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第五章，定积分，积分科学，不定积分，定积分，第一节，定积分的例子，第二节，定积分的定义，第三节，定积分的近似计算，定积分的概念和性质，第四节，定积分的性质，第一节，定积分的例子，第一节。在区间a，b中，将函数YF (x)设置为非负连续的，由直线xa、XB、y0和曲线YF (x)围成的图形称为曲线梯形，其中曲线弧称为曲线边。观察和思考，小矩形被填充在弯曲的梯形中。当小矩形的宽度减小时，小矩形面积和弯曲梯形面积之间的误差将如何变化？如何求有曲线边的梯形面积？为了解决步骤：1)中的分割问题，在区间a，b中随机插入n1个点，将曲线梯形分割成n个带直线的小梯形；2)近似。取任意一个I型窄曲线梯形作为小矩形，以，作为底部，作为高度，并且，用这个小矩形区域近似替换相应的窄曲线梯形区域，得到，3)求和。4)取极限，顺序，然后是弯曲的梯形区域，2)移动线性运动的距离，设置某个物体做线性运动，并且，找出物体在运动时间s内行进的距离，解决步骤：1)的划分，它被分成，在每个小片段上，物体经过，2)近似，获得，已知速度，n个小片段，行进的距离是，3)求和，4)取极限。上述两个问题的共性是：解决问题的方法步骤是同样的：“除法、逼近、求和、取极限”。所需的量极限具有相同的结构公式：特殊乘积和公式的极限，2)定积分定义(P225)，取极限的任一除法，趋向于确定的极限称为函数，区间上的定积分，即f(x)此时可在a，b上积分。它被记录为，定积分只与可积函数和积分区间有关，与积分和变量用什么字母表示无关，即定积分的几何意义是：有曲线边的梯形面积，有曲线边的梯形面积的负值，所有部分面积的代数和，可积的充分条件是：取，定理1，定理2，并且只有有限个不连续点(略证)。例1。根据定义计算定积分，求解：把0，1n分成相等的部分，点是、注、注、注。当n较大时，该值可用作近似值，注释使用，获得，并且两端分别相加以获得，即，例2。用定积分表示下列极限：解：3。定积分的近似计算。根据定积分的定义，可以得到下面的近似计算方法：把分成N等份：1。左矩形公式，1。右矩形公式，推导，3。梯形公式，4。抛物线法公式，抛物线法公式的推导，抛物线(如图)，那么以抛物线为顶点的梯形面积可以推导如下：例3。使用梯形公式和抛物线法公式，解：被用来计算yi的近似值(见右表)。(取n=10，计算时取5位小数)，采用梯形公式，采用抛物线法公式，积分的精确值是，计算定积分，4。定积分的性质，(假设所有列出的定积分都存在)，(k是常数)，证明：=右端，证明：当，当，因为，on，可以累加，所以当划分区间时，总是可以把c作为划分点，所以，当a，b，c的相对位置是任意的，例如，有，6。如果在a，b上，则证明：推论1。如果在a，b上，那么推论2。证书：即7。然后，设置示例4。测试证书：设置证书：也就是说，所以，也就是8。积分中值定理中至少有一点。
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