第三章矩阵的标准型.ppt

教学的目的是理解矩阵的定义和不变因素的掌握。用初等变换的方法将矩阵变换成史密斯标准形式，以了解行列因子、初等因子及相关理论。运用掌握矩阵的约当标准型的方法来理解凯莱-汉密尔顿定理。第三章是关于矩阵和矩阵的约当标准形式。标准形理论源于矩阵的相似性，因为相似矩阵有许多相似的不变量：特征多项式、特征值(包括代数重数和几何重数)、行列式、迹和秩等。并且特征向量也可以通过可逆相似变换矩阵从彼此获得。这自然会导致在相似矩阵集中寻找“代表性矩阵”的问题。“代表性矩阵”当然越简单越好。对于可对角化的矩阵，“代表矩阵”是由特征值组成的对角矩阵。然而，非常令人遗憾的是，一般矩阵不一定与对角矩阵相似。初步知识：如果有一个多项式h()，那么f ()=d()，它被称为d()除f()，由d () | f()表示；设f()和g()是数域p上的两个一元多项式，如果d()满足d () | f()，d () | g()，则称d()为f()和g()的公共因子；如果f()和g()的公共因子是d()的因子；d()被称为f()和g()的最大公因数，而(f()，g()被用来表示f()和g()的最大公因数。2矩阵及其偏置下的标准形式。因为一般矩阵与对角矩阵不相似，我们“退而求其次”,寻找“几乎对角”矩阵。这就导致了相似矩阵的各种标准问题，其中约旦标准是最接近对角线的矩阵，在第一条对角线上只取1或0。了解矩阵相似性的本质使得理论、计算和应用中的许多问题变得容易处理，当然成本也很高。定义具有1个元素的多项式的矩阵称为-矩阵，表示为()。即，a ()=(aij () mn (i=1，2，m；J=1，2，其中aij()是数域p上的多项式。多项式aij()的最高次数被称为a()的次数，并且数域p中所有Mn的-矩阵被表示为p Mn。注：数字矩阵是-矩阵的特例。数字矩阵A的特征矩阵I-A是一阶矩阵。1.矩阵、矩阵加、减、乘和数乘运算的基本概念与数字矩阵的相应运算具有相同的运算法则。数字矩阵行列式的定义也可以应用于具有相同性质的矩阵。n阶矩阵的行列式是多项式，并且满足| a () b () |=| a () | | b () |。定义2设定了(p)Mn。如果a()有一个不为零的r阶子公式，并且所有的r 1阶子公式都为零，则a()的秩称为r，并且注意秩(a()=r-数矩阵a的特征矩阵I-a是n阶行列式，因此它是满秩的。矩阵的秩，定义3集合a () p Mn，如果存在n阶矩阵b()，使得a () b ()=b () a ()=I，则a()是可逆的，并且b()是a()的逆，表示为a ()-1。定理1设a () p Mn，且a()可逆的充要条件是| a () |非零常数。矩阵的逆，矩阵的初等变换，定义了4个初等变换，对应于3个初等变换，有3个初等矩阵p (I，j)。进行初等行(列)变换，相当于相应初等矩阵的左(右)倍；(2)初等矩阵是可逆的：p (I，j)-1=p (I，j)。p (I (k)-1=p (I (k-1)，p (I，j ()-1=p (I，j (-)，偏移(等价)，定义5为a()，b()，p Mn，如果a()通过有限次行和列初等变换转换为b()，a()与b()一起称为偏移(等价)，记住a () b()的定理2设置a()，b () p Mn，a()偏移b()的必要和充分条件是m阶初等矩阵P1()，p2()的存在.pl()，和n阶初等矩阵Q1()，Q2()，Qt()、making a ()=pl().P1(b)Q1(Q2).Qt()，3。偏置下矩阵的标准形式，将标准形式定义为偏置下的()或史密斯标准形式；据说，史密斯标准形的“主对角线”上的非零元素D1()，D2()，博士()是a()的不变因子。该定理反对具有标准di()和第一系数为1的多项式，对于任何Mn阶矩阵a()，其秩为r，并且di () | di 1()，示例1用于找到矩阵的史密斯标准形式。其解决思路是：通过一系列的初等行变换或初等列变换，左上角的元素数量逐渐减少，最终所有其他元素都可以被完全分割。解：不变因子：被转换成史密斯标准形式。对于正整数k (1 k r)，a()中所有k阶子公式的最大公共因子称为a()的k阶行列式因子，记为dk()。定理1所偏移的矩阵具有相同的秩和每个阶的相同的行列式因子。例1计算矩阵每个阶的行列式因子。因为(1) 2，=1，D1 ()=1，最后D3 ()=det (a ()=2 (1) 3，矩阵a()的史密斯标准形式被设置为行列式因子和不变因子之间的关系，其中di () (I=1，2.r)是第一个系数为1的不变因子，那么a()的行列式因子如下：So di () | di 1()，(I=1，2，r-1) di 1 ()=di 1 ()/di()，(I=1，2，定理2矩阵a()的史密斯标准形是唯一的。定理3设置了a()，b () p Mn，并且a()偏移b()的充要条件是它们具有相同的行列式因子或者它们具有相同的不变因子。一般来说，用行列式因子来求下一个矩阵的行列式因子和不变因子比较复杂，但先求行列式因子再求某些特殊矩阵的不变因子更简单。其中I是数域p中的常数。根据行列式因子的可除性，有D1 ()=D2 ()=DM-2 ()=1和DM ()=(-I) m，所以a()的常数因子是D1 ()=D2 ()=DM-1 ()=1，DM ()=(-I) m，设矩阵a()的不变因子是D1()，D2()，dr()，并将它们划分为复杂领域中主要因素的乘积，其中1.s是互不相同的复数，eij是一个非负整数，满足初等因子，定义2在不变因子的因式分解中，指数大于0的所有因子都称为矩阵a()的初等因子。注：在a()的秩已知的条件下，不变因子和初等因子是相互确定的。例3如果矩阵a()的不变因子是，a()的基本因子是，2，-1，(-1) 2，(-1) 3，(1) 2，(1) 3，-2。反之，如果a()的秩和初等因子是已知的，因为a()的秩决定了不变因子的个数，那么在由同一初等因子的幂构成的初等因子中，最高的一个必须在dr()的分解中，而最高的一个必须在dr-1()的分解中。因此，可以看出，属于同一基本因子的幂的基本因子是在常数因子的分解中唯一确定的。例如，如果a()的秩为4，其基本因子为，则a()的不变因子依次为D4()=2(-1) 3(-1) 3(1)3D 3()=(-1) 2，D2 ()=(-1)，D1 ()=1，2，-1，(-1) 2，(-1)3，(-1)2，(1)3，定理7将矩阵设置为块对角矩阵，则b()和c()的所有基本因子都是a()的基本因子。这个定理可以推广到n块的情况。定理6设置了A()，B () P Mn，并且A()抵消B()的充要条件是它们具有相同的秩和相同的初等因子。例4，史密斯标准形，解，那么，因为a1()的初等因子是，1；A2()的主因子是，A3()的主因子是，-1，1；从上述定理可以看出，a()的初等因子是，所以a()的不变因子是、-1，1，1，D4 ()=(-1) (1)，D3 ()=(1) D2 ()=，D1 ()=1，所以a()的史密斯标准形式是4个矩阵相似的条件，定理1数字矩阵a和b相似的充要条件是它们的特征矩阵e-a和e-b是偏移的。定义1n阶数字方阵A的特征矩阵E-A的行列式因子、不变因子和初等因子，分别称为矩阵A的行列式因子、不变因子和初等因子，4个矩阵相似条件，定理2n阶数字矩阵A和B是相似的，当且仅当它们满足下列条件之一：(1)它们具有相同的行列式因子，(2)它们具有相同的不变因子，(3)它们具有相同的初等因子。5矩阵的约当标准型定义一个1-所谓的平方矩阵为约当阶块。由几个约当块组成的块对角矩阵称为约当矩阵。(1)Ji由唯一的特征值I组成(2)特征值I的几何重数是1，代数重数是ni (3) Ji有唯一的初等因子；若当块Ji的性质对应于特征值，只有一个线性独立的特征向量，(4)若当块Ji的性质可以通过归纳法证明，假设若当矩阵，其中Ji=Ji (I)是一个一阶若当块，则(1)J的初等因子是(2)J有恰好s个线性独立的特征向量；注：约旦形矩阵的所有基本因子都由其所有约旦块的基本因子决定，因此约旦形矩阵唯一地由其除约旦块排列顺序之外的基本因子决定。如果定理1成立，那么a可以通过相似变换变换成唯一的约当形矩阵(不包括约当块的排列顺序)。约旦形矩阵称为阿吉的约旦标准形，吉是相应初等因子的约旦块，得到了方阵的约旦标准形。首先，用初等变换方法找到了A的约当标准型，因此A的初等因子是-1，(-1) 2，因此A的约当标准型是，或者说，初等因子方法的缺点是找不到相似的变换矩阵。定理2如果t是复域上n维线性空间v的线性变换，那么在v中有一组基，使得在这组基下的t的矩阵是一个Jordan矩阵。定理3:如果ACnn被设置，a类似于对角矩阵的充要条件是a的初等因子都是初等的。从定理1可知，寻找相似变换矩阵的步骤，方阵类似于标准形式j，即存在可逆矩阵p，因此：A=PJP-1，即AP=PJ，解如下：集合，即so:求解方程并选择合适的一个。求方阵的相似变换矩阵。例2，解：从例1开始，矩阵的约当标准型是，寻找相似变换矩阵：假设寻找矩阵是P，那么AP=PJ，对于P，它用列和块来标记，因此：在排序之后，三个方程是：前两个方程是相同的解方程，并且可以找到它们的基本解系统之一：这是因为如果p2没有被适当地选择，第三个非齐次线性方程将没有解。让：p2=k11k22代入第三个方程，选择适当的k1，k2，这样(I-a) P3=-(k11k22)就有了解。p1=1可以拿走，但p2=2不能简单地拿走。根据非齐次方程有解的条件：系数矩阵与增广矩阵具有相同的秩，并且其系数矩阵的秩可以容易地计算为1，因此增广矩阵的秩应该为1，并且k1=k2=1。由此，获得相似变换矩阵。对于三重约当标准型的一些应用，对于方阵A，如果A=P-1JP，An=P-1JnP，则得到一个，应用：1)一阶差分方程Uk 1=AUk=AkU0，例如Fibonacci序列Fk 2=Fk 1 Fk，用Uk 1=AUk形式写成，3。乔丹标准形式的一些应用，这是一个动态的问题。特征值det若当标准形的一些应用，例3为方阵，求A10，解：从例1，矩阵的若当标准形是，从例2，矩阵的相似变换矩阵是，因此，6Cayley-Hamilton定理和最小多项式在任何给定的数域p上定义一个n阶矩阵A，如果数域p上有一个多项式f(x)，使f(A)=0，那么f(x)是一个带根的多项式。(或称为a的零多项式)定理1凯莱-汉密尔顿定理，假设a是数域p上的nn矩阵，并且f ()=| e-a |，是a的特征多项式，则f (a)=an-(a11a22.an-1.(-1) n | a | e=0，最小多项式，定义a的根为3，系数为1，最低次为a的最小多项式，注：1。矩阵a的特征多项式是2。归零多项式不是唯一的。矩阵A的特征多项式不一定是最小多项式和最小多项式。定理2假设A是数域P上的N阶矩阵，M()是A的最小多项式，而()是A的任何零化多项式，然后是1的最小多项式。a是独一无二的；2.特别地，M()可以被A的特征多项式F()整除；3.0是当且仅当m (0)=0时的特征值；事实上，如果矩阵A类似于矩阵b: B=T-1AT，那么对于任何多项式f(x)，f (b)=t-1f (a) t，因此，f(B)=0，f(A)=0，这意味着类似的矩阵具有相同的最小多项式。否则，它不是。也就是说，具有相同最小多项式的矩阵不一定相似；定理3相似矩阵有相同的最小多项式。求矩阵A的最小多项式：步骤1:写出矩阵A的特征多项式，f(x)=| xE-A |；步骤2找出f(x)的所有因子；在步骤3中，获得矩阵a的最小多项式。在示例1中，获得了矩阵a的最小多项式。因为A的特征多项式是，|xE-A|=(x-1)3。a的最小多项式是(x-1)3的因子。因此，a的最小