3_能控性和能观性20080417.ppt

3.1线性连续系统的能控性3.2线性连续系统的能观性3.3离散系统的能控性与能观性3.4能控性与能观性的对偶关系3.5线性定常系统的结构分解3.6最小实现3.7输出能控性,3能控性和能观性,3.1线性连续系统的能控性,引子,状态方程：描述输入u(t)引起状态x(t)的变化过程。输出方程：描述由状态变化所引起的输出y(t)的变化。能控性：输入u(t)对状态x(t)的控制能力。能观性：输出y(t)对状态x(t)的反映能力。,系统的两个基本问题,在有限时间内,控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态?在有限时间内,能否通过系统输出的测量估计系统的初始状态?简单地说:如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统能控(状态能控)。如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态能观测的。,例,输出y只能反映状态变量,所以不能观测。,能控性的定义,如果在有限的时间区间内，存在容许控制向量u(t)，能使系统从状态转移到，则称状态在上能控,能控性只考虑状态方程，当系统完全能控时，称(A(t),B(t)为能控对。,若任意非零状态都能控，则称系统在上状态完全能控。简称能控。,设n阶系统S=(A(t),B(t),C(t),说明,(1)容许控制是平方可积的，即,(2)线性定常系统能控性与区间无关，即若在某区间上能控，则在任何区间上都是能控的，而时变系统则与区间有关。,(3)若能找到容许控制将系统从任意非零状态转移到任意给定的状态,称能达性。对线性定常系统，能控性与能达性等价。而时变系统、离散系统这两者不等价，有时能控而非能达。,(4)能控性是表征系统状态运动的定性特性。,能控性的物理意义,设原点是平衡点。所谓能控性就是当系统偏离平衡点状态时，可以找到一个容许控制，将系统拉回平衡点。,注：因时变系统A(t),B(t)都与t有关，故某状态能控，未必所有状态都能控。,能控性的性质,(1),(2)如果系统在区间上完全能控，那么对于，一定有系统在区间上完全能控。,(3)能控状态的线性组合还是能控的，即：,预备知识：矩阵的秩,秩Rank,r阶子式：任取r行r列构成的r阶行列式。,初等变换：(1)任意两行对调;(2)非零常数任一行;(3)任一行常数+另一行。,求秩方法：利用初等变换化A为阶梯形。阶梯形矩阵的秩等于其阶梯数。,能控性的一般判别方法,n阶线性定常系统完全能控的充要条件是能控矩阵Qc的秩为n,单输入系统S=(A,b)能控的充要条件为,例：判断系统的能控性,例：判断升降机系统的能控性,例：判断系统的能控性,例：判断系统的能控性,例：判断系统的能控性,例：判断系统的能控性,能控性的直接判据,若线性定常系统的A为对角形，且对角线上的元素均不相同，则状态完全能控的充要条件是B阵无全为零的行。,例：判断系统的能控性,能控性的直接判据,若线性定常系统的A为约当标准形，且每个约当块对应的特征值均不相同，则状态完全能控的充要条件是B阵中与每个约当块最后一行对应的行不完全为零。,例,例：判断系统的能控性,例：判断系统的能控性,不能控,能控,当对角线元素有相同时，不能直接判别，须采用一般判别方法。,例：判断系统的能控性,完全能控,例：判断系统的能控性,不能控,能控,取子式,线性时变系统的能控性判据,对线性时变系统，系统在区间上完全能控的充要条件是能控性矩阵为非奇异的。,格拉姆矩阵,在定常系统中不太强调区间，而时变系统要强调区间。时变系统的判别方法不止这一个，但来源相近。,例：判能控性及区间,状态空间模型的能控标准形转换,设单输入系统是完全能控的，则一定存在一个非奇异线性变换，使等价系统为能控标准形，且变换矩阵为,例,线性变换后系统的能控性不变,3.2线性连续系统的能观性,引子,并非所有状态变量都是可测量或有物理意义的，因此提出能否通过可测量的输出量y获得系统的状态量，这便是系统的能观测性问题。,能观性的定义,与输入的无关性,能观性反映的是输出y(t)对状态向量x(t)的反映能力，与控制作用没有直接关系。分析能观性问题时，只需考虑齐次状态方程和输出方程。,线性定常系统能观性定义,之所以把能观性规定为对初始状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定的输入，根据下述状态转移方程求出所有时刻的状态。,能观性的性质,若x0能观，则有：,这也是时变系统能观性的判定定理,复习：线性空间的定义,子空间及生成子空间,S是线性空间V的非空子集,若S中向量关于V的加法与数乘计算也构成数域P上的线性空间,则称S是V的子空间。,子空间的交与和,子空间直和,能观性的性质,所有不能观状态的线性组合还是不能观的，故所有不能观状态构成状态空间的不能观子空间。,能观性的一般判别方法,称A,C为能观对。,n阶线性定常系统S=(A,B,C)完全能观的充要条件是能观矩阵Qo的秩为n,例：判断系统的能观性,能观性的直接判别方法,若n阶线性定常系统S=(A,B,C)的A为对角形，且对角线上的元素均不相同，则状态完全能观的充要条件是C阵无全为零的列。,若n阶线性定常系统S=(A,B,C)的A为约当标准形，且每个约当块对应的特征均不相同，则状态完全能观的充要条件是C阵中与每个约当块对应的第一列不完全为零。,例：判断系统的能观性,例：判断系统的能观性,当系统矩阵A为对角形，但含有相同特征值时，或当A为约当形，但有两个或两个以上约当块相同时，上述定理不适用。,时变系统能观性判别(略),化单变量能观系统为能观标准形,设单输入系统是完全能观的，则一定存在一个非奇异线性变换，使等价系统为能观标准形，且变换矩阵为,与前面的对比,线性变换后系统能观性不变,例：判是否能观？若能观，化能观标准形,作业,判是否能控？若能控，化为能控标准形；判是否能观？若能观，化为能观标准形,3.4能控性与能观性的对偶关系,对偶系统的构造,S能控，则ST一定能观；S能观，则ST一定能控。称S与ST互为对偶系统。,对偶系统框图,结论：互为对偶的两系统，输入端与输出端互换，信号传递方向相反。,m维输入,p维输出,p维输入,m维输出,对偶系统传递函数阵互为转置,化单变量能观系统为能观标准形,3.5线性定常系统的结构分解,等价系统,等价系统的性质,系统的极点相同特征多项式相同特征值相同极点相同,能控性、能观性不变,传递函数阵相同,结构分解引例,上述系统实际上是已按能控性分解后的系统，其能控性显而易见。对一般系统，则难以直接判断。,常见结构分解,通过坐标变换，可将能控性与能观性一目了然地显示出来。常见分解有：,能控分解,标准分解,能观分解,能控性分解,说明,说明,说明,（6）能控子系统,从输入u到输出只通过xc,系统的传递函数阵只是能控子系统的传递函数,只反映了能控部分的信息,而不能控部分的信息无法在传递函数阵中反映如果仅利用传函来分析和设计系统,则只能对能控部分作分析与设计,故不全面。,例,例,例,能观性分解,说明,(2)系统的传递函数阵只是能观子系统的传递函数阵,说明,传递函数,传递函数阵只反映能观部分的信息,Kalman标准分解,Kalman标准分解示意图,传递函数,系统的传递函数阵只取决于系统的能控能观部分,或者说传递函数阵只反映系统的能控能观部分的信息,而对不能控不能观部分的信息无法反映。,频域模型不如状态空间模型更全面、更深刻。频域模型和状态空间模型并不完全等价。只有当系统是既能控又能观时，G(s)才反映整个系统的信息。只根据G(s)设计系统，实际上只是对能控又能观部分的设计；若系统存在不能控部分，而系统的不稳定极点又恰恰是不能控的，则无论怎样设计，都不能使系统稳定。,T的求取,分两次：先作能控性分解，然后分别对能控与不能控子系统作能观性分解,T的求取(详细),T的求取(详细),T的求取(详细),例：标准分解,(1)作能控性分解,例：标准分解,标准分解的另一种方法,首先把待分解的系统化成约当标准形；然后按能控判别法则和能观判别法则判别各状态变量的能控性和能观性；最后按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观4种类型分类排列，即可组成相应的子系统。,例,能控且能观：,能控、不能观：,不能控、能观：,不能控、不能观：,按上述顺序重新排列，就可得出：,深切哀悼汶川大地震遇难同胞!,关于传递函数阵的讨论,A的最小多项式：首项系数为1,且次数最小的A的化零多项式。A的化零多项式：将A代入，值为0的多项式。,A的化零多项式,目的：由传递函数(阵)判别状态的能控能观性。,但并不意味着A的化零多项式次数为n，f(A)可进行因式分解，只要找到一个最低阶的多项式f可以令f(A)=0，则f(A)为A的最小多项式。,例：化零多项式,能控能观与零极相消：MIMO,系统(A,B,C)能控且能观，若其传递函数阵G(s)的分母又为A的最小化零多项式g(s)，则分母与分子之间不再会出现因子相消现象。,系统能控又能观时，可能会有零极相消;当g(s)为A的最小化零多项式时，不再零极相消。,例：,能控、能观,例：,能控能观与零极相消：SISO,说明：(1)G(s)分子分母无零极相消对SISO系统完全能控能观是充要条件；但对MIMO系统，G(s)分子分母出现零极相消时，系统有可能是能控能观的。(2)古典控制理论中，系统输出稳定性由系统极点即传函分母多项式的根确定。(3)现代控制理论中，系统状态稳定性则是根据状态矩阵A的特征值，即det(sI-A)=0的根来判断。,说明与系统极点,(4)G(s)中会有零极相消现象，但若中N,D不可约时，则说明，即仅为系统能控能观部分特征多项式。,(5)由(4)知，系统传函分母多项式的根一定是系统的极点，但系统的极点不一定完全可由G(s)分母多项式的根体现。,对系统S=(A,B,C),称A的特征多项式的根det(sI-A)=0为系统极点。,极点分类,例,例,作业,3.6最小实现,最小实现的定义,维数最小的实现(能控又能观实现)。,对SISO系统，若G(s)无零极相消，则它的能控实现或能观实现就是最小实现。,系统传函G(s)为严格有理真分式，则由(A,B,C)所表示的n阶系统是G(s)的最小实现的充要条件是(A,B,C)为完全能控能观的。,最小实现步骤,先进行能控(能观)标准形实现，再按能观(能控)分解，取能控能观子系统为最小实现。,最小实现的等价性,系统最小实现是否唯一？系统最小实现不唯一。不同的系统最小实现间有什么关系？代数等价。代数等价包含哪些内容？相同的能控、能观性；相同的极点；,例：求最小实现,(1)将G(s)化成严格的有理真分式，并写出相应的能控标