2014-优化设计现代设计理论(河南理工大学

第2章优化设计(1),OptimalDesign,2.1概述,2.1.1优化设计基本概念,所谓优化设计，就是在规定的设计限制条件下，运用最优化原理和方法将实际工程设计问题转化为最优化问题，然后以计算机为工具进行寻优计算，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目标的最佳设计方案。,与传统设计方法不同，优化设计过程一般分为如下四步：设计课题分析建立数学模型选择优化设计方法上机电算求解获得最优解,例2-2现用薄钢板制造一体积为5，长度不小于4m的无上盖的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽和高的尺寸。,解：分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。设货箱的长、宽、高分别为，货箱的表面积为S，则该问题的物理表达式为：,(1)货箱的钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少：,可见货箱的表面积取决于货箱的长度、宽度和高度。,(2)满足的条件：,按优化数学模型的规范形式，可归纳为如下数学模型：,设计变量：,目标函数的极小化：,约束条件：,由等式约束条件可知，三个设计变量中只有两个是独立变量，即。所以，该问题的优化数学模型应写为：,约束条件：,这样，使该优化问题的数学模型更为准确、精炼。,设计变量：,目标函数的极小化：,(2-3),上式就是优化数学模型的一般表达式。这一优化数学模型，称为约束优化设计问题。,优化数学模型的向量形式：,一个完整的规格化的优化数学模型应包含有三部分内容，即设计变量X；目标函数；约束条件和。它们又称为：优化数学模型的三要素。,由于每一条曲线上的各点都具有相等的目标函数值，所以这些曲线称为目标函数的等值线。,所谓目标函数的等值线（面），就是当目标函数f(X)的值依次等于一系列常数(i=1,2,)时，设计变量X取得一系列值的集合。,对于一个目标函数来说，它可以有无穷多条的等值线。可以说等值线充满了设计空间。,由图可见，等值线族反映了目标函数值的变化规律，等值线越向里面，目标函数值越小。对于有中心的曲线族来说，等值线族的共同中心就是目标函数的无约束极小点。故从几何意义上来说，求目标函数无约束极小点也就是求其等值线族的共同中心。,(2-5),图2-5二维问题的可行域,不满足约束条件的设计点构成该优化问题的不可行域。,约束的几何意义是它将设计空间一分为二，形成了可行域和非可行域。,每一个不等式约束或等式约束都将设计空间分为两部分，满足所有约束的部分形成一个交集，该交集称为此约束问题的可行域，记做D，见图2-5。,3.约束条件,1.数值迭代法的迭代格式,数值迭代法的基本思想：搜索、迭代、逼近。,为了求得目标函数的极小点，其迭代过程如下：在设计空间给出一初始迭代点；从出发，按照确定的搜索方向和迭代步长，求得第一个改进设计点，它应该满足：；再以为新的初始点，重复上述步骤，求得，如此反复迭代，得到一个不断改进的点列及一相应的递减函数值数列。,式中：X(k)前一步已取得的设计方案（迭代点）；X(k+1)新的改进设计方案（新的迭代点）；S(k)第k次迭代计算的搜索方向；(k)第k次迭代计算的步长因子。,（2-6）,这样一步步地重复数值计算，不断用改进的新点迭代前次设计点，逐步改进值并使设计点最终逼近极小点（极值点）。,这一迭代过程用数学式子表达，得数值迭代法的基本迭代格式为：,在优化算法中，关于迭代方法有多种，它们之间的区别就在于确定(k)和S(k)的方式不同。特别是S(k)的确定，在各种方法中起着关键性的作用。,（）点距足够小准则,相邻两迭代点之间的距离已达到充分小，即,（2-7）,式中，给定的计算精度，一般可取。,（）函数下降量足够小准则,相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小，即,（2-8）,式中，给定的计算精度，一般可取。,目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即,（）函数梯度充分小准则,（2-9）,2.迭代计算的终止准则,上述三个准则都可以单独使用。只要其中一个得到满足，就可以认为达到了近似最优解，迭代计算到此结束。,式中，给定的计算精度，一般可取。,2.3.2黄金分割法,该算法的基本思路是：通过比较单峰区间内两个插点的函数值，不断舍弃单峰区间的左端或右端一部分，使区间按照固定区间缩短率（缩小后的新区间与原区间长度之比）逐步缩短，直到极小点所在的区间缩短到给定的误差范围内，而得到近似最优解。,黄金分割法，又称0.618法，它是一种等比例缩短区间的直接搜索方法。,求最优步长举例：,1.最优步长的几何意义,已知：,以二维优化问题为例，最优步长的几何意义如右图所示。,2.最优步长的计算,图2-a最优步长的几何意义,求：在给定点处沿给定方向搜索的最优步长。,解：,根据基本迭代公式，有,则,由上可见，原本函数这时成为的函数，即。,为求得最优步长，可令,即,故得最优步长：,2.4多维无约束优化方法,2.4.3梯度法,梯度法是求解多维无约束优化问题的解析法之一。,梯度是函数变化率最大的方向(梯度的大小是在该点标量场增加的速率)负梯度则是函数下降最快的方向沿负梯度搜索，函数值在该点附近下降最快梯度法就是取迭代点处的函数负梯度方向作为搜索方向该法又称最速下降法。,梯度法的迭代格式：,梯度法的基本思想:,按上式求得负梯度方向的一个极小点，作为原问题的一个近似最优解；若此解尚不满足精度要求，则再以作为迭代起始点，以处的负梯度方向作为搜索方向，求得该方向的极小点，如此进行下去，直到求得的解满足收敛条件为止。,式中为最优步长因子。,解：由梯度的定义，该目标函数的梯度为：,例2-A已知一目标函数为,，,试求在点的梯度。,则该函数在点的梯度为,梯度法的特点：(1)算法简单；(2)前后两次迭代方向正交，所以搜索路线是呈直角锯齿形；(3)开始搜索时，收敛速度较快，但当靠近极小点附近，收敛速度越来越慢，这是梯度法的较大缺点。,2.4.4牛顿法,原始牛顿法和阻尼牛顿法两种。,其迭代过程是在求目标函数的极小值时，先将它在点附近作泰勒展开，并取二次近似函数式；然后求出这个二次函数的极小点，并以该极小点作为原目标函数的极小点X*的一次近似解；,该算法的基本思路：,它是以二次函数来逼近原目标函数。,牛顿法也是一种解析法，它是梯度法的进一步发展。,该法的搜索方向的构造：,是根据目标函数的负梯度和二阶偏导数矩阵来构造的。,牛顿法分为：,若此解不满足精度要求，则可以此近似解作为下一次迭代的初始点，仿照上面的做法，求出二次近似解；照此迭代下去，直至所求出的近似极小点满足精度要求。,牛顿法的搜索方向为,（2-45）,上式中的搜索方向称为牛顿方向，可见原始牛顿法的步长因子恒取：，因此，原始牛顿法是一种定步长的迭代过程。,牛顿阻尼法的迭代公式：,（2-46）,上式为修正牛顿法的迭代公式。式中，步长因子又称阻尼因子。,牛顿阻尼法保持了牛顿法收敛快的特点，且对初始点无特别要求。虽然计算量多了一些，但实用性更好,2.4.5变尺度法,是在克服了梯度法收敛慢和牛顿法计算量大的缺点基础上而发展起来的一种最有效的解析法。现已得到广泛应用。,利用牛顿法的迭代形式，但并不直接计算，而是用一个对称正定矩阵近似地代替。它在迭代过程中不断地改进，最后逼近。,这种算法，省去了海森矩阵的计算和求逆，使之计算量大为减少，并且还保持了牛顿法收敛快的优点。,变尺度法：,在变尺度法中，较为常用的有：,变尺度法特点：,DFP变尺度法BFGS变尺度法。,变尺度法基本思想：,1.DFP变尺度法,DFP变尺度法是最为常用的一种变尺度算法。该算法的迭代公式为：,(2-47),式中:变尺度矩阵，是一nn阶对称正定矩阵，在迭代过程中,它是逐次形成并不断修正，即从一次迭代到另一次迭代是变化的，故称变尺度矩阵。,由式(2-47)，不难看出：当（单位矩阵）时：式(2-47)变为梯度法的迭代公式；当时：式(2-47)就变为牛顿法的迭代公式。,由此可见，梯度法和牛顿法可以看作变尺度法的一种特例。,2.5.1复合形法,复合形法：是适用于求解具有不等式约束优化问题的一种直接算法。,在n维优化设计空间的可行域D内，构造具有k个顶点的多边形(或多面体)称作复合形。复合形的每个顶点都代表一个设计方案。然后计算复合形各顶点的目标函数值并逐一进行比较，取函数值最大者为最坏点，最小者为最好点。再以去掉最坏点的其余各点的中心点为映射轴心，在最坏点和其余各点的中心点的连线上，寻找一个既满足约束条件，又使目标函数值有所改善的坏点映射点，并以该映射点替换坏点而构成新的复合形。,按照上述步骤重复多次，不断地去掉最坏点，这样不断调整复合形的顶点，使复合形不断向最优点靠拢，最后搜索到约束优化问题的最优解。,该法的基本思路：,2.5.2惩罚函数法,惩罚函数法是一种用来求解约束优化问题的间接解法。,内点罚函数法外点罚函数法混合罚函数法,根据所构造的目标函数的形式不同，决定了搜索点是在可行域内、或在可行域外，因而该算法又分为如下三种：,是将约束优化问题的数学模型改造成为无约束的数学模型，然后按无约束问题进行一系列的无约束最优化求解，直到求得原问题的最优解。,该算法的基本思想：,1.内点罚函数法内点罚函数法适合于求解不等式约束优化问题，即,则构造的新目标函数为：,式中：为惩罚因子，它是一递减正数序列，即,为此，取，这里c为递减系数，1c0；,为以为函数的复合函数，或称与不等式约束有关的惩罚项。,然后对新目标函数按无约束问题求解，即,在求解过程中，针对不同的，就有一个与之对应的极小值点，随着的减小，使求得的也逐步向原问题的最优点逼近。所以该方法也称为“序列无约束极小化”方法。,对于内点罚函数法，求解过程要求保证：(1)初始点和所求得的序列最优点，都应是可行点；(2)求解到最后，序列最优点应逼近最优点X*。,对于不等式约束优化问题，根据罚函数法的基本思想，将罚函数定义在可行域内，可构造其内点罚函数的一般形式为,或,(2-72),(2-71),式中，惩罚因子，是一递减的正数序列，即,且。,内点法例题,例2-1试用内点罚函数法求解如下优化问题：,解：此题的标准解为：。根据内点法的基本思想，首先构造罚函数，按式(2-71)可写出：,可以看出由两部分组成，即，其中：,即：是原目标函数，为一直线；是一族倒数曲线，当。则两曲线的组合则构成曲线，如下图2-a所示。,图2-a内点法的求解,对求导并令其一阶导数为零，即,可求得其无约束极值点：,惩罚函数值为：,当选用不同的惩罚因子时，可得到不同的极值点及曲线。,取递减数列，由上式可得序列如下：,上图表示出取值不同时所得到的约束最优点逐步逼近原问题最优点的情形。,2.外点罚函数法,外点罚函数法适用于具有等式和不等式约束优化问题。该算法搜索策略与内点