线性代数向量空间

n维向量空间向量组的线性相关性向量组的秩齐次线性方程组非齐次线性方程组,第四章向量空间,n维向量的概念与运算n维向量空间向量组的线性组合与线性表示,第一节n维向量空间,一、n维向量的概念与运算,定义4.1,例如,向量,时，维向量没有直观的几何形象,确定飞机的状态，需要以下6个参数：,飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用6维向量,维向量的实际意义,定义4.2,定义4.3,定义4.4,定义4.5,向量的加减法、数乘运算都按照矩阵的运算法则进行运算,注意,运算规律,有了矩阵和向量的定义后，按矩阵的乘法，形如,含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式,其中,特别地,实数域上的n维向量全体，当定义了,二、n维向量空间,定义4.6,定义4.7,上述向量的加法及数乘向量运算之后，就称其为,为实数域上的n维向量空间。记作,空间,三、向量组的线性组合与线性表示,定义4.8,由若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组。,设,是n维向量组，,是一组实数，,的线性组合。,例如向量,就是这3个向量的一个线性组合。,存在一组实数,则称向量b是向量组,使得,也称向量b可由向量组,线性表示。,都是n维向量,如果对向量b,的线性组合，,例如对向量,有,及,还有,而且表示的方法不惟一,向量,n维向量,向量空间,小结,n维向量的运算,n维向量的概念、表示,解析几何与线性代数中向量的联系与区别,向量空间的概念,向量在生产实践与科学研究中的广泛应用,设,问是不是子空间？为什么？,如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加,答36维的,若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用,第二节向量组的线性相关性,向量、向量组与矩阵向量组的线性相关与线性无关向量组线性相关的判定定理,一、向量、向量组与矩阵,向量组,，称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,如果对给定向量组A：,存在不全为零的实数,定义4.9,否则称之为线性无关。,二、向量组的线性相关与线性无关,使得,则称向量组,线性相关；,线性无关。,即当且仅当,注意,(1)任何含有零向量的向量组都线性相关.,（2）仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分必要条件是两向量的对应分量成比例。其几何意义是两向量共线。,（3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。,由于,即,例4.8试判断下列向量组的线性相关性,解若存在数,使,即,因为其系数行列式D=,于是方程组只有零解，,线性无关。,所以,例4.9试判断下列向量组的线性相关性,解考察,按分量写出来，即为,（其中a，b，c，d各不相同）,该方程组的系数行列式,由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零,即方程组只有零解，从而,线性无关。,解若存在数,即,例4.10试判断下列向量组的线性相关性,因为其系数行列式D=,于是方程组有非零解，即有不全为零数使(*)成立,线性相关。,所以,令,显然,是它的一个解，计算可知,因此,线性相关。,由（a）代入（b）（c）整理得,另解,证明设有,线性无关。,例4.11试证n维单位坐标向量组,即,解之得,所以,线性无关。,定理4.1n维向量组,线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由,其余向量线性表示。,证明必要性若,即存在不全为零的数,使得,三、向量组线性相关的判定定理,线性相关，,不妨设,于是,即,可由其余的向量,线性表示,充分性若有一个向量,可由其余的向量线性表示,即,那么由系数,不全为零，,知向量组,线性相关。,定理4.2n维向量,线性相关的充要条件是齐次线性方程组AX=0有非零解,其中,证明按线性相关的定义，向量组,等价于方程,的线性相关,有非零解。,若令,则上式写成,因为(1)与(2)同解，也就是说，向量组,的线性相关等价于其次方程组AX=0有非零解。,条件是,推论n个n维向量,线性相关的充要,定理4.3,中任意n+1个向量,必定线性相关,证明若,线性相关，则,线性相关，,线性无关，则由于方程组,的系数行列式不为零，,所以方程组有唯一解，即,可由,线性表示，从而知,线性相关,推论m个n维向量（mn）必线性相关。,定理4.4设n维向量组,线性无关，而,线性相关，则,可由,线性表出，且表示法唯一。,证明由,零的数,线性相关知，存在不全为,使得,若,则,不全为零，而有,这与,线性无关相矛盾，,从而,于是,即,可由,线性表示。,假若,可有两种不同的表示方法，设,两式相减，得,唯一性,线性无关相矛盾，,不全为零，则与,如果系数,从而,必全为零,线性表示的方法是唯一的。,定理4.5设有两向量组,则有（1）若向量组,线性无关。,也线性无关,则向量组,也线性相关。,（2）若向量组,线性相关，,则向量组,证明（1）反证假设,则存在不全为零的数,使得,即,线性相关，,由其前r个等式得：,即,这表明r维向量组,所以r+1维向量组,线性无关。,线性相关，矛盾，,(2)反证假设r维向量组,由（1）推得r+1维向量组,线性无关；,线性无关，,与题设矛盾。所以向量组,线性相关。,证毕,此结论对m个r维向量组添加m-r维分量的情形也成立。,定理4.6若n维向量组A：,线性相关，,则向量组B：,线性相关。,反言之若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关,证明由向量组A：,线性相关，知,存在不全为零的实数,使得,于是,而,不全为零,故向量组B线性相关。,反之，假若向量组A线性相关，则由上述证明知,向量组B线性相关，这与已知矛盾。,于是向量组A线性无关。,本定理说明（1）若向量组有一个部分组线性相关，则该向量组也线性相关。,（2）线性无关向量组的任一个部分组都线性无关。,例4.12设向量组,线性无关，而,线性相关，,试证（1）,可由,不可由,线性表示，,线性表示，,（2）,证明（1）,因为,线性无关，,由定理4.6知，其部分组,也线性无关，,又因为,线性相关，,所以由定理4.4知：,也即,因此,可由,线性表示。,可由,线性表示，即,证（2）用反证法假设,可由,线性表示，即,而由（1）的证明知,将之代入上式得：,此式说明：,可由,线性表示，,从而可推出,线性相关，与题设矛盾。,不可由,线性表示。,故,.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）,.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理（难点）,小结,若存在一组数,使得,则向量组,A线性相关B线性无关C部分线性相关,D可能线性相关也可能线性无关,1.向量组,线性无关的充要条件是,A,都是零向量,B,中任意两个向量的分量不成比例,C,中有一部分组线性无关,D,中任意向量均不可由其余向量,线性表示,练习,2.设有向量组,则下列哪种说法正确?,A该向量组线性相关，则,必可由,线性表示。,B该向量组线性无关，则其中任何m-1个向量必,线性无关。,C若该向量组中任何两个向量都线性无关，则该向,量组必线性无关。,D若,全为零，使,则该向量组必线性无关。,向量组之间的关系向量组的极大无关组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩,第三节向量组的秩,设有两个n维向量组A:,B:,如果A组中每个向量,都可由向量组B,则称向量组A可由向量组B线性表示。,线性表示，,一、向量组之间的关系,定义4.10,如果A、B这两个向量组可以互相线性表示，则称向量组A和向量组B是等价的，记为AB。,关于向量组的等价，显然有下面三条性质：,1.自反性AA2.对称性若AB，则BA3.传递性若AB，BC则AC,定理4.6在,中，如果向量组A：,可由向量组B：,而且,线性无关，则,线性表示，,证明假设,因为,都可由,线性表示，故可设,以上各式的系数构成k个s维的向量,因为,所以这k个s维向量线性相关，,即存在一组不全为零的实数,使,考察,由于,不全为零，所以,线性相关与已知矛盾，从而,推论等价的线性无关向量组所含向量的个数相等。,二、向量组的极大无关组,（1）线性无关（2）A组中任何一个向量，都能由B组向量线性表示,定义4.11,若向量组A的一个部分组B满足,则称部分组B为向量组A的一个极大线性无关组（简称极大无关组）.,定理4.7向量组与它的任一个极大无关组等价,证明因为极大无关组可由向量组线性表出，由极大无关组的定义，所给向量组可由极大无关组线性表出，所以向量组与它的任意一个极大无关组等价,推论向量组的任意两个极大无关组等价。,向量组,组中所含向量的个数r称为这个向量组的秩，记作,只含零向量的向量组的秩规定为0,的极大线性无关,三、向量组的秩,定义4.12,由定理4.6的推论及定义4.12易知：,两个等价向量组的秩必相同。,由矩阵,各列向量，,各行向量,四、向量组的秩与矩阵的秩,组成的矩阵A的列向量组为,组成的矩阵A的行向量组为,定理4.8矩阵A的列向量组的秩等于矩阵A的秩。,证明设矩阵A的秩为r，不失一般性，可设A的某一不等于零的r阶子式D位于A的左上角，,否则，可以经过调换列达到这一结果。,此时由假设含D,的任一r+1阶子式必等于零。,首先，A的前r列向量必线性无关，否则其中某个列向量可由其余r-1个列向量线性表示，便导出D=0，这与假设矛盾。,为此，作r+1阶辅助行列式,由前r个列向量线性表示。,个列向量可,其次，我们来证明A的第,从中可以看出，当,时,中有两行相同，因而,总之对任一,皆有,将,按最后一行展开，有：,其中,是,中相对于,的代数余子式，,它们皆与k无关，因为,故得,是A的含有D的r+1阶子式，,由假设知,的秩为r。,前r个列向量线性表示，也就证明了矩阵A的列向量,这就表明A的第,个列向量可由,解对A施行初等行变换化为行阶梯形矩阵,故R(A)=3，从而A的列向量组的极大无关组含3个向量，而三个非零行的非零首元在1、2、4三列，所以,例4.13求向量组,的极大无关组。,解由这些向量为行向量够构成一个矩阵，然后对此矩阵实施行初等变换化其为阶梯形,是向量组的极大无关组。,极大线性无关组的概念：最大性、线性无关性,矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩,关于向量组秩的一些结论：定理、推论,求向量组的秩以及极大无关组的方法：将向量组中的向量作为列(行)向量构成一个矩阵，然后进行初等行(列)变换,小结,向量组的秩与矩阵的秩有何关系？向量组的极大无关组是唯一的吗？,第四节齐次线性方程组,齐次线性方程组的概念,齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组的解空间,一、齐次线性方程组,齐次线性方程组,若令,则（1）可写成矩阵形式:,则(1)也可写成向量形式:,那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解？当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？,由(3)式可知:如果方程组(2)只有零解,即等式,线性无关,那么R(A)=n。,如果方程组(2)有非零解,则向量组,线性相关,那么R(A)n,定理4.9,证明,只有系数全为零时成立,从而,反之亦然。,齐次线性方程组的解有两个重要的性质如下：,二、齐次线性方程组的解空间,若用S表示方程组(1)的全体解向量所组成的集合则上述两个性质即为：,这说明集合S对向量的线性运算封闭，所以S构成的一个子空间，称其为齐次线性方程组(1)的解空间。,是齐次线性方程组,的一组解向量，若它满足下列条件：,三、齐次线性方程组的基础解系,定义4.13,解齐次线性方程组的关键即求其基础解系，进而求出通解。,注意,得行最简形矩阵,定理4.10,以B为系数矩阵的方程组,称为方程组（*）的自由变量，,因为向量组（*）线性无关，按定理4.5，加长的向量组（*）也是线性无关的，这样就得线性方程组(1)的n-r个线性无关的解。,则仍是,的解，并且,的基础解系，即证明了当R（A）=rn时齐次,使基础解系由n-r个解向量组成。,说明,方程组的基础解系不是唯一的,方程组的基础解系又称为解空间的基,若是的基础解系，则其通解为,解对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵,例4.14求解齐次线性方程组,由知方程组有非零解且与下面方程组同解,选为自由变量，得,令,解得,令,解得,从而得到一个基础解系,方程组的通解为,为任意常数,其中,例4.15求解齐次线性方程组,解对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵,得同解方程组,解得,故得方程组的一个基础解系为：,方程组的通解为,即,第五节非齐次线性方程组,非齐次线性方程组的概念,非齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组有解的条件,称为非齐次线性方程组,一、非齐次线性方程组,对方程组的系数矩阵A按列分块，记作A=,问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有解时怎样求出其所有解？,根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下等价命题：,二、非齐次线性方程组有解的条件,与方程组有解等价的命题,（1）线性方程组有解,通常用(4)来判断(1),是对应的齐次线性方程组,证明,性质2,三、非齐次线性方程组解的结构,非齐次线