直线、平面的投影(土建)VIP

1.3直线的投影,直线的投影可由该线的二点或一点已知一方向作出；,直线有特殊位置直线（平行线、垂直线）和一般位置直线之分；,直线对投影面H、V、W的倾角分别为、。,a,b,直线的投影一般情况下仍为直线；,直线对一个投影面的投影特性,一.直线的投影特性,直线垂直于投影面投影积聚为一点积聚性,直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB真实性,直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=AB.cos类似性,2.直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。,二.投影面平行线的投影,1.水平线的投影,1）水平投影显实长；2）其他两投影与相应的轴线平行；3）水平投影现倾角。,实长,2.正平线的投影,1）正面投影显实长；2）其他两投影与相应的轴线平行；3）正面投影现倾角。,实长,二.投影面平行线的投影,1.水平线的投影,3.侧平线的投影,1）侧面投影显实长；2）其他两投影与相应的轴线平行；3）側面投影现倾角。,二.投影面平行线的投影,2.正平线的投影,1.水平线的投影,三.投影面垂直线的投影,1.铅垂线的投影,1）水平投影积聚成点；,2）其他两投影与相应的轴线平行；且反映实长。,积聚成点,2.正垂线的投影,2）其他两投影与相应的轴线平行；且反映实长。,三.投影面垂直线的投影,1.铅垂线的投影,1）正面投影积聚成点；,3.侧垂线的投影,1）侧面投影积聚成点；,2）其他两投影与相应的轴线平行；且反映实长。,2.正垂线的投影,三.投影面垂直线的投影,1.铅垂线的投影,投影面平行线的投影,水平线,正平线,侧平线,投影面垂直线的投影,铅垂线,正垂线,侧垂线,例题：判断下列直线的位置,四.一般位置直线的投影,1）各投影均不与轴线平行，呈类似状；2）投影图上没有反映真实倾角的投影存在；3）各投影均不反映实长。,线段实长与倾角的求法,由于直线的线段长与其投影长度之间存在着余弦（cos）关系，故可利用直角三角形来进行求解。,线段实长与倾角的求法,利用直角三角形法求直线AB的实长及其对V、H的倾角,AB,ab,AB,AB,这一方法除求实长外，还可用来求解坐标差、投影长以及倾角的大小。,五、直线上的点,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。,若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。,AC/CB=ac/cb=ac/cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,等比定理,点分割线段成定比，点的投影必分割线段的投影成相同的比例等比定理。即：,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：,解法二：,a,b,（应用第三投影）,（应用等比定理）,例3：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在ab上，故点K不在AB上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,六、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。,两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于投影面平行线，只有这两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。要用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,两直线相交,投影特性：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,3两直线交叉,为什么？,两直线相交吗？,不相交！,交点不符合点的投影规律！,1(2),同名投影可能相交，但交点不符合点的投影规律。,投影特性：,、是H面的重影点，、是V面的重影点。,两直线垂直,直角投影定理：互相垂直的两直线，若一直线平行于投影面，则这两直线在该投影面的投影，反映直角。反之，若两直线的某一投影呈直角，且其中一直线平行于该投影面，则此两线必垂直。,两直线垂直,a,b,c,a,b,c,例：过C点作直线与AB垂直相交。,例：作等腰直角三角形ABC，其中一直角边在正平线MN上，顶点A在EF上。,c,b,c,b,C,B,1.4平面的投影,平面可由不在一直线上的三点、一点一线、二平行线、相交两线、及三角形乃至各种平面图形给定；,平面与投影面的位置关系，仍然有特殊和一般之分。,一平面的分类,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,二平面的投影特性,投影面平行面的投影,1.水平面的投影,1）水平投影反映实形；,2）其他两投影积聚成线，且平行于相应的轴线。,实形,2.正平面的投影,投影面平行面的投影,1.水平面的投影,实形,1）正面投影反映实形；,2）其他两投影积聚成线，且平行于相应的轴线。,3.侧平面的投影,2）其他两投影积聚成线，且平行于相应的轴线。,1）侧面投影反映实形；,2.正平面的投影,投影面平行面的投影,1.水平面的投影,a,b,c,a,b,c,a,b,c,投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,投影面垂直面的投影,1.铅垂面的投影,1）水平投影积聚成线；,2）其他两投影出现类似形状且不反映实形。,积聚成线,类似形,类似形,1）正面投影积聚线；,2）其他两投影出现类似形状且不反映实形。,投影面垂直面的投影,1.铅垂面的投影,2.正垂面的投影,积聚成线,类似形,类似形,2）其他两投影出现类似形状且不反映实形。,1）侧面投影积聚线；,3.侧垂面的投影,投影面垂直面的投影,1.铅垂面的投影,2.正垂面的投影,c,c,投影面垂直面,为什么？,a,b,c,a,b,b,a,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影为类似形。,a,c,b,c,a,a,b,c,b,例：正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求ABC的正面投影及侧面投影。,思考：此题有几个解？,一般位置平面的投影,各个投影的图形之间以及与空间平面图形之间，均保持着一种既不全等、又不相似的类似形状。,c,例.已知平面ABC的正面投影、水平投影，求其侧面投影。,b,a,三平面的迹线,在投影体系中，空间平面与投影面的交线，称为迹线。以迹线的方式也可在投影体系中确定一个空间平面。,三平面的迹线,用迹线表示平面（实质上是用相交二线表示平面的特殊形式）,三平面的迹线,四平面上的点和线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,位于平面上的直线应满足的条件：,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,面上取点的方法：,首先面上取线,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,有无数解！,在给定平面上取投影面的平行线,根据面上取点取线的作图法，可在给定平面上任意取各投影面的平行线。,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。,n,m,n,m,c,a,b,c,b,唯一解！,例3：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,d,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,b,c,k,a,d,a,d,b,c,k,例4：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法二：,c,解法一：,b,方法一,方法二,最大斜度线,平面上垂直于该面迹线的直线，称为最大斜度线。最大斜度线必与属于该平面的投影面的平行线垂直。最大斜度线标志着该平面对于投影面的最大斜度。最大斜度线对于投影面的倾角，直接反映了该平面对于投影面的倾角。,作最大斜度线,n,n,e,e,m,m,mn,MN,最大斜度线,过C点作面上水平线CE,过B点作面上的H面的最大斜度线MN,求MN的实长和倾角,平