构造全等三角形的方法

全等三角形的构造方法全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果能够直接证明三角形的全等的，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 构造方法有：1截长补短法。2平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt,有时可作出斜边的中线。3旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。4倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。5翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考1 截长补短法（通常用来证明线段和差相等）“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等 例1.如图所示，在RtABC中，C=90，BC=AC，AD平分BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD例2 已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D求证：DE=DF(2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点求证：BE=CF例3(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长 1.如图已知：正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC 2.(年北京中考题)已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明 3.已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.如图，四边形ABPC中，求证：2平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt,有时可作出斜边的中线例 ABC中，BAC=60，C=440AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ说明：本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： 如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO来解决 如图（3），过O作DEBC交AB于D，交AC于E，则ADOAQO，ABOAEO来解决 如图（4），过P作PDBQ交AB的延长线于D，则APDAPC来解决 如图（5），过P作PDBQ交AC于D，则ABPADP来解决（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）3旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形例已知：如图（6），P为ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数分析：直接求APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，联想到构造直角三角形4倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。例1如图（7）AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE求证：AC=BF5翻折法 若题设中含有垂线、