线性代数之行列式的性质及计算

第二节 行列式的性质与计算2.1 行列式的性质考虑将它的行依次变为相应的列，得称为的转置行列式 .性质1 行列式与它的转置行列式相等.（） 事实上，若记 则 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.性质2 互换行列式的两行()或两列()，行列式变号. 例如 推论 若行列式有两行（列）完全相同，则. 证明: 互换相同的两行, 则有, 所以. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数，等于数乘以此行列式，即推论：(1) 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面；(2) 中某一行(列)所有元素为零，则；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即.证: 由行列式定义性质6 行列式的某一行（列）的各元素都乘以同一数加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变，即计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值例1: 计算行列式解: .此方法称为归边法.例2: 计算n阶行列式解: (1)(箭形行列式)(2) 注意到行列式各行元素之和等于,有.例3: 设证明:证: 对作行运算, 把化为下三角形行列式:对作列运算, 把化为下三角形行列式:先对的前k行作行运算, 然后对的后列作列运算, 把化为下三角形行列式:故, .思考练习1.计算行列式2.证明3. 证明4.计算行列式答案2.左边=.3. 证 (1)左边(2)左边右边4. 解: 从第4行开始，后行减前行得， 2.2 行列式按行（列）展开对于三阶行列式，容易验证：可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n1阶行列式来计算？一、余子式与代数余子式定义：在阶行列式中，划去元素所在的第行和第列，余下的元素按原来的顺序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作；而称为元素的代数余子式.例如 三阶行列式 中元素的余子式为元素的代数余子式为四阶行列式中元素的代数余子式为二、行列式按行（列）展开定理 阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即证 （1）元素位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;此时 而,故; （2）将中第行依次与前行对调，调换次后位于第一行;将中第列依次与前列对调，调换次后位于第一列;经次对调后，就位于第一行、第一列，即.(3) 一般地.推论 n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即证 考虑辅助行列式该行列式中有两列对应元素相等.而，所以.关于代数余子式的重要性质 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.三、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式.计算行列式常用方法：化零，展开.例4: 计算四阶行列式.解: .例5 已知4阶行列式解: (方法1) 直接计算(方法2) 利用行列式的按列展开定理，简化计算.例6: 计算阶行列式解：.例7: 计算四阶行列式.解: 按第1行展开，有,对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得.例8: 证明范得蒙行列式（Vandermonde),其中表示所有可能的的乘积.证: (用数学归纳法)时,结论正确;假设对n-1范得蒙行列式结论成立，以下考虑阶情形. .例9 用范德蒙行列式计算4阶行列式解 ：对照范德蒙行列式，此处