线性代数详细知识点

线性代数第一章 行列式1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论：如果，则二元线性方程组 的解为，。定义：设，记为。称为二阶行列式有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为，二、三阶行列式与三元一次线性方程组定义：定理：如果，则是下面的三元线性方程组的解 当且仅当,其中为系数行列式。 证明：略。性质1：行列式行列互换，其值不变。即。性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。例如推论：行列式有两行相同，其值为零。性质3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。例如 推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。推论：行列式有一行全为零，其值为零。性质4：行列式有两行成比例时，其值为零。性质5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。例如性质6：将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数后加到另一行(列)对应位置的元素上, 其值不变。例如性质7：行列式按某一行展开定理的证明：用乘第一个方程，得用乘第一个方程，得；同理，有。+（-1）+，得利用性质7，得从而。定理：有非零解当且仅当系数行列式。证明：必要性：若齐次方程组有非零解，如果，由前面的定理，矛盾。充分性：若，注意=把带入第2和第3个方程，容易验证它是方程组的解。因此，如果不全为零，则定理得证。如果，则。原方程组实际上等价于。而该方程组一定有非零解（为什么？自己讨论）。2 全排列及其逆序数定义：的一个排列是指这个数组成的一个有序组。定义（逆序与逆序数）：设是的一个排列，如果，而，则称构成一个逆序对，排列的所有逆序对的个数叫做置换排列的逆序数，记为。叫做排列的符号，记为。的排列叫做偶排列，的排列叫做奇排列。 定理3.2.1：设，是的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换把是变成。例：排列包含的逆序对有、；、；。故逆序数为12。3 阶行列式的定义一、阶行列式的正式定义 定义：数域上的阶行列式定义为。其中对任意的，。通常记之为。例1：。例2：例3：例4：。例5：5、行列式的性质性质1：行列式行列互换，其值不变。即。性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。推论：行列式有两行相同，其值为零。性质3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。 推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。推论：行列式有一行全为零，其值为零。性质4：行列式有两行成比例时，其值为零。性质5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。性质6：将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数后加到另一行(列)对应位置的元素上, 其值不变。6 行列式按行展开定义1：在中，把位于行，列的元素划去后留下的行列式叫做的余子式，记为。而叫做的代数余子式。引理： 。证明：注意的逆序数与的逆序数的关系，其中是的一个排列。引理：在阶行列式中，若，而对所有的，。则。定理3：推论：如果，则例13：行列式的计算1）一般方法：把它化为上三角行列式。2）递推法例7：例8：例9： 例10：例：计算下面行列式的值例：计算下面行列式的值 解： 例12：例10：补充 拉普拉斯定理1方阵中某k阶子式的余子式和代数余子式定义1：在中，选取位于、行，、列的元素构成的行列式叫做原行列式的阶子式。划去这些行列的元素后余下的元素按照原来的位置组成的行列式称为该子式的余子式。记为。定义：叫做原子式的的代数余子式。2拉普拉斯(Laplace)定理 定理：设在阶行列式中任意取定行，则由这行元素组成的一切阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于。即3. 拉普拉斯(Laplace)定理的应用 例1： 例2：计算定理：这里。 证明：构造7 克拉默法则 线性方程组的有关概念定理7.1：克拉默法则推论：齐次线性方程组（1）有非零解当且仅当系数行列式为零。证明：必要性。若齐次线性方程组有非零解，由克拉默法则，系数行列式为零。充分性。若系数行列式为零，利用归纳法。当时，结论成立。假设时，结论成立。现在证明时，结论成立。不妨设。把方程化为 （2）。 其系数行列式为 注意方程 （3）的系数行列式。所以（3）有非零解，从而（2）有非零解。因此（1）有非零解。推论7.3：在齐次线性方程组（1）中，若，则它有非零解。例1：求一个二次多项式，使得，。例2：若的系数行列式为零，证明，是它的一个解。第二章 矩阵1 矩阵1矩阵的定义定义1：数域上的矩阵为行列的数表记为或者。叫做矩阵的第行列的元。对角元素。当=，矩阵叫做阶方阵。实矩阵与复矩阵。矩阵的相等矩阵与是相等的，若（）。零矩阵 若（），则称矩阵为零矩阵。负矩阵 叫做矩阵的负矩阵，记为。上三角矩阵 形如和的矩阵叫做上三角矩阵。对角矩阵 阶方矩阵叫做阶对角矩阵。单位矩阵 叫做阶单位矩阵。2 矩阵的运算【矩阵的加法】+=【矩阵与数的标量乘法】 命题：对数域上的任意矩阵、，以及任意的，有1）2）3）4）5）6）7） 8）。【矩阵的乘法】定义：对数域上的任意矩阵，矩阵，定义。其中（）。命题：1）矩阵的乘法满足结合律：；2）3）4）（为阶方阵）矩阵的方幂【矩阵的转置】定义：矩阵叫做矩阵的转置矩阵，记为。命题：1）2）；3）；4）。【方阵的行列式】定义：行列式叫做阶方阵的行列式。记为。命题：1）2）；3）；4）。3逆矩阵1矩阵的定义定义：数域上的矩阵为行列的数表记为或者。叫做矩阵的第行列的元。对角元素。当=，矩阵叫做阶方阵。行列式叫做阶方阵的行列式。记为。矩阵的相等矩阵与是相等的，若（）。零矩阵 若（），则称矩阵为零矩阵。负矩阵 叫做矩阵的负矩阵，记为。上三角矩阵 形如和的矩阵叫做上三角矩阵。对角矩阵 阶方矩阵叫做阶对角矩阵。单位矩阵 叫做阶单位矩阵。转置矩阵 矩阵叫做矩阵的转置矩阵，记为。2矩阵的运算矩阵的加法+=矩阵与数的标量乘法 命题：对数域上的任意矩阵、，以及任意的，有1）2）3）4）5）6）7） 8）。 矩阵的乘法定义：对数域上的任意矩阵，矩阵，定义。其中（）。命题：1）矩阵的乘法满足结合律：； 2） 3）4）5）。 6）（为阶方阵）3矩阵的初等变换：初等行变换，初等列变换 初等行变换：1）交换两行的位置；2）用一个数乘以某一行；3）用一个数乘以某一行后加到另一行。4 矩阵分块法1矩阵的定义定义：数域上的矩阵为行列的数表记为或者。叫做矩阵的第行列的元。对角元素。当=，矩阵叫做阶方阵。行列式叫做阶方阵的行列式。记为。矩阵的相等矩阵与是相等的，若（）。零矩阵 若（），则称矩阵为零矩阵。负矩阵 叫做矩阵的负矩阵，记为。上三角矩阵 形如和的矩阵叫做上三角矩阵。对角矩阵 阶方矩阵叫做阶对角矩阵。单位矩阵 叫做阶单位矩阵。转置矩阵 矩阵叫做矩阵的转置矩阵，记为。2矩阵的运算矩阵的加法+=矩阵与数的标量乘法 命题：对数域上的任意矩阵、，以及任意的，有1）2）3）4）5）6）7） 8）。 矩阵的乘法定义：对数域上的任意矩阵，矩阵，定义。其中（）。命题：1）矩阵的乘法满足结合律：； 2） 3）4）5）。 6）（为阶方阵）3矩阵的初等变换：初等行变换，初等列变换 初等行变换：1）交换两行的位置；2）用一个数乘以某一行；3）用一个数乘以某一行后加到另一行。第一章 向量代数1向量的线性运算一向量的基本概念1向量的概念、有向线段、向量的表示2向量的长度或模、单位向量、零向量、负向量二向量的运算1向量的加法定义平行四边形法则、三角形法则加法的性质2向量的减法3向量的标量乘法标量乘法的定义，标量乘法的性质 2 向量的共线与共面1共线与共面的含义2共线与共面的判断和性质命题2.1 （1）如果存在实数，使得，则与共线；（2）如果与共线并且，则存在唯一的实数，使得。命题2.4 如果存在实数，使得，则、共面。命题2.5 如果、共面，并且与不共线，则存在唯一的实数对，使得。3线性相关与线性无关 线性相关与线性无关的定义 命题2.1、2.4、2.5的等价描述。问题：若一组向量线性相关，再加进一个向量后还是否线性相关？若一组向量线性无关，去掉一个向量后还是否线性无关？4自由向量、位置向量、空间点与向量的一一对应3向量的线性关系与线性方程组命题：取定空间仿射标架，对任意三个向量、，设，。则、线性相关当且仅当有非零解。 对任意三个不共面的向量、，向量可被它们线性表示与线性方程组解的关系。命题4.2推论4.3命题4.4推论4.5 第三章 线性方程组 1 n维向量空间定义：数域中n个数组成的有序数组称为数域上的一个维向量。称为该向量的分量。记。叫做零向量。向量叫做向量的负向量。记为定义：数域中两个向量叫做相等的，若对所有的，都有。这时记。定义：对数域中的任意两个向量、，定义。叫做与的和。定义：对数域中的任意向量、任意，定义。叫做与的标量乘法。命题：对数域中的任意向量、，以及任意的，有1）2）3）4）5）6）7） 8）。 定义：数域中的全体维向量关于上面定义的加法和标量乘法构成数域上的维向量空间。记为。定义：数域上的维向量空间的一个非空子集叫做的线性子空间，如果它满足下面的性质：1）对任意的、，有；2）对任意的和任意的，有。命题：维向量空间的任意有限个线性子空间的交仍然是的线性子空间。所有的维向量空间以及它的任意线性子空间通称为向量空间。命题：对于向量空间中的向量、，定义，则是的子空间。称为由、张成的线性子空间。 3 用消元法解线性方程组三个例子：1） 2） 3） 1. 线性方程组与矩阵 系数矩阵 增广矩阵 线性方程组的矩阵形式线性方程组 系数矩阵 增广矩阵线性方程组的矩阵形式或2. 线性方程组的初等变换 线性方程组的初等变换的定义。 命题：线性方程组的初等变换把线性方程组变成和它同解的方程组。3阶梯形方程组与行阶梯矩阵定义（149页）：注意：对方程组作一个初等变换等价于对它的增广矩阵作一个同样的初等行变换。 4消元法和将矩阵用初等行变换化为行阶梯矩阵 命题：任一线性方程组都可以用初等变换化为阶梯形方程组。命题（154页）：任一矩阵都可以用初等行变换化为行阶梯矩阵。5判断方程组解的情况定理（160页）：线性方程组经初等变换化为阶梯形方程组后，1）若阶梯形方程组出现“”，其中为常数，则原线性方程组无解；2）若阶梯形方程组不出现“”，且阶梯形方程组中实际方程的个数等于未知数的个数，则原线性方程组有唯一解；3）若阶梯形方程组不出现“”，且阶梯形方程组中实际方程的个数小于未知数的个数，则原线性方程组有无穷多个解。推论（163页）：齐次线性方程组经初等变换化为阶梯形方程组后，1）若阶梯形方程组中实际方程的个数等于未知数的个数，则原方程组只有零解；2）若阶梯形方程组中实际方程的个数小于未知数的个数，则原方程组有无穷多个解（有非零解）。 4 向量组的线性相关性教材166页定义：设、（）是数域上的向量空间中的向量组，如果存在中不全为零的数、，使得，则称、是线性相关，否则称为线性无关。定义：设、（）是数域上的向量空间中的向量组，如果存在中不全为零的数、，使得，则称可被、线性表示（线性表出），或者是、线性组合。 例1：包含零向量的向量组一定线性相关。 例2：由一个向量组成的向量组线性无关当且仅当该向量是非零向量。 例3：若向量组的一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关；若向量组线性无关，则向量组的任一个部分组线性无关。命题4.1 向量组、（）线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以被其余向量线性表示。推论4.1 向量组、（）线性无关的充分必要条件是其中任何一个向量都不能被其余向量线性表示。命题4.2 如果向量可以被向量组、线性表示，则表示方式唯一的充分必要条件是、线性无关。命题4.3 如果向量组、线性无关，而、线性相关，则向量可以被向量组、线性表示。推论4.2 如果向量组、线性无关，并且向量不能被向量组、线性表示，则、线性无关。命题4.4 维向量空间中的向量可被个向量线性表示当且仅当方程有非零解。命题4.5 维向量空间中个向量线性相关当且仅当方程有非零解。例5. 维向量空间的自然基向量、是线性无关的。这里。例6. 维向量空间个数超过的向量组一定线性相关。例7中个向量组成的向量组线性无关的充分必要条件是向量组的行列式不等于0。 5 向量组的秩定义：设（）=、，（）=、是向量空间中的两个向量组，如果向量组（）中的每一个向量都能被向量组（）线性表示，则称向量组（）可以被向量组（）线性表示；如果向量组（）和向量组（）可以互相线性表示，则称向量组（）和（）线性等价。命题5.1（231页）：向量组（）=、可以被向量组（）=、线性表示的充分必要条件是。向量组（）和向量组（）线性等价的充分必要条件是。推论5.1：如果向量组（）可以被向量组（）线性表示；向量组（）可以被向量组（）线性表示，则向量组（）可以被向量组（）线性表示。定义（232页）：向量空间中非零向量组的一个部分组称为极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，但是从这个向量组的其余向量（如果还有的话）中任取一个添进去，得到的新的部分组是线性相关的。命题5.2：向量空间中非零向量组的极大线性无关组一定存在。证明：推论5.2：向量空间中非零向量组的极大线性无关组一定和这个向量组本身等价。引理5.1（181页）：在向量空间中，若()=、可以被向量组()=、线性表示，如果，则、线性相关。证明：设（）。则考虑方程组 因为，所以它有非零解。即有不全为零的数使得。所以、线性相关。 推论5.3：在向量空间中，若()=、可以被向量组()=、线性表示，如果、线性无关，则。推论5.4：向量空间中非零向量组的任意两个极大线性无关组都包含相同个数的向量。定义：向量空间中非零向量组的极大线性无关组所含向量的个数叫做这个向量组的秩。向量组、的秩记为rank、。推论5.5：两个等价的向量组有相同的秩。命题5.3（233页）：向量组、线性无关的充分必要条件是rank、。6 矩阵的秩定义：矩阵的行秩和列秩。引理6.1：设、是向量空间中的向量组，。每个都添上个分量（所添分量的位置对于、都一样），便得到中的向量组，称为原向量组的延伸组。若、线性无关，则它的延伸组也线性无关。引理6.2：如果齐次线性方程组的系数矩阵的行秩，那么它有非零解。证明：不妨设系数矩阵的前行线性无关。则原方程经过初等变换可以化为该方程有非零解。所以原方程有非零解。定理6.1：任意矩阵的行秩和列秩相等。证明：设矩阵的行秩和列秩分别为和。不妨设矩阵的前行线性无关，记，则只有零解。即只有零解。所以的行秩等于。不妨前行线性无关，由引理6.1，矩阵的前列线性无关。所以。同理可证。因此。定义：矩阵的行秩叫做矩阵的秩。推论6.1：。定理6.2：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。定理6.3：设矩阵经过初等行变换化为行阶梯矩阵，则的秩等于的非零行的数目。设的主元所在的列为、，则的第、列构成的列向量组的一个极大线性无关组。推论6.2：设是阶方阵，则。定理6.4：一个阶矩阵的的秩等于当且仅当有一个阶子式不为零，而所有阶子式全为零。 7 用矩阵的秩判断线性方程组解的情况 （3.1） 记为（3.1）的系数矩阵，为（3.1）的增广矩阵。定理7.1 线性方程组（3.1）有解的充分必要条件是它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，即。证明：方程（3.1）改写为 。定理7.2 线性方程组（3.1）有解时，如果它的系数矩阵的秩等于未知量的个数，则（3.1）有唯一解；如果它的系数矩阵的秩小于未知量的个数，则（3.1）有无穷多个解。推论7.1：线性方程组（3.1）有唯一解的充分必要条件是。（3.1）有无穷多解的充分必要条件是。推论7.2：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个数。 8 向量空间的基与维数定义：设是一个向量空间，中的向量组、叫做的一个基，如果中的任一向量都可以被、线性表示，并且表示方式是唯一的。命题8.1：中的向量组、是的一个基当且仅当、线性无关，并且中的任一向量都可以被、线性表示。 定理8.1：数域上任一非零向量空间都有一个基。证明：首先证明对任意的，有一个基恰好包含个向量。其次，证明对的任一非零子空间都有一个基。推论8.1：数域上非零向量空间的任何两个基都包含相同个数的向量。定义：数域上非零向量空间的基包含的向量个数叫做的维数，记为。零向量空间的维数规定为0。命题8.2：设数域上非零向量空间的维数是，则中任意个线性无关的向量组是的一个基。命题8.3：设、是向量空间的两个非零子空间，如果，则。命题8.4：设、是向量空间的两个非零子空间，如果且，则。命题8.5：设（）=、是中的非零向量组，则（）的一个部分组是极大线性无关组当且仅当它是的一个基。推论8.2：设、是中的非零向量组，则rank、 9 齐次线性方程组解的结构1齐次线性方程组的解空间2齐次线性方程组的基础解系3齐次线性方程组的一般解4基础解系的求法命题9.1：数域上元齐次线性方程组（9.1） 解的集合是方程组（9.1）的解是的子空间。称为（9.1）的解空间。 定义：数域上元齐次线性方程组（9.1）的非零解空间的一个基叫做（9.1）的一个基础解系。 定理9.2：若数域上元齐次线性方程组（9.1）的系数矩阵的秩，则它一定有基础解系且基础解系包含的解向量的个数等于。即。 推论9.1：对数域上元齐次线性方程组（9.1），有。 10 非齐次线性方程组解的结构、线性流形 定义：设是数域上向量空间的非空子集，如果对任给、任意的且，都有。则称是数域上向量空间中的线性流形或仿射子空间。对比子空间的定义：是向量空间的子空间，如果对任给、任意的，都有。定义：设是数域上向量空间的线性流形（）。如果或，则称这两个线性流形平行，记为。向量叫做和线性流形平行，如果。记为。定理10.1：数域上向量空间中的子集是线性流形当且仅当它具有以下形式：其中是中任意取定的向量，是的线性子空间。此外，被唯一确定。叫做线性流形的方向子空间。的维数叫做线性流形的维数。定理10.2：数域上元非齐次线性方程组如果有解，其解的集合是方程组（9.1）的解是的一个线性流形。并且可表示为，其中是非齐次线性方程组的一个解；是对应的齐次线性方程组（导出组）的解空间。推论10.1：数域上元非齐次线性方程组如果有解，则解是唯一的充分必要条件是它的导出组只有零解。 11 几何空间中平面的仿射性质定义：对中的方程组 （11.1），记是方程组（11.1）的解称是方程组（11.1）的图象；而方程组（11.1）叫做图象