由视图确定最多和最少立方体个数的方法

由视图确定最多和最少立方体的个数的方法我们在研究几何体视图问题时，经常会遇到已知几何体的主视图和俯视图，确定搭成几何体的小立方体的个数最多和最少问题。对于这类问题，同学们普遍感到棘手，下面介绍一种比较简便易行的解题策略，供同学们参考。我们可以根据主视图，在俯视图上的每一个小正方形上标出每一个小正方形所在处可能摆放小立方体的数目，再把这些数按照所给要求相加，从而计算出搭成几何体所需立方体的个数。具体方法如下：第一步：根据主视图数出每列中的小正方形个数，在俯视图对应的列（从左到右的顺序）的第一行（从上到下的顺序）的每一个小正方形内填入相应的数字；第二步：在俯视图对应的列的其它行的小正方形内填入不超过第一行且不低于1的数字；第三步：若要求的是最多需要小立方体的个数，则应取俯视图中每一个小正方形上最大的数字（若相同，则任取一个），再把它们相加，即可得最多小立方体的个数；若要求的是最少需要小立方体的个数，则应取俯视图中每一个小正方形上最小的数字（若相同，则任取一个），再把它们相加，即可得最少小立方体的个数。例：用同样大小的小立方体搭成一个几何体，使得它从正面和上面观察所得的图形如图1、图2所示，这样的几何体只有一种吗？试探究要搭成一个这种几何体最少需要多少个小立方体？最多需要多少个小立方体？析解：显然搭成这样的几何体不止一种。由视图可知，从正面观察所得的图形就是这个几何体的主视图（图1），上面观察所得的图形就是这个几何体的俯视图（图2）。主视图有三列，第一列3个，在俯视图第一列的三个小正方形中至少有一个所在处小立方体的个数为3（不妨设为最上一行），第一列其余两个小正方形所在处小立方体的个数不超过3且不低于1，所以可能的数目为1、2、3。运用同样的方法，由主视图第二列2个，可知在俯视图第二列的三个小正方形中至少有一个所在处小立方体的个数为2（不妨设为最上一行），其余两个小正方形所在处小立方体的个数可能为1或2；俯视图第三列上的小立方体的个数只能是1（如图3）。由此可见搭成这样的几何体最少需要小立方体的个数是1+1+3+1+1+2+1=10（个），最多需要小立方体的个数是3+3+3+2+2+2+1=16（个）。当然，求搭成这样几何体的小立方体的个数的方法还很多，同学们在以后的学习中要多注意留心总结，争取找到最简洁的解题方案。怎样确定小立方体的个数湖北省阳新县高级中学邹生书空间几何体的三视图是高中新课标中新增的重要内容之一，考纲不仅要求考生能画出简单空间几何体的三视图，而且会根据几何体的三视图想象出原几何体的立体模型，并对原几何体进行有关面积和体积的计算及图形性质的判断等。以三视图知识为背景的各种新颖试题活跃在近几年新课标高考卷或模拟卷上，已成为一道清新亮丽的风景线。本文介绍其中一种新题型及其解法，希望能对大家有所帮助或启发。例1 用单位立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值和最小值之差为。分析 本题和后面例题的共同点是：1、题目中的几何体都是由相同的小正方体组合而成；2、问题给出了这个几何体的主视图或俯视图或左视图；3、要确定搭成该几何体所需要小正方体个数等有关问题。这类问题由于给出的是三视图或部分三视图，因此它所表示的几何体具有不确定性，从而这类试题具有一定的开放性、探索性和挑战性，能很好地考查同学们的空间想象能力和判断能力。笔者在报纸、杂志上见到很多介绍这类题目的文章，但遗憾的是：只有题目评价和答案，没有解题分析（即使有也实际上被题目评价所取代），没有解题过程、解法小结以及揭示解题规律等学生最为关注的东西。笔者通过解题发现，这类问题的解决确实不好进行语言表达，是不是只可意会不可言传了呢？为了让学生更好地理解和掌握这类问题的解法，笔者进行了解法探讨，下面向大家介绍这类问题的一种行之有效的方法俯视图填数法，以期填补这方面的空白。解 用俯视图填数法。由主视图知该几何体从左到右共有3列每列高度分别为3、2、1，据此在俯视图中从西到东每列对应的格子内分别标上数字3、2、1。格子内的数字表示在这个位置上立着的小正方体的最多个数。由主视图知，第一列3个格子内的数至少有一个3，第二列3个格子内的数至少有一个2。又由俯视图知，每个格子内的数最小是1。故该几何体最多有个小立方体。另一方面，第一列最多可少个小立方体，第二列最多可少个小立方体，故最少有个小立方体。所以这个几何体体积的最大值和最小值之差为个单位立方。例2 一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图相同如图所示，则组成这个几体的正方体的个数最多有（ ） 解 用俯视图填数法。先画一个的俯视图方格，由主视图知该几何体从左到右共有3列，每列高度分别为，据此在俯视图下边从西到东每列对应的格子下边分别标上数字2、1、2。又由左视图知该几何体从左到右共有3列每列高度分别为2、1、2，据此在俯视图左侧从北到南每行对应的格子外边分别标上数字。格子内的数字表示在这个位置上立着的小正方体的最多个数。这样每个格子有所在的行和列所标的两个数和它对应，取其中最小的一个填入格内。又由主视图知，从西到东，第一列3个格子内的数至少有一个2，第二列3个格子内的数至少有一个1，第三列3个格子内的数至少有一个2。由左视图知，从北到南，第一行3个格子内的数至少有一个2，第二行3个格子内的数至少有一个1，第三行3个格子内的数至少有一个2。故该几何体最多有个小立方体。当且仅当某一条对角线上的格子内的数字分别为2、1、2，而其余格子数字均为零时，该几何体所需的小正方体的个数最少，最少个数为5。例3 如图是用小正方体积木搭成的几何的三视图，则搭成这个几体最多需要小正方体的个数为（ ） 解 用俯视图填数法。第一步：由正视图知，该几何体从左到右共有3列，每列高度分别为4、2、3，据此在俯视图下边从西到东每列下边分别标上数字4、2、3；第二步：由左视图知该几何体从左到右共有3列，每列高度分别为2、4、3，据此在俯视图左侧从北到南每行的格子外边分别标上数字2、4、3；第三步：将每个格子所在的行、列所标的两个数中最小的一个填入格内；第四步：故该几何体最多有个小立方块体，