第五章 频率响应法1.ppt

1,欧拉定理：,对数运算：,复数运算：,本章用到的基础知识,2,第五章线性系统的频域分析,频率特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的一种非常重要的方法。与时域分析法和根轨迹法不同，频率特性法不是根据系统的闭环极点和零点来分析系统的时域性能指标，而是根据系统对正弦信号的稳态响应，即系统的频率特性来分析系统的频域性能指标。因此，在这种意义上讲，频率特性法与时域分析法和根轨迹法有着本质的不同。频率特性虽然是系统对正弦信号的稳态响应，但它不仅能反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性和动态性能。,3,（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（2）由于频率响应法主要通过闭环系统中的开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。（3）用频域法设计控制系统，可以兼顾动态、稳态和噪声抑制三方面要求。（4）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数含滞后环节的系统和部分非线性控制系统的分析。,频率分析法的特点,4,频域性能指标与时域性能指标之间有着内在的联系(二阶系统精确对应，高阶系统近似对应)。通过这种内在联系，可以由系统的频域性能指标求出时域性能指标，反之亦然。因此，频率特性法与时域分析法和根轨迹法又是统一的。应用时域分析法和根轨迹法分析系统时，应先知道系统的开环传递函数，而频率特性法既可以根据系统的开环传递函数采用解析的方法得到系统的频率特性，也可以用实验的方法测出稳定系统或元件的频率特性。实验法对于那些不知道其内部结构和传递函数的系统，或难于用分析方法列写动态方程的系统或环节是很有用的。,5,5-1频率特性的概念5-2典型环节频率特性的绘制5-3系统开环频率特性的绘制5-4奈奎斯特稳定判据(重点)5-5控制系统的相对稳定性5-6闭环频率特性5-7频域响应和时域响应之间的关系,本章主要内容,6,5-1频率特性(图说明),设系统结构如图，,由劳斯判据知系统稳定。,输入一个幅值不变，频率不断增大的正弦信号。,Ar=1=0.5,=1,=2,=2.5,=4,曲线如下:,给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入,同频率的正弦，幅值随频率变，相角也随频率变。,7,5-1频率特性的概念,讨论线性定常系统（包括开环、闭环系统）在正弦输入信号作用下的稳态输出。设图5-1所示的线性定常系统的传递函数为,R(s),C(s),图5-1系统方框图,输入信号为,8,则输入信号的拉氏变换是：,系统的传递函数通常可以写成：,由此得到输出信号的拉氏变换：,9,其中待定系数b和用留数法，按下式计算,对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为,对稳定系统s1,s2,.sn都具有负实部，当时间t趋于无穷大时，上式的暂态分量将衰减至零。因此系统的稳态响应为,10,G(j)是一个复数，用模和幅角可表示为,由于G(-j)与G(j)是互为共轭的，可以表示为,11,或式中为稳态输出信号的幅值。上式表明，线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应仍然是与正弦输入信号同频率的正弦信号；输出信号的振幅是输入信号振幅的倍；输出信号相对输入信号的相移为；输出信号的振幅及相位移都是角频率的函数。,称为系统的频率特性，它反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。,12,其中称为系统的幅频特性，它反映系统在不同频率正弦信号作用下，稳态响应的幅值与输入信号幅值的比值，即系统的放大（或衰减）特性。称为系统的相频特性，反映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输入信号的相位移。正相角称为相位超前，负相角称为相位滞后。具有正相角的网络称相位超前网络，而具有相位滞后特性的网络称为相位滞后网络。系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。,13,获取系统频率特性的途径有两个:一、解析法当已知系统的传递函数时，用代入传递函数可得到系统的频率特性G(j)。因此，频率特性是特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内在联系。这种通过传递函数确定频率特性的方法是求取频率特性的解析法。二、实验法当系统已给定，但不知道其内部结构或传递函数时，在系统的输入端输入一正弦信号测出不同频率时系统稳态输出的振幅和相移，便可得到它的幅频特性和相频特性。这种通过实验确定系统频率特性的方法是求取频率特性的实验法。,14,频率特性、传递函数和微分方程的关系,15,频率特性的几种表示方法：(1)直角坐标表示,要求实部大于0，否则要+1800,幅频特性：,相频特性：,虚频特性,实频特性,与正实轴的夹角,16,奈氏图，又称极坐标，书上称开环幅相频率特性曲线图,频率特性表示方法：(2)极坐标表示-Nyquist图,变化时，向量,的幅值和相位也随之作相应的变化，向量矢端在复平面上移动的轨迹称为极坐标图:奈奎斯特(Nyquist)曲线,又称奈氏图,当输入信号的频率,若将频率特性表示成实频特性和虚频特性之和的形式，则极坐标图是以实部为横坐标，虚部为纵坐标。,17,对数频率特性曲线（两条曲线）,对数幅频特性曲线,对数相频特性曲线,(度),频率特性表示方法3：（对数坐标表示）-Bode图,注意：横坐标每10倍频程段刻度是相同的，但标识是整10倍关系,读作：负20分贝十倍频程,记为,记为,18,特点：刻度先疏后密,当每变化十倍时，坐标间距离变化一个单位长度，这一个单位长度被称为十倍频程，用dec表示。类似地，当每变化一倍时，横坐标变化0.301单位长度，被称为“倍频程”，用oct表示。（注：lg2=0.301）,19,采用对数坐标有如下优点：,1.拓宽频率表示范围a.扩展低频部分，系统的低频段很重要。（工程需要）b.压缩高频部分，从而可在图上绘出较大的频率范围。例如，即使频率变化10000倍，对数坐标也只变化4个单位。注意：由于lg0-，所以无法在对数坐标轴上标出的点。,2.方便绘图在对数坐标图上，对数幅频特性可用分段直线近似表示，易于绘制，且具有一定的精确度。通常可用这种近似的对数坐标图对系统进行分析。如果需要精确的对数坐标图，可对这种近似的坐标图进行适当的修正即可。,20,3.简化计算,通常传函可表示成一些典型环节的乘积。如下式：,相应的频率特性为：,21,1.采用对数坐标，可将幅值的乘除运算化为加减运算；2.传函中典型环节的乘积关系变为对数坐标图上的加减运算，能够明显反映出各典型环节对总的对数坐标图的影响，为分析每个环节的影响提供了方便。,22,5-2典型环节频率特性的绘制,自动控制系统通常由若干环节构成，根据它们的基本特性，可划分成几种典型环节。本节将介绍典型环节频率特性的绘制方法，主要介绍应用较为广泛的极坐标图和伯德图。一、典型环节的幅相特性曲线（极坐标图）以角频率为参变量，根据系统的幅频特性和相频特性在复平面上绘制出的频率特性叫做幅相特性曲线或频率特性的极坐标图。它是当角频率从0到无穷变化时，矢量的矢端在复平面上描绘出的曲线。绘制时：以频率特性的实部作为横坐标，以频率特性的虚部作为纵坐标，以为参变量的幅值与相位的图形表示法。,23,1.典型环节,一、最小相位环节（开环极、零点都位于S左半平面）,(1)比例环节,(2)积分环节,(3)微分环节,(4)惯性环节,(5)一次微分环节,(6)振荡环节,(7)二次微分环节,24,二、非最小相位典型环节(有开环极、零点位于s右半平面),(2)比例环节,(1)滞后环节,(3)惯性环节,(4)一次微分环节,(5)振荡环节,(6)二次微分环节,25,最小相位系统与非最小相位系统的定义,在右半s平面内既无开环极点也无开环零点，同时也无纯滞后环节的系统，相应的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在右半s平面内有开环极点和（或）零点，或有纯滞后环节的系统为非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传递函数。,在具有相同幅频特性的系统中，最小相位传递函数的相角变化范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角变化范围，都大于最小相位传函的相角范围。,26,在具有相同幅频特性的系统中，最小相位传递函数的相角变化范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角变化范围，都大于最小相位传递函数的相角变化范围。,27,（一）放大环节（比例环节）,放大环节的传递函数为其对应的频率特性是,图放大环节的频率响应,频率特性如下图所示。由图可看出放大环节的幅频特性为常数K，相频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号。,其幅频特性和相频特性分别为,28,积分环节的传递函数为其对应的频率特性是幅频特性和相频特性分别为频率特性如右图所示。由图可看出，积分环节的相频特性等于-900，与角频率无关。,图积分环节的频率响应,（二）积分环节,29,表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用；其幅频特性等于，是的函数，当由零变到无穷大时，输出幅值则由无穷大衰减至零。在平面上，积分环节的频率特性与负虚轴重合。（三）惯性环节惯性环节的传递函数为其对应的频率特性是,30,当时，当时，当时，,幅频特性和相频特性分别是,当由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在平面上是正实轴下方的半个圆周。,31,证明：惯性环节的奈氏图为一个半圆,已知实频特性和虚频特性,令,(1),(2),由(1)式可得：,令(2)式除(1)式可得：,即,32,惯性环节的幅相特性曲线,幅相曲线为圆心在点（1/2,j0）上，半径为1/2的半圆,33,推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即时，其频率特性是圆心为，半径为的实轴下方半个圆周。,惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节。在低频范围内，对输入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内，幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为900。,34,（四）振荡环节,传递函数：,35,36,谐振条件：,谐振峰值：,谐振频率：,37,振荡环节的幅相特性曲线,38,5一阶微分环节,传递函数,幅频特性和相频特性,频率特性,一阶微分环节幅相特性曲线,39,（六）二阶微分环节,传递函数：,频率特性：,40,二阶微分环节的幅相特性曲线,41,(1)延迟环节（非）,传递函数,幅频特性和相频特性,典型环节的幅相频率特性,频率特性,（非最小相位典型环节）,当比较小时，有,延迟环节的幅相特性曲线,时延迟环节,近似为惯性环节,42,（2）比例环节（非）,传递函数,幅频特性和相频特性,比例环节的幅相特性曲线,频率特性,均与频率无关,43,（3）惯性环节（非）,传递函数,频率特性,惯性环节的幅相特性曲线,44,(4)一次微分环节（非）,传递函数,频率特性,一次微分环节幅相特性曲线,45,(5)振荡环节（非）,传递函数,频率特性,46,振荡环节的幅相特性曲线,47,（6）二次微分环节（非）,传递函数：,频率特性：,48,二阶微分环节的幅相特性曲线,结论：最小相位系统及其相对应的非最小相位系统的奈氏图关于实轴对称。,49,几种非最小相位系统,例1,幅频特性和相频特性为,不稳定环节幅相特性曲线,50,例2,51,例3,52,伯德（Bode）图又叫对数频率特性曲线，它是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数幅频特性，后者叫对数相频特性。两个坐标平面横坐标(轴)是按频率的对数lg进行线性分度，对数幅频特性的纵坐标是按20lgA()线性分度。单位为分贝，即。对数相频特性的纵轴也是线性分度，它表示相角的度数，即(度)。通常将这两个图形上下放置(幅频特性在上，相频特性在下)，且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相角的大小，同时为求取系统相角裕度带来方便。,二、典型环节频率特性的伯德图,53,Bode图的坐标形式(对数频率特性),54,（4）横轴（轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。,（1）将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环节）的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；,（2）幅值用20lgA()表示，可将串联环节的幅值相乘变为相加运算，可简化计算；,（3）用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便；,用伯德图分析系统有如下优点：,55,放大环节的频率特性为其幅频特性是对数幅频特性为,当K1时，20lgK0，位于横轴上方；当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；当K1时，20lgK0，位于横轴下方。,（一）放大环节（比例环节）,56,放大环节的对数幅频特性如图所示，它是一条与角频率无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。当有n个放大环节串联时，即幅值的总分贝数为,放大环节的相频特性是它是一条与角频率无关且与轴重合的直线。,57,（二）积分环节积分环节的频率特性是其幅频特性为对数幅频特性是,当时；当时，；当时，。,设，则有可见，其对数幅频特性是一条在=1（弧度/秒）处穿过零分贝线（轴），且以每增加十倍频降低20分贝的速度（-20dB/dec）变化的直线。积分环节的相频特性是,是一条与无关，值为-900且平行于轴的直线。积分环节的对数幅频特性和相频特性如右图所示。,当有n个积分环节串联时，即其对数幅频特性为是一条斜率为-n20dB/dec，且在=1（弧度/秒）处过零分贝线（轴）的直线。相频特性是一条与无关，值为-n900且与轴平行的直线。两个积分环节串联的Bode图如图5-13所示。,积分环节与微分环节的对数频率特性曲线,传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0db线对称，对数相频曲线关于00线对称。在非最小相位环节中，其对数频率特性曲线的对称性同样满足。,积分环节L(),G(s)=,-20,-20,-20,与0分贝线交点频率？斜率？,G(s)=,S,+20,+20,+20,微分环节L(),与0分贝线交点频率？斜率？,当时，当时，用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性，即在的低频段时，与零分贝线重合；在的高频段时，是一条斜率为-20（dB/dec.）的直线。两条直线在处相交，称为转折频率，由这两条直线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图5-14所示。,（三）惯性环节惯性环节的频率特性是,其对数幅频特性是,65,很明显，距离转折频率愈远，愈能满足近似条件，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈高；反之，距离转折频率愈近，渐近线的误差愈大。等于转折频率时，误差最大，最大误差为,66,时的误差是时的误差是误差曲线对称于转折频率，如图5-15所示。由图5-15可知，惯性环节渐近线特性与精确特性的误差主要在交接频率上下十倍频程范围内。转折频率十倍频以上的误差极小，可忽略。经过修正后的精确对数幅频特性如图5-14所示。,精确,渐近线,67,惯性环节的相频特性为当时，；当时，；当时，。对应的相频特性曲线如图5-14所示。它是一条由00至-900范围内变化的反正切函数曲线，且以和的交点为斜对称。,Frequency(rad/sec),Phase(deg),Magnitude(dB),-25,-20,-15,-10,-5,0,10,-1,10,0,10,1,-90,-45,0,精确曲线Exactcurve,精确曲线,转角频率Cornerfrequency,惯性环节L(),-20,-20,26dB,低频0分贝线重合？转角频率？,70,当时，；当时，；一阶微分环节的对数幅频特性如图5-16所示，渐近线的转折频率为，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为，其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似。相频特性是当时，；,（四）一阶微分环节一阶微分环节频率特性为,其对数幅频特性是,71,当时，；当时，。一阶微分环节的相频特性如图5-16所示，相角变化范是00至900，转折频率处的相角为450。比较图5-16和5-14，可知，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和相频特性是以横轴(轴)为对称的。,一阶微分L(),+20,+20,73,渐近线的第一段折线与零分贝线（轴）重合，对应的频率范围是0至；第二段折线的起点在处，是一条斜率为-40（dB/dec）的直线，对应的频率范围是至。两段折线构成振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的转折频率为。对数幅频特性曲线的渐近线如图5-17所示。,（五）振荡环节,振荡环节的频率特性是,其对数幅频特性为,当时：,当时：,74,渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析如下：当时，它是阻尼比的函数；当=1时为-6（dB），当=0.5时为0(dB)，当=0.25时为+6(dB)；误差曲线见图5-18。,高频渐近线,低频渐近线,图5-17振荡环节渐进线对数幅频特性,75,由图知，振荡环节的误差可正可负，它们是阻尼比的函数，且以的转折频率为对称，距离转折频率愈远误差愈小。通常大于（或小于）十倍转折频率时，误差可忽略不计。经过修正后的精确对数幅频