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1.4算术基本定理,本节讨论数的分解，是初等数论中极其重要的内容。这里的数是指正整数。,1.算术基本定理,定理1.4.1若p是质数，则有(1)a不能被p整除的充分必要条件是：(p,a)=1;(2)若p|a1a2an，则p|a1，p|a2，p|an中至少有一个成立.,1.算术基本定理,定理1.4.2（算术基本定理）任一个大于1的整数a必有a=p1p2pn(pi是质数），且在不计次序的意义下，分解的结果是唯一的.,定义1.6把一个合数写成质因数连乘积的形式，称为分解质因数，为a的标准分解式，,1.算术基本定理,定理1.4.3设则d是a的正约数的充分必要条件是：,推论：设有,指出：此为分解质因数法。,思考题,1、用分解质因数法求：56，36，284，（180，840，150）。2、（1）要使935972975（）这个乘积的最后4位数字都是0，在括号内最小应填什么数？（2）416525是多少位数？3、将下列8个数平均分成两组，使这两组的乘积相等:14，33，35，30，75，39，143，169,2.自然数的正约数的个数及正约数的和,引例：求360的所有正约数的个数及正约数的和。定义1.7表示自然数n的所有正约数的个数.表示自然数n的所有正约数的和.,定理1.4.4若，则,特别地，p为质数的充分必要条件是：,2.自然数的正约数的个数及正约数的和,例1求例2求满足的最小正整数n.例3若n=paqb,其中p、q为不同质数，a、b均大于等于1，且n2有15个正约数，求,推论1：正整数n为完全平方数的充分必要条件是为奇数。推论2：若(a,b)=1，则,2.自然数的正约数的个数及正约数的和,定理1.4.5若，则,问题：如何求360的所有正约数的积？,定理1.4.6自然数a的一切正约数的乘积：,2.自然数的正约数的个数及正约数的和,例1一个形如2k3m的正整数，其所有正约数的和为403，求这个正整数.,例2有一个小于2000的四位数，它恰有14个正约数，其中有一个质约数的末位数字是1，求这个四位数.例3自然数A和B的正约数个数分别是12和10，且A，B的标准分解式中只含有质因数3和5，（A，B）=75，求A+B.例4求1998的所有正约数的倒数之和.,思考题,1、求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，共有10个约数.2、求不大于200且恰有15个正约数的正整数.3、若a=695+5694+10693+1
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