正交性,例,1向量的内积、长度及正交性,向量的长度具有下述性质:()非负性当xo时x0,当x=o时,x=0;()齐次性x=|x;()三角不等式x+yx+y.,1向量的内积、长度及正交性,定义:当x0,y0时,称为n维向量x与y的夹角.定义:当x,y=0时,称向量x与y正交.,1向量的内积、长度及正交性,例,1向量的内积、长度及正交性,说明:当x=o时,x与任何向量都正交.定义:所谓正交向量组,是指一组两两正交的非零向量.定理若n维向量a1,a2,ar是一组两两正交的非零向量,则a1,a2,ar线性无关.,1向量的内积、长度及正交性,例已知三维向量空间中两个向量正交,试求一个非零向量a3,使a1,a2,a3两两正交.解设记,1向量的内积、长度及正交性,1向量的内积、长度及正交性,定义:设n维向量e1,e2,er是向量空间V(VRn)的一个基,如果e1,e2,er两两正交,且都是单位向量,则称e1,e2,er是V的一个规范正交基.,就是R4的一个规范正交基.,例,1向量的内积、长度及正交性,定义:设a1,a2,ar是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基.也就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,er,使e1,e2,er与a1,a2,ar等价.这样的问题称为把a1,a2,ar这个基规范正交化.,1向量的内积、长度及正交性,容易验证b1,b2,br两两正交,且b1,b2,br与a1,a2,ar等价.,把a1,a2,ar这个基规范正交化的方法,1向量的内积、长度及正交性,定义:从线性无关向量组a1,a2,ar导出正交向量组b1,b2,br的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.说明:(1)b1,b2,br与a1,a2,ar等价,(2)还满足对任何k(1kr),向量组b1,b2,bk与a1,a2,ak等价.,1向量的内积、长度及正交性,例,1向量的内积、长度及正交性,1向量的内积、长度及正交性,1向量的内积、长度及正交性,定义:如果n阶矩阵A满足ATA=E(即A-1=AT),那么称为A正交矩阵,简称正交阵.将ATA=E用列向量表示,即,1向量的内积、长度及正交性,1向量的内积、长度及正交性,说明:(1)方阵A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是单位向量,且两两正交.(2)方阵A为正交矩阵的充要条件是A的行向量都是单位向量,且两两正交.,1向量的内积、长度及正交性,例,1向量的内积、长度及正交性,正交矩阵具有下列性质:()若A为正交矩阵,则A-1=AT也是正交矩阵,且|A|=1或(-1);()若A和B都为正交矩阵,则A和B也是正交矩阵.,1向量的内积、长度及正交性,定义:若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换.说明:,1向量的内积、长度及正交性,总结1将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然