第八章-离散时间系统的相位、结构与状态变量描述.ppt

数字信号处理,电器信息工程学院蔡超峰,信号分析：把信号分解成它的各个组成分量或成分，以及它们各自包含什么样的特征信息等有关的概念、理论和方法。信号处理：按照某种需要或目的，对信号进行特定的加工、提炼和修改等。系统分析：在给定系统的情况下，研究系统对输入信号所产生的响应，并由此获得对系统功能和特性的认识。系统综合：在给定系统功能和特性的情况下，或者已知系统在什么样的输入时应该有什么样的输出，设计并实现这样的系统。,引言,第八章离散时间系统的相位、结构与状态变量描述,离散时间系统的相频响应FIR系统的线性相位特性具有线性相位特性的FIR系统的零点分布全通系统与最小相位系统谱分解,离散时间系统的频率响应包含幅频响应和相频响应两部分。幅频响应反映了信号x(n)通过系统后各频率成分的衰减情况，相频响应反映了信号x(n)中各频率成分通过系统后在时间上发生的位移情况。一个理想的离散时间系统，除了具有所希望的幅频响应外，最好还能有线性相位。具有线性相位的离散时间系统的相频响应满足：其中k为常数。假设该系统的幅频响应等于1，当信号x(n)通过该系统后，输出信号x(n)的频率响应为：,1.离散时间系统的相频响应,H(j)更一般的表达式为：其中|H(j)|为幅频响应，()为相频响应。如果令x(n)=Acos(0n+)，则系统的输出为：为了简单，假定A|H(j)|=1，则表示的输出相对输人的时间延迟。通常定义为系统的相位延迟（phasedelay）。再定义为系统的群延迟（groupdelay）。如果()=-k,则如果()=-k+，则,1.离散时间系统的相频响应,如果系统的单位冲激响应满足，则有频率响应始终为实数，所以该系统具有零相频响应。另外，采取一些特殊的措施也可以做到零相频响应。,1.离散时间系统的相频响应,当FIR系统的单位冲激响应满足时，该系统具有线性相位。证明：第一种情况：，且N为奇数（类型滤波器）,2.FIR系统的线性相位特性,令m=N-1-n,2.FIR系统的线性相位特性,令n=(N-1)/2-m,令,则这是一个线性相位系统，且第二种情况：，且N为偶数（类型滤波器）其中这也是一个线性相位系统，且,2.FIR系统的线性相位特性,第三种情况：，且N为奇数（类型滤波器）其中这是一个线性系统，且第四种情况：，且N为偶数（类型滤波器）其中这是一个线性系统，且,2.FIR系统的线性相位特性,当FIR系统的单位冲激响应满足对称条件，即，则有令m=N-1-n，代入上式则有,3.具有线性相位特性的FIR系统的零点分布,由上式可以看出，H(z)的零点也是H(z-1)的零点，反之亦然。令zk=rkejk为H(z)的一个零点，则有当k0和，且rk1时，zk在单位圆内；易知，(zk)*、1/zk和1/(zk)*也是H(z)的零点，这四个零点构成一个四阶系统：,0,zk,当k=0或，且rk1时，zk在实轴上；此时zk=rk，它没有共轭零点存在，但在实轴上有镜像零点1/rk,这两个零点构成一个二阶系统：,3.具有线性相位特性的FIR系统的零点分布,当k0或，且rk=1时，zk在单位圆上；此时zk=ejk，它没有镜像对称零点存在，但有一个共轭对称零点ejk,这两个零点构成一个二阶系统：,当k=0或，且rk=1时，zk在实轴与单位圆的交点上；此时zk=1或-1，它没有共轭零点存在，也没有镜像零点存在,它构成最简单的一阶系统：一个具有线性相位的FIR系统，其系统函数可表述为上述各式的级联，即,3.具有线性相位特性的FIR系统的零点分布,已知，进一步考察H(z)在z=1和z=-1处的幅频响应。对类型滤波器：由于N为奇数，故N-1为偶数，当z=1和z=-1时有如果|H(1)|=0，那么该系统将具有高通或带通的幅频特性；如果|H(-1)|=0，那么该系统将具有低通或带通的幅频特性。对类型滤波器：由于N为偶数，故N-1为奇数，当z=1和z=-1时有此时z可以为1，但不能为-1，除非z=-1是零点。因此该系统可以具有低通或带通的幅频特性，但不能具有高通或带阻型的幅频特性。,3.具有线性相位特性的FIR系统的零点分布,对类型滤波器：由于N为奇数，故N-1为偶数，当z=1和z=-1时有因此z=1和z=-1均必须为零点，该系统只能具有带通型的频谱特性。对类型滤波器：由于N为偶数，故N-1为奇数，当z=1和z=-1时有此时z可以为-1，但不能为1，除非z=1是零点。因此该系统可以具有高通或带通的幅频特性，但不能具有低通或带阻型的幅频特性。,3.具有线性相位特性的FIR系统的零点分布,如果一个系统的幅频响在整个频率范围内都等于1或一个常数，则该系统称为全通系统（allpasssystem）。在数字信号处理中，全通系统通常用来校正系统的相位。信号通过某个系统时，如果该系统的相位是非线性的，可将其与一个全通系统级联，后者不影响整个系统的幅频特性，但可以对相位进行补偿，从而使得整个系统的相频特性接近线性。全通系统的频率响应可以写为：这表明它仅改变输入信号的相位特性，而不改变其幅度特性。一个最简单的全通系统为：由该系统得到的输出信号是输入信号的简单延迟。,4.全通系统与最小相位系统,考察一阶全通系统：系统的频率响应为:易知该系统的零点、极点均落在实轴上，其中零点在1/a处，极点在a处，它们互为倒数。如果系统是稳定的，则极点a应落在单位圆内，即有0|a|1。,4.全通系统与最小相位系统,a,1/a,考察二阶全通系统：易知该系统的零点和极点均以共轭对形式出现，且零点和极点关于单位圆镜像对称均。如果系统是稳定的，则极点b应落在单位圆内，即有0|b|1。,4.全通系统与最小相位系统,b,X,b*,1/b,1/b*,一般来说，高阶全通系统可由若干个一阶系统和二阶系统级联而成：上式中为正常数。一个N阶全通系统的系统函数也可表示为：,4.全通系统与最小相位系统,b,X,b*,1/b,1/b*,定义上式的分母多项式为A(z)，则,频率响应满足：全通系统的特点：全通系统都是IIR系统（不考虑）；全通系统的零点和极点数目相等；为保证系统稳定，所有的极点都在单位圆内。因此，所有的零点都在单位圆外；,4.全通系统与最小相位系统,由于全通系统的每一对极零点都关于单位圆镜像对称，且零点在单位圆外，因此，当由0变到时，相频响应是单调递减的。全通系统的群延迟始终为正值。一个因果的、稳定的离散时间系统，其极点必需位于单位圆内，而对零点没有要求。如果系统函数H(z)的所有零点都在单位圆内，则称该系统为最小相位系统；如果所有零点都在单位圆外，则称该系统为最大相位系统；如果在单位圆内外都有零点，则称该系统为混合相位系统。,4.全通系统与最小相位系统,4.全通系统与最小相位系统,最小相位系统的性质：性质一：任何一个非最小相位系统H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成，即证明：假设H(z)有一个零点在单位圆外，该零点记为z=1/z0，|z0|1,其余的零极点均在单位圆内，那么H(z)可表示为：其中H1(z)是最小相位系统，上式还可表示为：,4.全通系统与最小相位系统,由于|z0|1，所以是最小相位系统，记为，而为全通系统。上述做法实际上是把H(z)在单位圆外的零点z=1/z0反射到单位圆内，使之成为Hmin(z)的零点。H(z)和Hmin(z)具有相同的幅频响应。,4.全通系统与最小相位系统,性质二：在一组具有相同幅频响应的因果稳定系统中，最小相位系统对于轴（即零相位）具有最小的相位偏移。性质三：在一组具有相同幅频响应的因果稳定系统中，最小相位系统的响应延迟与能量延迟最小。令h(n)为所有具有相同幅频响应的离散时间系统的单位冲激响应，hmin(n)是其中最小相位系统的单位冲激响应，并定义单位冲激响应的累积能量为：则有帕什瓦尔定理告诉我们，时域的能量等于频域的能量。由上式可知，最小相位系统的单位冲激响应的能量集中在n为较小值的范围内，也就是说具有最小的延迟。,4.全通系统与最小相位系统,习题：给定三个稳定的因果系统，它们具有相同的极点分布，即p1=0.9和p2=-0.9。零点分布则有三种情况。最小相位系统：全部零点都在单位圆内；最大相位系统：零点分布在单位圆内外；混合系统：全部零点分布在单位圆外。图中。,最小相位系统,最大相位系统,混合系统,z0,z0,4.全通系统与最小相位系统,为保证三者具有相同的幅频响应，其系统函数可写为：,4.全通系统与最小相位系统,4.全通系统与最小相位系统,性质四：给定一个稳定的因果系统H(z)=N(z)/D(z),定义其逆滤波器为HIV(z)=1/H(z)=D(z)/N(z),当且仅当H(z)是最小相位系统时，HIV(z)才是因果稳定的，即物理可实现的。,5.谱分解,如果有一个最小相位系统则我们可以得到一个最大相位系统二者具有相同的幅频响应，即我们还可以得到两个混合相位系统它们和、具有相同的幅频响应。,5.谱分解,定义，显然P(z)的零点以单位圆镜像对称，如果它有复零点，