2011高考数学一轮复习课件：导数的概念及其运算

第十一节导数的概念及其运算,1.导数的概念函数yf(x)在xx0处的导数一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是，称其为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|,2.导函数当x变化时，f(x)称为f(x)的导函数，则f(x).,y,f(x)与f(x0)相同吗？,提示：f(x)与f(x0)不相同；f(x)是一个函数，f(x0)是常数，f(x0)是函数f(x)在点x0处的函数值.,3.导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的，过点P的切线方程为：.,斜率,yy0f(x0)(xx0),4.基本初等函数的导数公式,0,nxn1,cosx,sinx,axlna,ex,5.导数运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),6.复合函数的导数理设uv(x)在点x处可导，yf(u)在点u处可导，则复合函数fv(x)在点x处可导，且f(x)，即yx.,f(u)v(x),yuux,1.f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值等于(),解析：f(x)3ax26x，f(1)3a64，a,答案：D,2.设正弦函数ysinx在x0和x附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为()A.k1k2B.k1k2.,答案：A,3.函数yxcosxsinx的导数为()A.xsinxB.xsinxC.xcosxD.xcosx,解析：y(xcosx)(sinx)xcosxx(cosx)cosxcosxxsinxcosxxsinx.,答案：B,4.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310 x3上，且在第二象限内.已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为.,解析：设P(x0，y0)(x00时，f(x)故f(1)f(0),答案：,1.根据导数的定义求函数yf(x)在点x0处导数的方法：(1)求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率(3)得导数f(x0)简记作：一差、二比、三极限.,2.函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数.,用定义法求下列函数的导数.(1)yx2；(2)y,【解】(1)因为,1.用导数的定义求函数y在x1处的导数.,解：,求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形.,求下列函数的导数：(1)yx2sinx；(2)y3xex2xe；(3)y(4)理ysin32x.,直接应用导数公式和导数的运算法则求导.,【解】(1)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.(2)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln3ex3xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2.,(4)理y3(sin2x)2(sin2x)6sin22xcos2x.,2.求下列函数的导数：(1)y(1)(1)；(2)y(3)yxex；(4)ytanx.,解：,(3)yxexx(ex)exxexex(x1).(4)y,1.函数yf(x)在点P(x0，y0)处的导数f(x0)表示函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率，导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为yy0f(x0)(xx0).,2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f(x0)(xx0).,【注意】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异；过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.,已知曲线y(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.,(1)在点P处的切线以点P为切点；(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.,【解】(1)yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24，曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.,(2)设曲线y与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，)，则切线的斜率ky|切线方程为y(xx0)，即y,点P(2,4)在切线上，4即40，40，(x01)4(x01)(x01)0.(x01)(x02)20，解得x01或x02.故所求的切线方程为4xy40或xy20.,3.已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.,解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13，切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.,(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)1，直线l的方程为y(1)(xx0)x016.,又直线l过点(0,0)，0(1)(x0)x016，整理得，8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).,法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k又kf(x0)1，1，解之得，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).,本节内容重点考查导数的几何意义及导数的运算，其形式多为选择、填空题，而难度较小.2009年江西卷就考查了几何意义，出题角度新颖.,(2009江西高考)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲