粒子滤波理论一看就懂

2粒子滤波理论粒子滤波采用非参数蒙特卡罗模拟方法实现递归贝叶斯滤波，适用于任何可用状态空间模型描述的非线性系统，其精度可接近最优估计。粒子滤波简单易行。它为分析非线性动态系统提供了一种有效的解决方案，因而在目标跟踪、信号处理和自动控制领域引起了广泛关注。本章首先总结了用于求解目标状态后验概率的贝叶斯滤波理论，然后介绍了具有普遍适用性的粒子滤波器，最后针对现有粒子滤波器存在的粒子多样性损失，提出了一种量子进化粒子滤波器算法。2.1贝叶斯过滤动态系统的目标跟踪问题可以用图2.1所示的状态空间模型来描述。本节讨论贝叶斯过滤框架中的目标跟踪问题。图2.1状态空间模型图2.1状态空间模型在目标跟踪问题中，动态系统的状态空间模型可以描述为其中，状态转移方程和观测方程分别是系统状态、观测值、过程噪声和观测噪声。为了便于描述，到目前为止的所有状态和观察值分别由和表示。在处理目标跟踪问题时，通常假设目标的状态转移过程遵循一阶马尔可夫模型，即当前时刻的状态仅与前一时刻的状态相关。另一个假设是，观测值是相互独立的，也就是说，观测值只与时刻的状态有关。贝叶斯滤波为非线性系统的状态估计提供了一种基于概率分布的解决方案。贝叶斯滤波将状态估计视为一个概率推理过程，即通过贝叶斯公式将目标状态的估计问题转化为求解后验概率密度或滤波概率密度，进而获得目标状态的最优估计。贝叶斯过滤包括两个阶段：预测和更新。预测过程使用系统模型的先验概率密度来预测状态，而更新过程使用最新测量值来修改先验概率密度以获得后验概率密度。假设给定时间的概率密度函数为，贝叶斯滤波的具体过程如下：(1)预测过程，从得到：当给定时间时，状态和是相互独立的，因此查普曼-科莫戈洛夫方程可以通过对上述方程的两端进行积分得到(？)(2)更新过程，从获取：在获得时间度量后，利用贝叶斯公式更新先验概率密度，获得后验概率假设只有通过决定，即因此归一化常数在哪里贝叶斯滤波以递归形式给出后验概率密度函数的最优解。目标状态的最佳估计可以通过后验(或滤波)概率密度函数来计算。一般来说，根据最大后验概率密度准则或最小均方误差准则，将具有最大后验概率密度的状态或条件均值作为系统状态的估计值，即贝叶斯过滤需要积分运算。除了一些特殊的系统模型(如线性高斯系统和有限状态离散系统)，贝叶斯滤波很难获得一般非线性和非高斯系统后验概率的封闭解析表达式。因此，现有的非线性滤波器大多采用近似计算的方法来解决积分问题，从而获得估计的次优解。基于一阶或二阶泰勒级数展开的扩展卡尔曼滤波器被广泛使用，其前提是系统的非线性模型可以由在当前状态119中展开的线性模型来近似。一般来说，概率密度函数比非线性函数更容易近似。在此基础上，Julier和Uhlmann提出了一种无迹卡尔曼滤波器，通过选取的点精确估计非线性变换后随机变量的均值和方差，从而更好地逼近状态的概率密度函数，其理论估计精度优于扩展卡尔曼滤波器120。另一种获得次优解的方案是基于蒙特卡罗模拟的粒子滤波。2.2粒子早在20世纪50年代，哈默斯利就使用基于顺序重要性抽样的蒙特卡罗方法来解决统计问题121。20世纪60年代末，汉兹钦和梅恩使用顺序蒙特卡罗方法解决了自动控制领域的相关问题122。20世纪70年代，通过汉斯钦、明石和扎里斯基等学者的一系列研究工作，序贯蒙特卡罗方法得到了进一步发展，123 124，125 126。由于当时的计算能力和算法本身的权重退化，序列重要性抽样算法没有得到足够的重视，并且在很长一段时间内其进展缓慢。直到20世纪80年代末，计算机处理能力的巨大进步使得顺序蒙特卡罗方法再次受到关注。谷崎润一郎和格韦克利用基于重要抽样的蒙特卡罗方法成功地解决了127-130中的一系列高维积分问题。史密斯和盖尔范德提出的采样-重采样思想为贝叶斯推理提供了一种易于实现的计算策略131。随后，史密斯和戈登等人于20世纪90年代初合作将重采样引入粒子滤波，在一定程度上解决了顺序重要性采样的权重退化问题，并产生了第一个可实现的SIR(采样重要性重采样)粒子滤波算法(Bootstrap filtering) 132，从而掀起了粒子滤波的研究热潮。美国海军综合水下监控系统中的Nodestar是粒子滤波应用的一个例子。在21世纪，粒子滤波已经成为一个非常活跃的研究领域。斗栱、刘、阿鲁拉姆等。对粒子滤波器的研究做了精彩的总结，133-135和美国电气和电子工程师学会出版的序贯蒙特卡罗方法在实践中一文详细介绍了粒子滤波器，136。2.2.1贝叶斯重要性抽样蒙特卡罗模拟是一种使用随机数来解决物理和数学问题的计算方法，也称为计算机随机模拟方法。这种方法起源于第一次世界大战期间美国开发原子弹的曼哈顿计划。作为该项目的主持人之一，著名数学家冯诺伊曼以世界著名赌博城市摩纳哥的蒙特卡洛命名了这种方法。蒙特卡罗模拟方法在获得的状态空间中使用大量的样本点来近似待估计变量的后验概率分布，如图2.2所示，从而将积分问题转化为有限样本点的求和问题。粒子滤波算法的核心思想是用一系列随机样本的加权和来表示后验概率密度，并通过求和来逼近积分运算。假设可以从后验概率密度中提取独立的同分布随机样本，有这里有一个连续变量，单位脉冲函数(狄拉克函数)，也就是，和。当它是一个离散变量时，后验概率分布可以近似为其中，图2.2经验概率分布函数图2.2经验概率分布函数假设样本粒子是从后验概率密度函数获得的，任何函数的预期估计都可以通过求和来近似，即蒙特卡罗方法可以概括为以下三个步骤：(1)构建概率模型。对于具有随机性的问题，主要工作是正确描述和模拟这一概率过程。对于某些问题，如计算定积分、求解线性方程和偏微分方程，蒙特卡罗方法被用来求解需要预先构造的概率过程，其部分参数被视为问题的解。(2)从指定的概率分布中采样。生成服从已知概率分布的随机变量是实现蒙特卡罗模拟试验的关键步骤。(3)建立各种估计量的估计。一般来说，在概率模型被构建并从中取样之后，就可以进行当前的模拟测试。然后，必须确定并估计一个随机变量作为待解决问题的解。在实际计算中，通常不可能直接从后验概率分布中采样。如何获得服从后验概率分布的随机样本是蒙特卡罗方法的基本问题之一。如图2.3所示，重要性抽样方法引入了易于抽样的已知重要性概率密度函数，由此产生抽样粒子，并使用这些随机样本的加权和来近似后验滤波概率密度。让表示一组支持点，其中第一个粒子在该时刻的状态及其对应的权重是，那么后验滤波概率密度可以表示为其中，图2.3重要性抽样图2.3重要性抽样当采样粒子数较大时，方程(2.14)可以近似真实后验概率密度函数。任何函数的预期估计值是2.2.2顺序重要性抽样算法在基于重要抽样的蒙特卡罗模拟方法中，估计后验滤波概率需要利用所有观测数据，并且每次新的观测数据到达时都需要重新计算整个状态序列的重要度。顺序重要性抽样是粒子滤波的基础。它将统计学中的序列分析方法应用于蒙特卡罗方法，从而实现后验滤波概率密度的递归估计。假设重要性概率密度函数可以分解为如果系统状态是马尔可夫过程，并且在给定的系统状态下，每个观察是独立的，那么就有后验概率密度函数的递归形式可以表示为粒子权重的递归形式可以表示为一般来说，颗粒重量需要标准化，即顺序重要性抽样算法从重要性概率密度函数生成抽样粒子，并随着测量值的顺序到达递归地获得相应的权重值。最后，用粒子加权和的形式描述后验滤波概率密度，从而得到状态估计。顺序重要性抽样算法的流程可以用下面的伪代码来描述：i=1:N牛顿(1)时间更新，根据重要性参考函数生成采样粒子；(2)测量更新，根据最新观测值计算粒子权重；结束时间粒子重量被归一化，目标状态被计算。为了得到正确的状态估计，通常希望粒子权重的方差尽可能接近零。然而，顺序蒙特卡罗模拟方法通常存在重量降低的问题。在实际计算中，经过多次迭代，只有少数粒子具有较大的权重，而其他粒子的权重可以忽略不计。粒子重量的方差随时间增加，状态空间中有效粒子的数量较少。随着无效采样粒子数量的增加，大量的计算被浪费在更新对估计后验滤波的概率分布影响很小的粒子上，从而降低了估计性能。有效颗粒数通常用于测量颗粒重量的降解程度，即有效粒子的数量越少，重量退化越严重。在实际计算中，有效粒子数可以近似为如果顺序重要性抽样小于预设的阈值，则应采取一些措施来控制它。克服顺序重要性抽样算法权值退化的最直接方法是增加粒子数，这将导致计算量相应增加，影响计算的实时性。因此，一般采用以下两种方法：(1)选择合适的重要度概率密度函数；(2)顺序重要性抽样后，采用重采样方法。2.2.3重要密度函数的选择重要概率密度函数的选择对粒子滤波器的性能有很大影响，在粒子滤波器的设计和实现过程中非常重要。在工程应用中，通常选择状态变量的转移概率密度函数作为重要概率密度函数。此时，粒子的重量为转移概率的形式简单，易于实现。当观测精度不高时，作为重要概率密度函数可以获得较好的滤波效果。然而，转移概率密度函数被用作重要概率密度函数，而不考虑由最新观测数据提供的信息，并且从转移概率密度函数提取的样本与由真实后验分布生成的样本有一定的偏差，特别是当观测模型具有较高精度或者预测先验和似然函数之间的重叠较少时。选择重要概率密度函数的一个标准是最小化粒子权重的方差。Doucet等人给出的最佳重要性概率密度函数是此时，粒子的重量为作为重要概率密度函数。此外，解析解仅当它们是有限离散态或高斯函数时才存在。在实践中，构造最优重要性概率密度函数的难度与直接从后验概率分布中提取样本的难度相同。从最优重要度概率密度函数的表达形式来看，下一个预测粒子的生成依赖于现有的粒子和最新的观测数据，这对重要度概率密度函数的设计具有重要的指导作用，即应该有效利用最新的观测信息，在易于采样的基础上，应该将更多的粒子移动到似然函数值较高的区域，如图2.4所示。图2.4将粒子移动到高可能性区域图2.4将样本移至高可能性区域之前辅助粒子滤波算法使用时间信息将具有最有希望时间(大预测可能性)的粒子扩展到时间137，从而生成采样粒子。与SIR滤波相比，当粒子的似然函数位于先验分布的尾部或者似然函数的形状相对较窄时，辅助粒子滤波可以获得更精确的估计结果。辅助粒子滤波引入辅助变量来表示当前的粒子列表。应用贝叶斯定理，联合概率密度函数可以描述为生成的重要性概率密度函数为其中，预测特征和相关特征可以是采样值或预测平均值。根据定义，由于有