第4章 - 数值积分.ppt

1,第四章数值积分,经典方法(插值型数值求积方法)Gauss数值积分方法复化数值求积公式积分方程的数值求解,2,1插值型数值求积公式,一、一般求积公式及其代数精度,1)问题：,1.一般求积公式,2)解法：,求积节点,(1),设(x)是a,b上的权函数，f(x)是a,b上具有一定光滑度的函数，求数值积分,设节点,上f(x)有函数值f(xi)(i=0,1,n),3,(3),与f(x)无关的常数,称为积分系数,(2),写成带余项的形式,即,(2)和(3)都称之为数值求积公式或机械求积公式。余项Rf也称为求积公式的截断误差（方法误差）。,则有,4,3)衡量某种方法好坏的标准：,a.代数精度,b.数值稳定性,c.收敛性,对多少次多项式该方法无误差，即计算值是准确的。,或者说成灵敏度如何，也就是看舍入误差对计算结果影响的大小。比如病态方程组，当系数矩阵中的元素有微小变化时，引起方程组无解。这实际上是由舍入误差或者说成舍入误差的传递造成的。,即截断误差的大小。,5,2.代数精度,若求积公式(2)对任意不高于m次的代数多项式都能精确成立，而对xm+1不能精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。,注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于m的多项式列出来验证，因此只要验证对1，x,xm精确成立即可。因此有等价定义。,若(2)式中对于1，x,xm精确成立，对xm+1不精确成立，则称求积公式(2)的代数精度为m。,另外，若代数精度为m，也就是对xm(2)式或(3)式精确成立。则(3)中若f(x)是x的m次多项式，有R(f)=0,因此定义也可写成：,等价定义(2)：,若(3)式中Rxi=0,(i=0,1,m)，而Rxm+1不为0，则称(2)式的代数精度为m。,定义：,等价定义(1)：,6,分析：由等价定义求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。,解：,例,确定下述求积公式的代数精度,当f(x)=1时(k=0),当f(x)=x时(k=1),7,所以该求积公式的代数精度m=3。,当f(x)=x2时(k=2),当f(x)=x3时(k=3),当f(x)=x4时(k=4),8,问题：,1.方法：,二、插值型求积公式,插值基函数,插值多项式,已知(xi,f(xi),求,其中,给定节点以及函数点,如何选择求积系数A0,An，使得求积公式代数精度尽量高？,9,(4),则,其中,插值型求积公式的定义,定义：对给定互异求积节点，若求积系数,Ai,(i=0,1,n)由(4)式给出的，则称该求积公式是插值型的。此时，求积公式(2)称为插值型求积公式。,10,2.性质,数值求积公式(2)或(3)是插值型的当且仅当它的代数精度,证明：（必要性）,设求积公式(2)是插值型的，则,定理1：,插值余项,11,等价定义,(充分性),若，由lk(x)的次数为n，对f(x)=lk(x),lk(x)为n次Lagrange插值基函数，有,即,所以其求积系数由(4)式给出。,12,推论1：对给定求积节点，代数精度最高的,说明：不研究一般的求积公式。,推论2：若，(3)式是插值型求积公式，则有余项公式,求积公式是插值型求积公式。,(5),13,例：求插值型求积公式,并确定其代数精度。,分析：实际上该题目是求A0，A1，并确定其代数精度。,从而求积公式为：,且n=1,因而代数精度大于等于1，以下验证代数精度从m=2开始,解(1)：,因为是插值型求积，且,14,解法(2)：,因为是插值型的,所以代数精度大于或等于1,因而对x0=1,x1该公式精确成立，即有方程组,一般形式结论见下页。,解得A0=A1=1（此法为待定系数法），代回求积公式可确定代数精度。,15,具有n次代数精度,则,若求积公式,为关于A0,A1,An的线性方程组,其系数行列式为,16,三、常用求积公式,1.Newton-Cotes求积公式,则插值型求积公式称为N-C求积公式。,插值型求积公式：,17,1)NC求积系数及公式,系数：,18,因此,Newton-Cotes公式为,(6),(7),其中,19,2)Cotes系数特点：,表4-1,20,因为仅与插值次数n及k有关，与f(x)无关，,(-1)n+k=(-1)n-k,特点：,事实上,21,若令,由于积分公式至少有n次代数精度，对于1，积分公式始终精确成立，即有,22,3)常用的NC公式及名称,中矩形公式(精度高),左矩形公式,右矩形公式,几何意义(中矩形公式为例):,(m=1),当n=0时,以f(x)为曲边的曲边梯形面积，与,围成的矩形面积近似(如图)。,23,梯形公式,(8),(m=1),当n=1时,系数的特点,注：实际上是用1次Lagrange插值公式近似f(x)。,几何意义：,以f(x)为曲边的曲边梯形的面积，用直边梯形的面积近似。（如图）,24,Newton-Cotes公式称为Simpson公式或抛物线公式。,几何意义:,为曲边的曲边梯形的面积来近似，因此该公式也称为抛物线公式。(如图),以f(x)为曲边的曲边梯形的面积，用插值抛物线,(9),(m=3),当n=2时,25,当n=3,4时，NewtonCotes公式分别称为Simpson法则,(m=5),(m=3),和Cotes公式。,当n=3时,当n=4时,26,2.N-C公式的余项,定理3：,定理2：若,则梯形公式(8)的余项为,则Simpson公式(9)的余项为,(10),(11),27,证明：,Simpson公式的代数精度为m=3,令H(x)为f(x)的三次Hermite插值多项式，且满足,对多项式H(x)，Simpson公式精确成立，即:,即,28,从而,利用上小于等于零，,其中,依赖于x,由积分中值定理,29,一般地,其中,说明：为了既保证精度又节约时间，尽量选用n是偶数的情形。,30,3.NewtonCotes公式的数值稳定性和收敛性,(a).数值稳定性,若某个求积公式的舍入误差，即f(xk)的误差对数值积分的结果影响较小，则称该数值求积公式是稳定的；否则，若影响较大，则称为不稳定的。,由实验和观测得到，本身有误差,精确值,31,设f(xk)的近似值为,(12),由近似值,所得数值积分为,误差E,对误差,若,称,为数值稳定的，反之为数值不稳定的。,推导见下页,32,所以，N-C是数值稳定的。,(13),当,则,33,(b).收敛性,当,系数Ak有正有负，,N-C是数值不稳定的。,若,称,是收敛的，反之为不收敛的。,对于余项,34,注：,给定n+1个节点，插值型求积公式：,优点：代数精度高：,问题：代数精度最大是多少？如何寻求数值稳定的方法？,缺点：数值不一定稳定。,由于f(x)-Ln(x)不收敛到0，因此Rnf不收敛到0，即Qf不收敛，因此，对于节点较多的情况，需要使用分段线性或者Hermite插值。,Runge现象,其中,35,一、最高代数精度求积公式,问题：,结论：,本节关键,2Gauss型求积公式,设有n+1个节点，插值型求积公式的代数精度,m的最大值？如何确定？,由求积系数及n+1个节点xi，i=0,1,n的分布确定。,36,四个未知量A0，A1，x0，x1，已知插值型求积公式的代数精度最高。可按插值型求积公式来求A0，A1。,解：,具有尽可能高的代数精度。,例求节点，使插值型求积公式,(14),分析：,x0，x1待定,插值型求积的代数精度,37,于是，求积公式为,38,一般地，对于任意求积节点,任意求积系数，求积公式,对于,代数精度,结论,39,分析：,只需证明,使得,事实上，令,有,从而,而,前例中m=3=21+1=2n+1是能达到的最高代数精度。,次多项式f(x),40,Gauss型求积公式的构造,利用正交多项式的根构造代数精度最高的求积公式,分析：,引理1：,(15),41,令f(x)是任意次数的代数多项式，则,其中，q(x)为商式，r(x)为余式，均为任意次数的多项式,证明：,插值型求积公式代数精度大于n,正交多项式基本性质,n+1(x)是n+1次正交多项式，则,42,定义：,正交多项式的根一定是Gauss点，那么Gauss点是否一定是正交多项式的根？,n+1个节点(ax0xnb)的求积公式(15)若其代数精度m=2n+1，即达到最高，称之为Gauss型求积公式,并称其节点为Gauss点。,而,43,是a,b上关于权(x)的n+1次正交多项式的根。,二、Gauss点与正交多项式的关系,定理4：,分析：,Gauss点ax0xn0,(k=0,1,n),事实上，m=2n+1,为L-插值基函数,为2n次多项式,其次，取f(x)=1,故数值稳定。,48,证明：,上的连续函数,可以用代数多项式一致逼近,对任意给定的,存在某个多项式,2.收敛性,引理2：,上的任何连续函数,对于有限闭区间,(17),49,从而,50,3.结论：,Gauss型求积公式是数值稳定的；且对有限闭区间上的连续函数，Gauss型求积公式的值随节点数目的增加而收敛到准确积分值。,收敛、稳定；计算量小，代数精度高。,Gauss点难求（即多项式的根难求）；Gauss点是无理数，Gauss求积系数也是无理数。,定理6,优点：,缺点：,51,五、常用的Gauss型求积公式,Gauss型节点是多项式的根，因此与正交多项式联系起来，有以下几种常用求积公式。,1.Gauss-Legendre（勒让德）求积公式(Gauss点和积分系数可查表得到),若区间a,b-1,1,可用变量替换把区间,52,2.Gauss-chebyshev（切比雪夫）求积公式,3.Gauss-Laguerre（拉盖尔）求积公式,4.Gauss-Hermite求积公式,插值型求积公式代数精度大于n，最大可达到2n+1,即是Gauss型求积公式，Gauss节点是正交多项式的根。虽然对任意的a,b以及a,b上的权函数(x)都能构造正交多项式，并且也能构造高斯求积公式，但不能象这些特殊多项式那样，归结成一个明确的表达式，也无明确的规律，因此，借助这些特殊多项式，便于解决一些实际问题。,说明：,53,一、复化数值求积法,问题：如何提高求积公式的精度？,(2)复化求积公式(f(x)的赋值不太复杂时),3复化数值求积公式,(1)增加求积节点,Gauss型求积公式。缺点：节点是无理数，计算不方便。,解决方法：,复化求积公式的原则（基本思想）：,如：NC公式。缺点：当n增大时，数值不稳定；,54,在每个小区间上用相同的“基本”求积公式计算,梯形公式；中矩形公式；左（右）矩形公式；或Simpson公式,注：不能同时取两个或两个以上的公式。,的近似值Si，,从而,55,二、复化梯形公式,在xi-1,xi上采用梯形公式，记,所以,1.公式,(18),56,每个小区间上考虑余项，因为每个小区间上是NC公式中当n=1时的梯形公式。,2.余项,定理7:,则复化梯形公式的余项为,及渐近估计式,(19),(20),(19)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与h2收敛于零的速度相同，即余项等于O(h2)。余项可由端点的函数值(导数值)确定。,说明：,57,（推导类似复化梯形公式）,3.复化中矩求积公式,在上采用中矩形公式，,所以,58,4.复化梯形公式与复化中矩求积公式的关系,59,三、复化Simpson公式（推导类似前面公式）,在每个小区间上采用Simpson公式，则,1.公式,60,2.余项,定理8:,复化Simpson公式的余项有表达式,渐近估计式,优点：复化Simpson公式精确度较好。,61,对a,b上的任何连续函数f(x),都有,因此复化求积公式不能仅用代数精度来决定其优劣。而是用收敛阶来刻划其收敛性。,将区间a,b等分，用某一基本求积公式In生成的复化求积公式，若对充分光滑的被积函数f(x),有,但对代数多项式,定义：,四、复化求积公式的收敛阶(刻划求积公式收敛性),(21),(22),其中Cp独立于n，依赖于f(x),称该复化求积公式的收敛阶为p。,62,复化Simpson公式的收敛阶是4，且当时，收敛阶大于4。,收敛阶越高,当区间划分加密时,积分近似值就越精确。,复化梯形公式的收敛阶是2。,且当时收敛阶大于2。,结论：,注：,63,分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算积分,解：,例已知函数的数据表,的近似值。,(1)复化梯形,准确值0.9460831,64,(2)复化Simpson,65,4积分方程的数值求解,一、基础知识,1.积分方程：,方程中含有积分，而积分中又含有未知函数的方程。,积分方程的分类很复杂,理论和算法存在很大差异,2.第二类Fredholm积分方程,一般形式：,(23),其中K(t,s)称为该积分方程的核函数，为一参数。,为简单计，一般假设函数K(t,s)和f(t)充分光滑，即,其中，,是正数。,66,二、积分方程的数值求解,存在唯一性,对于核函数K(t,s)，如果满足：,即可保证第二类Fredholm方程的解是存在唯一的。,67,1.数值求积方法的基本思想,用数值积分替代(23)式中的积分项。,如果取某一数值积分公式，,(24),其中,是求积节点，,Ak是求积系数。,将(23)式的积分项用数值积分(24)式代替，则有,(25),68,2.数值求积方法的推导,如果将使得(25)式严格成立的函数记为，则有,(26),如果数值积分公式足够精确，则可被视为(23)式的近似解。,令(26)式中的x分别取(24)式中的求积节点，,即得方程,其中,为已知的。,(27),69,(27)式方程中待求的未知量为,即(27)式是线性方程组，将其写成矩阵形式，则