Chap11-多目标决策.ppt

预测与决策教程第11章多目标决策,基本概念决策方法多目标风险决策分析模型有限个方案多目标决策问题的分析方法层次分析法网络分析法,第11章多目标决策,11.1基本概念,一、问题的提出例13.1房屋设计某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定选址及总规定总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求从以下5个目标综合选出最佳的设计方案：低造价（每平方米造价不低于500元，不高于700元）；抗震性能（抗震能力不低于里氏5级不高于7级）；建造时间（越快越好）；结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等）；造型美观（评价越高越好),这三个方案的具体评价表如下:,基本特点,目标不至一个目标间的不可公度性目标间的矛盾性,基本特点,目标体系是指由决策者选择方案所考虑的目标组及其结构；备选方案是指决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案；决策准则是指用于选择的方案的标准。通常有两类：最优准则，满意准则。,多目标问题的三个基本要素,1）劣解和非劣解,如某方案的各目标均劣于其他目标，则该方案可以直接舍去。这种通过比较可直接舍弃的方案称为劣解。,如图中A、B、C、D、E、F、G均为劣解。,非劣解：既不能立即舍去，又不能立即确定为最优的方案称为非劣解。如图中H、I。,二、几个基本概念,第一目标值,第二目标值,A,B,C,D,E,F,G,H,I,对于m个目标，一般用m个目标函数,，它满足,刻划，其中x表示方案。,最优解：设最优解为,2）选好解,在处理多目标决策时，先找最优解，若无最优解，就尽力在各待选方案中找出非劣解，然后权衡非劣解，从中找出一个按某一准则较为满意的解，这个过程称为“选好解”。,单目标辨优多目标辨优权衡（反映了决策者的主观价值和意图）,11.2决策方法,一、化多目标为单目标的方法,二、重排次序法,三、分层序列法,一、化多目标为单目标的方法,1.主要目标优化兼顾其它目标的方法,2.线性加权和法,3.平方和加权法,4.乘除法,设有m个目标f1(x)，f2(x)，fm(x)；均要求为最优，但在这m个目标中有一个是主要目标，例如为f1(x)，并要求其为最大。在这种情况下，只要使其它目标值处于一定的数值范围内，即就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题：,1.主要目标优化兼顾其它目标的方法,设有一多目标决策问题，共有f1(x)，f2(x)，,fm(x)等m个目标，则可以对目标fi(x)分别给以权重系数（i=1，2，,m），然后构成一个新的目标函数如下：,2.线性加权和法,计算所有方案的F(x)值，从中找出最大值的方案，即为最优方案。,在多目标决策问题中，或由于各个目标的量纲不同，或有些目标值要求最大而有些要求最小，则可首先将目标值变换成效用值或无量纲值，然后再用线性加权和法计算新的目标函数值并进行比较，以决定方案取舍。,并要求minF(x)。其中是第i(i=1,2,m)个目标的权重系数。,3.平方和加权法,设有m个目标的决策问题，现要求各方案的目标值f1(x)，f2(x)，,fm(x)与规定的m个满意值f1*，f2*，,fm*的差距尽可能小，这时可以重新设计一个总的目标函数：,4.乘除法,并要求minF(x)。,当有m个目标f1(x)，f2(x)，fm(x)时，其中目标f1(x)，f2(x)，fk(x)的值要求越小越好，目标fk(x)，fk+1(x)，fm(x)的值要求越大越好，并假定fk(x)，fk+1(x)，fm(x)都大于0。于是可以采用如下目标函数，,重排次序法是直接对多目标决策问题的待选方案的解重排次序，然后决定解的取舍，直到最后找到“选好解”。举例说明：,例13.2设某新建厂选择厂址共有n个方案m个目标。由于对m个目标重视程度不同，事先可按一定方法确定每个目标的权重系数。若用fij表示第i方案第j目标的目标值，则可列表如下。,二、重排次序法,（1）无量纲化。为了便于重排次序，可先将不同量纲的目标值fij变成无量纲的数值yij。变换方法：对目标fj，如要求越大越好，则先从n个待选方案中找出第j个目标的最大值确定为最好值，而其最小值为最差值。即：,并相应地规定,而其它方案的无量纲值可根据相应的f的取值用线性插值的方法求得。,对于目标fi，如要求越小越好，则可先从n个方案中的第j个目标中找最小值为最好值，而其最大值为最差值。可规定,(2)通过对n个方案的两两比较，即可从中找出一组“非劣解”，记作B，然后对该组非劣解作进一步比较。,(3)通过对非劣解B的分析比较，从中找出一“选好解”。,最简单的方法是设一新的目标函数：,若Fi值为最大，则方案i为最优方案。,分层序列法是把目标按照重要程度重新排序，将重要的目标排在前面，例如已知排成f1(x)，f2(x)，fm(x)。然后对第1个目标求最优，找出所有最优解集合，用R1表示，接着在集合R1范围内求第2个目标的最优解，并将这时的最优解集合用R2表示，依此类推，直到求出第m个目标的最优解为止。将上述过程用数学语言描述，即,三、分层序列法,这种方法有解的前提是R1，R2，Rm-1等集合非空，并且不至一个元素。但这在解决实际问题中很难做到。于是又提出了一种允许宽容的方法。所谓“宽容”是指，当求解后一目标最优时，不必要求前一目标也达到严格最优，而是在一个对最优解有宽容的集合中寻找。这样就变成了求一系列带宽容的条件极值问题，也就是,i=1,2,m-1,设有方案A，自然状态有l个，目标有n个，该方案在第一个自然状态下各目标的后果值为11,12，,1n，第二个自然状态下各目标的后果值分别为21,22，,2n，等等。第l个自然状态下各目标的后果值分别为l1,l2，,ln,11.3多目标风险决策分析模型,p1,p2,pl,l1,l2，,ln,21,22，,2n,11,12，,1n,A,该方案第一个目标的期望收益值为,一般地，假设有m个备选方案，n个目标，第i个备选方案面临li个自然状态。该模型可表述为下图。,第二个目标的期望收益值为,第n个目标的期望收益值为,多目标风险型决策模型,各方案中各目标的期望收益值分别为,这样，便把有限个方案的多目标风险型决策问题转化成为有限方案的多目标确定型决策问题：,11.4有限个方案多目标决策问题的分析方法,1.基本结构,问题：从现有的m个备选方案中选取最优方案（或最满意方案），决策者决策时要考虑的目标有n个：。决策者通过调查评估得到的信息可用下表表示,这一表式结构可用矩阵表示为,称为决策矩阵，是决策分析方法进行决策的基础。,这一表式结构可用矩阵表示为,称为决策矩阵，是决策分析方法进行决策的基础。,决策准则：,其中为第j个目标的权重。,第一，在决策矩阵中，各目标采用的单位不同，数值及其量级可能有很大的差异。如果使用原来目标的值，往往不便于比较各目标。第二，权重如何确定？,存在两个问题：,x,y,(1,2),x,y,把一个向量化为单位向量,1）效用值法2）向量规范化,2.决策矩阵的规范化,把造价向量（500，700，600）规范化,把造价向量（500，700，600）规范化,一般地，,bij无量纲，在区间(0,1)内。但变换后各属性的最大值和最小值并不是统一的，其最大者不一定是1，最小者不一定是0，有时仍不便比较。,还有一个问题，上面例子中的造价是越小越好，而抗震性能是震级越高越好，这样二者不统一，还需作处理。,3）线性变换,如目标为效益（目标值愈大愈好），可令,如目标为成本（目标值愈小愈好），令,如收益向量（20，40，30）,如造价向量（500，700，600）,3.确定权的方法,首先，选聘L个老手（即专家或有丰富经验的实际工作者），请他们各自独立地对n个目标给出相应的权重。,设第j位老手所提供的权重方案为：,，,满足,则汇集这些方案可列出如表所示。,1)老手法,目标,权重,老手,给定允许，若,如果检验不通过，则需要和那些对应于方差估值大的老手进行协商，充分交换意见，再让他们重新调整权重，更新权重方案表。重复上述过程，最后得到一组满意的权重均值作为目标的权重。方法实用，但L不能太小。,检验：,则取各目标的权重为,2）环比法,这种方法先随意把各目标排成一定顺序，接着按顺序比较两个目标的重要性，得出两目标重要性的相对比率环比比率，然后再通过连乘把此环比比率换算为都以最后一个目标基数的定基比率，最后在归一化为权重。设某决策有五个目标，下面按顺序来求其权重，见下表。,否则，,即。选择一组权，使,比较各目标的相对重要度，（）第i个目标对第j个目标的相对重要性的估计值；这两个目标的权重和的比；如果决策人对（）的估计一致，则,3）权的最小平方法,为最小，其中,满足,如用拉格朗日乘子法解此有约束的优化问题，则拉格朗日函数为：,为最小，其中,满足,4.强制决定法,此法要求把各个目标进行两两对比，两个目标比较，重要者记1分，次要者记0分。举例说明。考虑一个机械设备设计方案决策，设其目标有：灵敏度、可靠性、耐冲击性、体积、外观和成本共6项，首先画一个棋盘表格如下,其中打分所用列数为15（如目标数为n，则打分数为n(n-1)/2）。,在每个列内只打两个分，即在重要的那个目标行内打1分，在次要的那个目标行内打0分。该列的其余各行任其空着。,表中总分列为各行得分之和，修正总分列是为了避免使权系数为0而设计的，其数值由总分列各数分别加上1得到，权重为各行修正总分归一化的结果。,下节：层次分析法,11.5.层次分析法（AHP）,11.5层次分析法（AHP）,层次分析法（AHP,theanalytichierarchyprocess）是20世纪70年代由美国学者萨蒂最早提出的一种多目标评价决策法。特点：将决策者对复杂系统的评价决策思维过程数学化。基本思想是把复杂的问题分解成若干层次和因素，在同层次各要素间简单地进行比较、判断和计算，以获得不同要素和不同备选方案的权重。,步骤：,定量信息要求较少，但要对,问题的本质,包含的要素,相互间的逻辑关系,掌握透彻。,1）对构成决策问题的各种要素建立多级递阶的结构模型；,总目标子目标评价准则方案,2）对同一层次的要素以上一级的要素为准则进行两两比较，根据评定尺度确定其相对重要程度，并据此建立判断矩阵；3）确定各要素的相对重要度；4）对重要度进行综合，对各方案进行优先排序。,一、多级递阶结构,用层次分析法分析的系统，其多级递阶结构一般可以分成三层，即目标层，准则层和方案层。目标层为解决问题的目的，要想达到的目标。准则层为针对目标评价各方案时所考虑的各个子目标（因素或准则），可以逐层细分。方案层即解决问题的方案。,层次结构往往用结构图形式表示，图中标明上一层次与下一层次元素之间的联系。如果上一层的每一要素与下一层次所有要素均有联系，称为完全相关结构。,层次结构往往用结构图形式表示，图中标明上一层次与下一层次元素之间的联系。如果上一层的每一要素与下一层次所有要素均有联系，称为完全相关结构。,完全相关性结构图,某城市闹市区域的某一商场附近，由于顾客过于稠密，常常造成车辆阻塞以及各种交通事故。市政府决定改善闹市区的交通环境。经约请各方面专家研究，制定出三种可供选择的方案：A1：在商场附近修建天桥一座，供行人横穿马路；A2：同样目的，在商场附近修建一条地下行人横道；A3：搬迁商场。现试用决策分析方法对三各备选方案进行选择。,一个完全相关性结构的案例（实用决策分析p.213）,这是一个多目标决策问题。在改变闹市区交通环境这一总目标下，根据当地的具体情况和条件，制定了以下5个分目标作为对备选方案的评价和选择标准：C1：通车能力；C2：方便过往行人及当地居民；C3：新建或改建费用不能过高；C4：具有安全性；C5：保持市容美观。,改变闹市区交通环境（G）,通车能力C1,方便市民C2,改建费用C3,安全性C4,市容美观C5,天桥A1,地道A2,搬迁A3,经济生态效益最佳,经济效益,生态效益,工业总产值,产品销售收入,实现利润总额,实现利税总额,全员劳动生产率,物能消耗量,物能有毒有害量,产污量,产污增长率,产污等标系数,产污有毒量,产品有毒有害率,产品回收利用率,包装重复使用次数,环保投资回报率,如上一层每一要素都有各自独立的、完全不相同的下层要素，称为完全独立性结构。,一个完全独立性结构的案例,二、判断矩阵,判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是计算各要素权重的重要依据。,1.建立判断矩阵,设对于准则H，其下一层有n个要素A1，A2，An。以上一层的某一要素H作为判断准则，对下一层的n个要素进行两两比较来确定矩阵的元素值，其形式如下：,H,A1,A2,A3,An,aij表示以判断准则H的角度考虑要素Ai对Aj的相对重要程度。若假设在准则H下要素A1，A2，An的权重分别为w1,w2,wn，即w=(w1,w2,wn)T,则aij=wi/wj，矩阵,称为判断矩阵。,若假设在准则H下要素A1，A2，An的权重分别为w1,w2,wn，即w=(w1,w2,wn)T,则aij=wi/wj，aij应该满足：,1）aii=12)aij=1/aji3)aikakj=aij,2.判断尺度,判断矩阵中的元素aij是表示两个要素的相对重要性的数量尺度，称做判断尺度，其取值如表所示。,三、相对重要度及判断矩阵的最大特征值的计算,在应用层次分析法进行系统评价和决策时，需要知道Ai关于H的相对重要度，也就是Ai关于H的权重，即已知,三、相对重要度及判断矩阵的最大特征值的计算,在应用层次分析法进行系统评价和决策时，需要知道Ai关于H的相对重要度，也就是Ai关于H的权重，即已知,求,由,=n,由,=n,AW=nW,由,=n,知，n为矩阵A的一个特征值，W是矩阵A的对应于特征值n的特征向量。,AW=nW,成立，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于的特征向量。,假设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量x，使关系式,矩阵A的特征向量,成立，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于的特征向量。,假设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量x，使关系式,矩阵A的特征向量,即,特征方程,时，A具有唯一的非零最大特征值，且,当矩阵A的元素满足,由于判断矩阵A的最大特征值所对应的特征向量即为W，为此，可先求出判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量，再经过归一化处理，即可求出Ai关于H的相对重要度。,由于判断矩阵A的最大特征值所对应的特征向量即为W，为此，可先求出判断矩阵的最大特征值所对应的特征向量，再经过归一化处理，即可求出Ai关于H的相对重要度。,求A的最大特征值和其对应的特征向量,单位化,得权重向量W,设某一AHP判断矩阵为,计算该矩阵的最大特征值及对应的特征向量的步骤如下：,1.方根法,1）计算矩阵A的每一行元素的乘积Mi,2)计算Mi的n次方根,i=1,2,n,2)计算Mi的n次方根,i=1,2,n,3）对向量,作归一化处理，即令,从而得到另一向量,即为所求。,4)计算A的最大特征值,由,例求判断矩阵,的最大特征值及其对应的特征向量。,例求判断矩阵,的最大特征值及其对应的特征向量。,解：（1）求A中各行元素之乘积,M1=1/15,M2=15,M3=1,（2）求Mi的n次方根（n3）,M1=1/15,M2=15,M3=1,（2）求Mi的n次方根（n3）,（3）对向量w(0)(0.4055,2.4662,1)T作归一化处理,M1=1/15,M2=15,M3=1,即为所求特征向量。,w(0.4055,2.4662,1)T,4）求,精度比较：,注：乘幂法为“计算方法”中计算矩阵的最大特征值的最常用的方法之一。这里取精度为0.0001。,求解步骤如下：,1）将判断矩阵A中各元素按列作归一化处理，得另一矩阵B=(bij)，其元素一般项为,2）将矩阵B中各元素按行分别相加，其和为,2.和积法,3）对向量,作归一化处理，得,向量,即为所求。,3）对向量,作归一化处理，得,向量,即为所求。,4）求的方法与方根法相同，即,对前例用和积法求得的结果如下：,四、相容性判断,这样就提示我们可以用的关系来度量偏离相容性的程度。,若矩阵A完全相容，则有，否则,由于判断矩阵的三个性质中的前两个容易被满足，第三个“一致性”则不易保证。如判断矩阵A被判断为A有偏差，则称A为不相容判断矩阵，这时就有,度量相容性的指标为C.I.(ConsistenceIndex)，,度量相容性的指标为C.I.(ConsistenceIndex)，,一般情况下，若C.I.0.10，就可认为判断矩阵A有相容性，据此计算的W是可以接受的，否则重新进行两两比较判断。,度量相容性的指标为C.I.(ConsistenceIndex)，,一般情况下，若C.I.0.10，就可认为判断矩阵A有相容性，据此计算的W是可以接受的，否则重新进行两两比较判断。,判断矩阵的维数n越大，判断的一致性将越差，故应放宽对高维判断矩阵一致性的要求，于是引入修正值R.I，见下表，并取更为合理的C.R为衡量判断矩阵一致性的指标。,五、综合重要度的计算,方案层n个方案对准则层的各准则的相对权重为：,设有目标层A、准则层C、方案层P构成的层次模型（对于层次更多的模型，其计算方法相同），准则层C对目标层A的相对权重为：,A,C1,C2,C3,C4,P1,P2,P3,p11,p12,p13,p14,c1,c2,c3,c4,P1对A的权重为：p11c1+p12c2+p13c3+p14c4,案例1,某公司董事会准备挑选一位总经理，根据公司章程，董事会提出了挑选总经理的十二条标准（1）忠诚正派；（2）责任心强；（3）虚怀若谷；（4）有远见；（5）有组织协调能力；（6）知人善用；（7）多某善断；（8）精通业务；（9）学历高，知识面广；（10）具有现代管理知识；（11）身体健康；（12）年龄合适。在报名竞争的总经理人选中，根据董事会任命的人事小组评选结果，得分最高的三人总分一样，其得分如下：,为了从中选出一人为总经理，应进行权重分析。若得到十二个指标的权重，便可详细区分。,选经理,B1,B2,B3,B4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,B1:道德水平,B2:管理才能,B3:学识水平,B4:健康水平,目标层,准则层,标准层,（每行相加）,（归一化）,案例2,改变闹市区交通环境（G）,通车能力C1,方便市民C2,改建费用C3,安全性C4,市容美观C5,天桥A1,地道A2,搬迁A3,思考与练习,试述层次分析法的基本思想与步骤。完成案例1，案例2的计算。,11.6网络分析法（ANP）,网络分析，是运筹学的一个重要分支,它主要运用图论方法研究各类网络的结构及其优化问