2013届高考文科数学一轮复习考案2.2 函数的的奇偶性与周期性

2.2函数的奇偶性与周期性,真题探究,考纲解读,知识盘点,典例精析,例题备选,命题预测,基础拾遗,技巧归纳,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,函数的奇偶性、周期性是高考常考内容,通常不单独命题,一般结合函数图象、定义域和值域等综合考查,要注意一些重要类型的奇偶函数、奇偶性与周期性综合命制的试题.周期性常在三角函数中出现,较复杂的函数周期性问题一般出现在抽象函数中,由函数的奇偶性、对称性、解析式来刻画函数的周期性,一般以选择题、填空题的形式出现,或作为解答题的其中一问.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.函数的奇偶性,(1)定义:如果对于函数f(x)在定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)在定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;如果对于函数f(x)不具有上述性质,则称f(x)不具有奇偶性;如果对于函数f(x)同时具有上述两条性质,则称f(x)既是奇函数又是偶函数.,(2)判断函数奇偶性的方法:,定义法(辨析f(-x)与f(x)的关系):,若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,图象法(利用函数图象对称性确定函数的奇偶性),f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称;,f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称.,(3)性质:,若函数f(x)具有奇偶性,则函数的定义域关于原点对称;,若函数f(x)为奇函数且在x=0处有意义,则f(0)=0;,奇函数f(x)在相对应的区间上单调性一致;偶函数在相对应的区间上单调性相反.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,2.函数的周期性,(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内的任意x,都有f(T+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.不为零的常数T叫做这个函数的周期.如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,这个最小的正数叫做最小正周期.,(2)性质:,周期函数的周期不止一个.如果T是函数f(x)的周期,则nT(nZ,且n0)也是f(x)的周期.,如果函数f(x)的周期为T,则f(x)(0)也是周期函数,且周期为.,如果函数f(x)的周期为T,则T也是的周期.,周期的推导与利用函数的周期解决问题.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为a-1,2a,则a=,b=.,【解析】偶函数的定义域关于原点对称,a-1+2a=0,a=,f(x)=x2+bx+1+b,又f(x)是偶函数,b=0.故a=,b=0.,【答案】0,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,2.设f(x)是R上任意的一个函数,则下列叙述正确的是(),(A)f(x)f(-x)是奇函数.,(B)f(x)|f(-x)|是奇函数.,(C)f(x)-f(-x)是偶函数.,(D)f(x)+f(-x)是偶函数.,【解析】设F1(x)=f(x)f(-x),由F1(-x)=f(-x)f(x)=F1(x),得F1(x)是偶函数;,设F2(x)=f(x)|f(-x)|,其奇偶性取决于f(x)的奇偶性;,设F3(x)=f(x)-f(-x),由F3(-x)=f(-x)-f(x)=-F3(x),得F3(x)是奇函数;,设F4(x)=f(x)+f(-x),由F4(-x)=f(-x)+f(x)=F4(x),得F4(x)是偶函数.,【答案】D,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,3.(2011年全国大纲卷)设f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)=2x(1-x),则f(-)等于(),(A)-.(B)-.(C).(D).,【解析】由f(x)是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:f(-)=f(-+2)=f(-)=-f()=-2(1-)=-.,【答案】A,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,4.已知奇函数f(x)的周期为4.当x0,2时,f(x)=2x,则f(-1009)=.,【解析】函数f(x)周期为4,于是f(-1009)=f(-1)=-f(1)=-2.,【答案】-2,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,例1(1)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x-2)为奇函数,且f(3)=5,则f(7)=.,题型1函数的奇偶性,(2)已知函数f(x)=a-,若f(x)为奇函数,则a=.,(3)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)-g(x)=x+2x,则g(x)=.,【分析】(1)利用f(x)为奇函数,g(x)=f(x-2)为奇函数,递推出f(x)的性质;,(2)利用f(x)为奇函数,由特值法f(0)求a的值;,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(3)代换x-x后分析g(x)的解析式.,【解析】(1)f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),又g(x)=f(x-2)为奇函数,g(-x)=-g(x),f(-x-2)=-f(x-2),f(x+2)=f(x-2),f(x+4)=f(x),f(7)=f(4+3)=f(3)=5.,(2)f(x)为奇函数,定义域为R,f(0)=0,a-=0,即a=.,(3)由得,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,2g(x)=-2x+2-x-2x,g(x)=-x+.,【答案】(1)5(2)(3)-x+,【点评】(1)把握住函数图象关于两个点对称时如何推导函数的性质,f(x)与g(x)均为奇函数,可得递推式f(x+4)=f(x),再由f(3)=5就可得到结果.(2)在解决小题时,用特值法确定参数a的值是常用的方法.(3)当一个奇函数与一个偶函数的和为一个解析式时,则这两个函数是已知的,故可用奇偶性求函数的解析式.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练1(1)函数f(x)为奇函数,且x(-,0)时,f(x)=x(x-1),则x(0,+)时,f(x)为(),(A)-x(x+1).(B)-x(-x+1).,(C)x(-x+1).(D)x(x-1).,(2)已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数,若F(x)=af(x)+bg(x)+3,且F(-2)=5,则F(2)=.,(3)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(x+1)f(x),则f()的值是.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)(2)F(-2)+F(2)=af(-2)+f(2)+bg(2)+g(-2)+6=6,F(2)=1.,(3)因为函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,令x=-,-f()=f(-)=f(),f()=0.,xf(x+1)=(x+1)f(x),f(x+1)=f(x)(x0),【解析】(1)当x0时,-xf()=0,2f()-1=0,f()=.,令x=y=,得f()+f(0)=2f()2,f()2=,f()0,f()=.,f()2f()-1=0.,f(x)在0,1上是单调函数,且f(0)=1,f()=0,【点评】本题从概念入手,首先要求学生真正地掌握概念的本质东西,其次本题对特值法求值也考查得较细.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练3设函数f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意的x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2).,(1)设f(1)=2,求f(),f();,(2)求证:f(x)是周期函数.,【解析】(1)由f(x1+x2)=f(x1)f(x2),x1,x20,知f(x)=f()f(),x0,1.,f(1)=f()2=2,f()=f()20,f()=f()20,f()=,f()=.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)由题意知f(x)的图象关于直线x=1对称,f(x)=f(2-x),函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x)=f(x-2),f(x+2)=f(x),f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,2.利用奇偶性、周期性解决问题要紧紧围绕定义,特别在求值过程中,首先求出奇偶性或周期性,对解决问题会起到非常好的效果.,1.判断函数的奇偶性一般用奇偶性的定义,利用定义的变形分析函数的奇偶性可达到事半功倍的效果.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.(2011年广东卷)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是(),(A)f(x)+|g(x)|是偶函数.,(B)f(x)-|g(x)|是奇函数.,(C)|f(x)|+g(x)是偶函数.,(D)|f(x)|-g(x)是奇函数.,【解析】由f(x)是偶函数、g(x)是奇函数,得|f(x)|和|g(x)|都是偶函数,所以f(x)+|g(x)|与f(x)-|g(x)|都是偶函数,|f(x)|+g(x)与|f(x)|-g(x)的奇偶性不能确定.,【答案】A,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,2.(2011年山东卷)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6)上与x轴的交点的个数为(),(A)6.(B)7.(C)8.(D)9.,【解析】因为当0x2时,f(x)=x3-x,又因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,所以f(4)=f(2)=f(0)=0,又因为f(1)=0,所以f(3)=0,f(5)=0,故函数y=f(x)的图象在区间0,6)上与x轴的交点的个数为6个,选A.,【答案】A,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,例1若函数f(x)=为偶函数,则a等于(),(A)-.(B).(C)-1.(D)1.,【解析】函数为偶函数,函数的定义域对称,x且x-,-+a=0,a=.,【答案】B,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,例2f(x)是定义在R上的函数,且f(x+3)f(x)+3,f(x+2)f(x)+2,f(1)=2,若an=f(n),(nN*),则a2011=.,【解析】f(x+3)f(x)+3,f(x+6)f(x+3)+3,f(x+6)f(x)+6.,f(x+2)f(x)+2,f(x+4)f(x+2)+2f(x)+4,f(x+6)f(x+4)+2f(x)+6.f(x+6)=f(x)+6,a2011=f(2011)=f(6335+1)=f(1)+6335=2012.,【答案】2012,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,例3设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)满足f(1-x)=f(x),且f()=2,则f(1)+f()+f(2)+f()+f(3)+f()=.,【解析】f(1-x)=f(x),f(x)是定义在R上的奇函数,f(x