1.2概率的定义及性质

概率论与数理统计,1.2概率定义及性质率,公理化定义,统计定义,描述性定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,历史上概率的三次定义,一、概率的描述性定义,。,二、概率的统计定义,1.频率的概念,频率反映了事件A在一次试验中发生的可能性大小，频率大，事件A在一次试验中发生的可能性就大；频率小，事件A在一次试验中发生的可能性就小。,逐渐稳定,频率的稳定性,事件发生的概率,事件发生的频率,根据如下百年统计资料可得世界每年发生大地震的概率,2.频率的应用,近百年世界重大地震,1905.04.04克什米尔地区8.088万1906.08.17智利瓦尔帕莱索港地区8.42万1917.01.20印度尼西亚巴厘岛1.5万1920.12.16中国甘肃8.610万1923.09.01日本关东地区7.914.2万1935.05.30巴基斯坦基达地区7.55万,“重大”的标准,震级7级左右,死亡5000人以上,1948.06.28日本福井地区7.30.51万1970.01.05中国云南7.71万1976.07.28中国河北省唐山7.824.2万1978.09.16伊朗塔巴斯镇地区7.91.5万1995.01.17日本阪神工业区7.20.6万1999.08.17土耳其伊兹米特市7.41.7万2003.12.26伊朗克尔曼省6.83万2004.12.26印尼苏门答腊岛附近海域9.015万,世界每年发生大地震概率约为14%,3.频率的统计定义,对本定义的评价,优点：直观易懂,缺点：粗糙模糊,不便使用,注:“频率的极限就是概率”这句话是不正确,从频率的定义可见频率具有如下性质,（）非负性,（）规范性,（）可加性,可加性可以推广到任意有限多个两两互不相容事件。,4.频率的性质,（4）,（5）,（6）,则,若,三、概率的公理化定义,定义1.2.3定义在事件域F上的一个集合函数,称为概率。,非负性：,3.可列可加性：,2.规范性：,如果它满足如下三个条件：,若,且两两互不相容,有,（1）不可能事件的概率为0，即,逆命题不一定成立，即概率为0的事件不一定是不可能事件。,（2）有限可加性,两两互不相容,（3）,四、概率的性质,（4）减法公式，,推论1：,推论2：,任一事件A，,（5）一般加法公式，对任意两事件A、B，有,推论2：,推论3：,任一事件A，B,推论1：,推论3：,注:由可列可加性可以推出有限可加性，但是一般来说由有限可加性并不能推出可列可加性,例1.2.1设A,B,互不相容，且,试求:,例1.2.2设,试求:,例1.2.3设A,B,C为三个事件,且,证明:,例1.2.4设,试求:,A,B,C为三个事件至少有一个发生的概率.,例1.2.5设A,B,C为三个事件,证明,柯尔莫哥洛夫,(A.H.1903-1987),1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德等国的外籍院士及皇家学会会员.为20世纪最有影响的俄国数学家.,俄国数学家,柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献.,他建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础.,他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括:,20年代关于强大数定律、重对数律的基本工作;,1933年在概率论的基本概念一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题),30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程;,用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论;,40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;,在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理论;,50年代中期开创了研究函数特征的信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德的工作解决并深化了希尔伯特第13问题用较少变量的函数表示较多变量的函数;,1980年由于它在调和分析,概率论,遍历理论及动力系统方面出色的工作获沃尔夫奖;,他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同