考研概率论复习

二维随机变量及概率分布一、 二维随机变量的联合概率分布表示(一). 二维随机变量的联合概率分布函数1. 概念 设为一个二维随机变量，为任两个实数，则称为的联合概率分布函数。2. 性质(1). (2). 关于或单调递增(3). ， (4). 关于或右连续，即，。(5). 对于任意4个实数，其中，均有如有满足(1) (5)，则一定可成为某一个二维随机变量的联合概率分布函数。例：问，能否作为某二维随机变量的联合概率分布函数？解：取，因，不能(二). 二维离散型随机变量的联合概率分布表1.概念 设为一个二维随机变量，且的取值仅有有限对数或可列对数，则称为二维离散型随机变量。二维离散型随机变量可用联合概率分布表或联合概率分布列表示。或2.性质(1). (2). (三). 二维连续型随机变量的联合概率密度函数1.概念设为一个二维随机变量，为一非负函数，若对任意实数其中，事件的概率，则称为二维连续型随机变量，称为的联合概率密度函数。2.性质(1). (2). 3. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数与联合概率分布函数的关系若的概率分布函数为，的概率密度函数为，则(1). (2). 4. 设的概率密度为， 若 具有唯一的反函数， 且，都有一阶连续偏导数，记 ，, 则设的概率密度为=例：设二维随机变量,问时，独立？解：，且，所以二维正态分布，因此 独立等价于不相关，从而等价于Cov=0 Cov =Cov= Cov- Cov= Cov- ，二、 二维随机变量的边缘概率分布表示(一). 二维随机变量的边缘概率分布函数若，则，。(二). 二维离散型随机变量的边缘概率分布表若或则(三). 二维连续型随机变量的边缘概率密度函数若，则，。三、 两个随机变量的独立性的判断1若的联合概率分布函数为，边缘概率分布函数分别为，则相互独立的充要条件为：=。2. 若的联合概率分布列为边缘概率分布列为则相互独立的充要条件为：3. 若的联合概率密度函数为，边缘概率密度函数分别为，则相互独立的充要条件为：=。四. 常用的二维随机变量1. 二维均匀分布 ， 的概率密度函数为， 2. 二维正态分布(1). ， 的概率密度函数为=(2).若，则，。五条件概率分布例1. 设二维随机变量的联合概率密度函数为求(1). 条件概率密度函数，(2). 条件概率解：(1). 的密度函数为，当，=，当时，所以，所以，当时，(2). 的密度函数为 ，例2. 设二维随机变量的联合概率密度函数为，求(1).，(2).条件概率密度函数解：(1). 的密度函数为又，所以(2). 六实例例1. 设随机变量和的联合分布是正方形上的均匀分布，试求随机变量的概率密度。解： 据题意，。先求的概率分布函数。显然，所以(1).，(2).，(3).， ，所以。例2. 设随机变量，且满足，求。解：先求的联合概率分布列-101-10.2500.510.250.250.50.25因-101-1000.2500.51000.250.250.50.25由联合分布和边缘分布的关系得-101-100.2500.2500.2500.250.5100.2500.250.250.50.25所以。例3. 设随机变量和的联合分布是矩形上的均匀分布，试求以为边长的矩形面积的概率密度。解： 据题意，。先求的概率分布函数。显然，所以(1).，(2).，(3).，所以。例4. 设二维随机变量的联合概率密度函数为(1). 求随机变量的概率密度函数(2). 求概率。解： 据题意，。先求的概率分布函数。显然，所以(1).，(2).，(3).， ，所以。例5. 设二维随机变量的联合概率密度函数为求随机变量的概率分布函数。解： ，(1).或，(2).，(3).且，(4).且，(5). ，例6.设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布，当三个电器元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作，求电路正常工作的时间的概率分布。解： 以表示第个电器元件无故障工作的时间，则相互独立,其分布函数均为且 的概率分布函数为(1).，=0(2).，=故。例7.已知随机变量的联合概率密度函数求随机变量的概率密度函数。解：(1). ，=0(2).，所以当，=所以 利用卷积公式也可做：已知随机变量的联合概率密度函数则的概率密度函数 ，或推导： 令，所以 所以。另解：利用卷积公式，即，所以当时，。例8.已知随机变量在单位圆内服从均匀分布，研究是否独立？解： 的联合概率密度函数，当或时，=，当时，所以，同理 因，所以不独立！例9.已知随机变量独立，且，记为随机变量的分布函数，求的间断点的个数。解： (1).时，(2).时，(3).时，可见仅在处间断，仅1个间断点.例10.袋中有1个红球，2个黑球，3个白球，现有放回地从袋中取2个，以表示两次所取得的红球，黑球，白球的个数，求(1). (2).的分布解：(1). (2).例11. 设随机变量相互独立，记求(1). 求 (2). 的概率密度函数。解：(1). .(2). 的概率分布函数=当，=0当，。当，当，当，所以。例12.设二维随机变量的概率密度为(1) 求的边缘概率分布，。(2) 求的概率分布。(3)解：(1) （2） (3) 例13. 设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上