计算方法实验VIP

数值计算方法实验专业：姓名： 姓名： 实验一1. 题目 （课本46页习题二第1题） 用列主元素法解下列方程，结果保留4位小数。 2. 模型建立（理论分析） 用方程组的增广矩阵表示，并在增广矩阵上进行计算。首先在矩阵的第一列中选取绝对值最大的元，通过行互换，将最大的元所在行换在第一行的位置，得到增广矩阵，然后进行消元，得到矩阵然后在每次从消元之前，都通过行变换将绝对值最大的元所在的行换到相应行，再进行消元。如此经过n-1步，增广矩阵被化成上三角矩阵，最后回代过程求解。这种算法就是列主元素法求解方程组。3. 算法(1)输入A=2,6,-4;1,4,-5;6,-1,18;b=4;3;2;计算rank(A);rank(B)。(2)判断所需求的方程组解的情况，选择相应计算方法，本题是存在唯一解。(3)置储存空间X，C矩阵，比较所在列进行消元运算数值绝对值，取下标位置。(4)取绝对值大的元所在行通过行变换换到首位，再进行消元，直到化为上三角矩阵，停机。4. 程序列主元素消去法程序clearclcA=2,6,-4;1,4,-5;6,-1,18;b=4;3;2;B=A b;RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica0, disp(请注意：因为RA=RB，所以此方程组无解) returnendif RA=RB if RA=3 disp(请注意：因为RA=RB=3，所以此方程组有唯一解) X=zeros(3,1); C=zeros(1,4); for p=1:2 Y,j=max(abs(B(p:3,p); C=B(p,:); B(p,:)=B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C; for k=p+1:3 m=B(k,p)/B(p,p); B(k,p:4)=B(k,p:4)-m*B(p,p:4); end end b=B(1:3,4); A=B(1:3,1:3); X(3)=b(3)/A(3,3); for q=2:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:3)*X(q+1:3)/A(q,q); end X else disp(请注意：因为RA=RB3，所以此方程组有无穷多解) endend5. 运行结果实验二1. 题目 （课本46页习题二第3题）用紧凑格式解下列方程组，并写出L，U矩阵。2. 模型建立（理论分析） 已知用矩阵形式表示Gauss消去法的消元过程是对方程组增广矩阵A,b进行一系列初等变换，将系数矩阵A左乘上三角形矩阵的过程，也等价于用一串初等矩阵去做乘增广矩阵，因此消元过程可以通过矩阵运算来表示。例如，第一次消元等价于用初等矩阵 左乘矩阵其中，即。一般地，第k次消元等价于用初等矩阵左乘矩阵，其中，经过次消元后得到，因为，令，消元过程实际上是把系数矩阵A分解成单位下三角与上三角矩阵的乘积的过程。其中为单位上三角矩阵，为下三角矩阵。 ， 这种分解称为杜利特尔(Doolittle)分解，也称为LU分解。当为n阶方阵，若的顺序主子式均不为零，则矩阵存在唯一的Doolittle分解。由矩阵的乘法法则，得和的公式计算过程应按第1行，第1列，第2行，第2列，的顺序进行。得到L，U矩阵再由和计算方程组的解。 本题要求用紧凑格式解下列方程组，并写出L，U矩阵。在程序实现上就是进行Doolittle分解。3. 算法(1)输入A=1,2,3,4;1,4,9,16;1,8,27,64;1,16,81,256;b=2;10;44;190;并设l,u的储存空间。(2)计算 。(3)和计算方程组的解，停机。4. 程序LU矩阵分解clearclcA=1,2,3,4;1,4,9,16;1,8,27,64;1,16,81,256;b=2;10;44;190;n=length(A);u=zeros(n,n);l=eye(n,n);u(1, : )=A(1, : );l(2:n,1)=A(2:n,1)/u(1,1);for k=2:n u(k,k:n)=A(k,k:n)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,k:n); l(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-l(k+1:n,1:k-1)*u(1:k-1,k)/u(k,k);endu lY=zeros(n,1); Y(1)=b(1);for i=2:n Y(i)=b(i)-l(i,1:i-1)*Y(1:i-1); endX=zeros(n,1); if det(u)=0; X=0;else X(n)=Y(n)/u(n,n); for i=n-1:-1:1 X(i)=(Y(i)-u(i,i+1:n)*X(i+1:n)/u(i,i); endendX5. 运行结果实验三1. 题目 （课本47页习题二第6题）分别用平方根法和改进平方根法求解方程组2. 模型建立（理论分析） 依据定理，如果为阶对称正定矩阵，则存在惟一的非奇异下三角阵使得且的对角元素皆为正数。其中。由矩阵乘法及（当时），得矩阵的这种分法称为Cholesky分解法，即平方根分解法。比较与的相应元素，可得规定。计算顺序是按列进行的，即当矩阵完成Cholesky分解后，求解对称正定方程组的解计算公式。 当为对称矩阵，且的所有顺序主子式均不为零，可唯一分解为如下的形式 为了利用的对称性，将再分解为:其中为对角阵，为单位上三角阵，于是由分解的唯一性即得，代入得到对称矩阵的分解式。这是一种改进的平方根法（法）其中为单位下三角阵，为对角阵。 由比较法可以导出分解的计算公式：对于计算顺序如下：此时式中有许多计算式重复的，改进辅助量分解后，解对称正定方程组可分两步进行：先解方程组，再由求。 本问题使用平方根法与改进的平方根法两种方法解方程组。3. 算法 两种解法算法应相似，只介绍平方根法。(1)输入A=1,2,1,-3;2,5,0,-5;1,0,14,1;-3,-5,1,15;b=1;2;16;8;(2)计算，得到矩阵(3)求解先解方程组，再由求。4. 程序（1）平方根法求解方程组程序段clearclcA=1,2,1,-3;2,5,0,-5;1,0,14,1;-3,-5,1,15;b=1;2;16;8;n=length(b);L=zeros(n,n);L(1,1)=sqrt(A(1,1);L(2:n,1)=A(2:n,1)/L(1,1);for j=2:n-1 L(j,j)=sqrt(A(j,j)-sum(L(j,1:j-1).2); for i=j+1:n L(i,j)=(A(i,j)-sum(L(i,1:j-1).*L(j,1:j-1)/L(j,j); endendL(n,n)=sqrt(A(n,n)-sum(L(n,1:n-1).2);Lx=zeros(n,1);y=zeros(n,1);y(1)=b(1)/L(1,1);for i=2:n y(i)=(b(i)-sum(L(i,1:i-1).*y(1:i-1)/L(i,i);endyL=L;x(n)=y(n)/L(n,n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(y(i)-sum(L(i,i+1:n).*x(i+1)/L(i,i);endX（2） 改进平方根法求解方程组程序段clearclcA=1,2,1,-3;2,5,0,-5;1,0,14,1;-3,-5,1,15;b=1;2;16;8;L=zeros(4,4);U=zeros(4,4);D=zeros(4,4);for i=1:4 L(i,i)= 1;endD(1,1)=A(1,1);for i=2:4 U(i,1)=A(i,1); L(i,1)= U(i,1)/D(1,1);endD(2,2)=A(2,2)-U(2,1)*L(2,1);for i=3:4 U(i,2)=A(i,2)-U(i,1)*L(2,1); L(i,2)= U(i,2)/D(2,2);endD(3,3)=A(3,3)-U(3,1)*L(3,1)-U(3,2)*L(3,2);U(4,3)=A(4,3)-U(4,1)*L(3,1)-U(4,2)*L(3,2);L(4,3)= U(4,3)/D(3,3);D(4,4)=A(4,4)-U(4,1)*L(4,1)-U(4,2)*L(4,2)-U(4,3)*L(4,3);L Dx=zeros(4,1);y=zeros(4,1);y(1)=b(1)/L(1,1);for i=2:4 y(i)=(b(i)-sum(L(i,1:i-1).*y(1:i-1)/L(i,i);endyL=L;y=inv(D)*y;x(4)=y(4)/L(4,4);for i=3:-1:1 x(i)=(y(i)-sum(L(i,i+1:4).*x(i+1)/L(i,i);endx5. 运行结果（1） 平方根法求解方程组程序运行结果实验四1. 题目 （课本72页习题三第4题）分别用Gauss-Seidel迭代法与SOR法（=1.25）求解方程组取,迭代7次，并比较它们的计算结果。2. 模型建立（理论分析）迭代法主要解决大型稀疏矩阵方程组，该方法包括Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，超松弛迭代法(SOR法)。由Jacobi迭代公式可知，迭代的每一步计算过程，都是用的全部分量来计算的所有分量，显然在计算第i个分量时，已经计算出来的最新分量，没有被利用，从直观上看，最新计算出来的分量可能比旧的要好些，因此这些最新计算出来的第i+1次近似的分量代替老分量进行计算。这样，在整个计算过程中，只需用n个单元储存近似解分量。选取初始向量，用迭代矩阵产生近似解序列，这种方法叫Gauss-Seidel迭代法。在Gauss-Seidel迭代法基础上进行加权平均的一种新的迭代法，即其中称为松弛因子，当时称为低松弛，时是Gauss-Seidel迭代法，当时称为超松弛法，简称SOR法(Successive Over-Relaxation)。松弛法的迭代方式的矩阵表示为因为，故存在，从而有存在，所以松弛法的迭代矩阵为本问题使用Gauss-Seidel迭代法与SOR法。3. 算法 本题在程序实现上使用的是矩阵迭代法，所以Gauss-Seidel迭代法与SOR迭代法在程序算法上只有迭代公式不同，下面只介绍Gauss-Seidel迭代法的算法。(1)输入A=4,3,0;3,4,-1;0,-1,4;b=24;30;-24;x0=(1,1,1);维数3，以及迭代次数7。(2)计算迭代矩阵B，以及g，进而计算出初次迭代x。(3)若i7，输出结果X，停机，否则转3。4. 程序（1）Gauss-Seidel迭代法clearclci=1;A=4,3,0;3,4,-1;0,-1,4;D=diag(diag(A);L=D-tril(A);U=D-triu(A);b=24;30;-24;x0=ones(3,1);X=zeros(7,3);B=inv(D-L)*U;g=inv(D-L)*b;x=B*x0+g;while i=7 x0=x; X(i,:)=x0; x=B*x0+g; i=i+1;endX（2）SOR法（=1.25）clearclci=1;w=1.25;A=4,3,0;3,4,-