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正六边形中正六边形的个数详解把正六边形的各边n等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样，正六边形就变成了由许多相同的小正三角形组成的网格状图形。通过仔细观察可以发现，网格中不仅有小正三角形，还有许多大小不同的正六边形。那么网格中一共有多少个大小不同的正六边形呢？这是一个有趣又有一定难度的数数问题，通过分析解答该题可以锻炼我们的观察分析能力和归纳推理能力。我们还是从研究分析简单的情形入手，最后归纳出一般的公式。如图，把正六边形的各边2等分，用线段依次连接相隔一边的两边上的对应分点,使与所夹边平行。这样，正六边形就变成了由有限个相同的小正三角形组成的网格状图形。图中一共有多少个大小不同的正六边形呢？通过观察分析可以发现，图中既有边长为1（图中小正三角形的边长规定为1个单位长度）的正六边形，又有边长为2的正六边形。下面我们从上到下逐行数出边长为1和边长为2的正六边形的个数。（为便于说明，我们用正六边形的上边代表正六边形。）第一行有边长为1的正六边形2个。有边长为2的正六边形1个第二行有边长为1的正六边形3个，没有边长为2的正六边形。第三行有边长为1的正六边形2个，没有边长为2的正六边形。第四行没有正六边形。因此图中一共有2+1+3+2=8个大小不同的正六边形。通过以上分析可以发现，当正六边形各边等分数为n时，网格中边长为1的正六边形的个数的表达式是：n+（n+1）+（2n-1）+（2n-2）+n，边长为i（1in)的正六边形的个数的表达式是：（n+1-i）+（n+2-i）+（2n+1-2i）+（2n-2i）+（n+1-i）。该式化简整理如下：（n+1-i）+（n+2-i）+（2n+1-2i）+（2n-2i）+（n+1-i）=（n+1-i）+（2n-2i）（2n-2i+1）-（n+1-i）2+（2n+1-2i）=（3n+1-3i）（n-i）+（2n+1-2i）=3n+n-6ni-i+3i+2n+1-2i=3n+3n+1-6ni-3i+3i从而正六边形的总数是：（3n+3n+1-6ni-3i+3i）=（3n+3n+1）-(6ni-3)i+3i）=n（3n+3n+1）-(6n+3)（1+2+n）+3(1+2+n)=3n+3n+n-n（n+1）(6n+3)+3n（n+1）（2n +1）=3n+3n+n-3n-n-n+n+n+n=n有了公式，正六边形中正六边形的个数就不需要再费心费力地去数了，只要用公式进行简单的计算就行了。注：在以上整理化简和求和过程中，用到了以下三个求和公式：1、1+2+n=n(n+1)/22、1+2+n=n(n+1)(2n+1)/6下表是正六边形各边等分数n为16时正六边形中大小不同的正六边形的个数：等分
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