3.2 数学模型及其应用.ppt

函,数,的,应,用,第三章,本章内容,3.1函数与方程,3.2函数模型及其应用,第三章小结,3.2数学模型,及其应用,3.2.2函数模型的应用实例(第一课时),3.2.1几类不同增长的函数模型,3.2.2函数模型的应用实例(第二课时),3.2.1,几类不同增长,的函数模型,返回目录,1.你所学过的函数中,哪些是定义在正数范围内的增函数?各自的增长变化有什么特点?,2.几种函数相比较,在一定的范围内,什么函数的增长速度最快?,问题1.我们学习了哪些基本函数?这些函数的图象是怎样的?在解决实际问题时,你如何选择函数模型?,一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,幂函数,图象为直线,有单增单减两种情况.,图象为抛物线,有增减两区间.,图象为过定点的曲线,有单增单减,两种情况.,图象为过定点的曲线,有单增单减,两种情况.,图象为直线或曲线,正指数幂在,0,+)上是增函数.,如何选择函数模型来刻画实际问题,我们举例说明.,例1.某人有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供选择,这三种投资方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天回报比前一天翻一番.请问:选择哪种投资方案收益最好?,解:,设第x天所得回报为y元,方案一:,y=40(xN*),方案二:,y=0.42x-1(xN*).,方案三:,y=10 x(xN*),三种方案中,方案一无增长,若投资5天以下,方案一的每天收益最大;,若投资58天,方案二的每天收益最大;,若投资8天以上,方案三最好.,画图象观察.,增长最快的是方案三,51.2,204.8,10,90,102.4,40,y=40,y=10 x,y=0.42x-1,方案1,方案2,方案3,例2.某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?,解:,在奖励模型中,其定义域为,x|10x1000.,按要求,三个函数的最大值不能超过5万元,同时,y又,不能超过x的25%.,三个函数在10,1000上都是增函数,其最大值分别是:,y1=0.251000,=250(万元),y2=log71000+1,4.55(万元),y3=1.0021000,7.37(万元).,只有第二个函数y=log7x+1符合第一条要求.,再看函数y=log7x+1是否满足第二个条:y25%x,即log7x+125%x,log7x0.25x-1,log7x和0.25x-1都是增函数,如图:,x,1.5,1.18,2.37,3.55,y=log7x,y=0.25x-1,24,在10,1000内,log7x0.25x-1成立.,模型y=log7x+1符合要求.,100,在10,1000内,最大值不能超过5万元,y不能超过x的25%,用计算器算得y=log71000+14.555,y=log7x+1符合条件.,另解:,利用几何画板画出三个函数的图象进行分析.,即y0.25x,很明显,y=0.25x不满足.,用计算器算得,y=1.002x不满足.,指数函数随着x的增大增长速度很快,y=log7x+1是增函数,且在10,1000内log7x+10时,随着x的增大,各函数y的增长速度如何?,y=2x,y=x2,y=2x,y=log2x,增长速度最慢的是:,对数函数.,增长速度最快的是:,指数函数.,幂函数y=x2与一次函数y=2x,比较:,尽管开始时,y=x2的增长,不如y=2x,但到某个数以后,y=x2的增长速度比y=2x快得多.,指数函数y=2x与幂函数y=x2,也是如此.,一般地,对于指数函数y=ax(a1)和幂函数y=xn(n0),在区间(0,+)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内,ax会小于xn,但ax增长快于xn,总存在一个x0,当xx0时,就会有axxn.,同样地,对于对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0),在区间(0,+)上,随着x的增大,logax增长越来越慢.尽管在x的一定范围内,logax可能会大于xn,但总存在一个x0,当xx0时,就会有logaxxn.,特例如图:,x3,2x,log2x,125,512,1000,1231,32,256,1024,2048,5,8,10,11,y=x3,y=2x,y=log2x,x,5,8,10,11,32,256,1024,2048,125,512,1000,1231,2.32,3,3.32,3.46,1,指数函数y=2x,幂函数y=x3,对数函数y=log2x,随着x的增大,2x的图象,几乎垂直向上,增速很大.,练习:,第101页,只1题,练习:(课本101页),在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象,并比较它们的增长情况:(1)y=0.1ex-100,x1,10;(2)y=20lnx+100,x1,10;(3)y=20 x,x1,10.,y=0.1ex-100,y=20lnx+100,y=20 x,在1,5,一次函数y=20 x,在5,10,指数型函数,增长最快,y=0.1ex-100增长最快.,练习:(课本101页),在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象,并比较它们的增长情况:(1)y=0.1ex-100,x1,10;(2)y=20lnx+100,x1,10;(3)y=20 x,x1,10.,y=0.1ex-100,y=20lnx+100,y=20 x,约在x7时,y=20lnx+100最大.,约在776.776,这名男生偏胖.,y=1.02175+35,(2),63.98,76.776,(1)根据表中提供的数据,建立恰当的函数模型,使它能比较接近地反映此地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系;(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?,此题是根据一组数据,建立散点图,再由散点图寻求能刻画实际问题的函数模型.,再由建立的函数式解决其他变量问题.,练习:(课本106页),第1、2题.,1.某公司生产某种产品的固定成本为150万元,而每件产品的可变成本为2500元,每件产品的售价为3500元.(1)分别求出总成本y1、单位成本y2、销售收入y3、总利润y4与总产量x的函数解析式;(2)根据所求函数的图象,对这个公司的经济收益作出简单分析.,解:,(1),y1=150+0.25x.,y3=0.35x.,y4=0.35x-150-0.25x,=0.1x-150.,练习:(课本106页),1.某公司生产某种产品的固定成本为150万元,而每件产品的可变成本为2500元,每件产品的售价为3500元.(1)分别求出总成本y1、单位成本y2、销售收入y3、总利润y4与总产量x的函数解析式;(2)根据所求函数的图象,对这个公司的经济收益作出简单分析.,解:,(2),y4=0.1x-150的图象如图:,y4=0.1x-150,利润函数,当产量低于1500时,公司亏本;,当产量大于1500时,公司才有利润.,练习:(课本106页),2.某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、61、68,为了预防以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=pqx+r,其中y为患病人数,x为月份数,a、b、c、p、q、r都是常数,结果4月、5月、6月份的患病人数分别为74、78、83,你认为谁选择模型较好?,解:,初始数据:,(1,52),(2,61),(3,68);,代入甲模型得方程组:,解得a=-1,b=12,c=41,甲模型为y=-x2+12x+41.,当x=4,5,6时,y的值分别为,73,76,77.,2.某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、61、68,为了预防以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=pqx+r,其中y为患病人数,x为月份数,a、b、c、p、q、r都是常数,结果4月、5月、6月份的患病人数分别为74、78、83,你认为谁选择模型较好?,解:,初始数据:,(1,52),(2,61),(3,68);,代入乙模型得方程组:,当x=4,5,6时,y的值分别为,73.4,77.7,81.0.,解得,乙模型为:,甲:73,76,77.,与甲相比,乙模型较好.,【课时小结】,由一组数据建立函数模型,(1)分析数据增长特点,恰当选择函数模型.,(2)由数据求出所选模型常量,建立函数模型.,(3)当数据规律不明显时,画出散点图.,(4)由散点图画出拟合曲线.,(5)选择恰当的函数模型.,(6)求出函数模型中的常量,建立函数关系式.,(7)用函数关系式解决相关实际问题,习题3.2,A组,第4、5、6题.,B组,第1、2题.,4.要建造一个容积为1200m3,深为6m的长方体无盖蓄水池,池壁的造价为95元/m2,池底的造价为135元/m2,如何设计水池的长与宽,才能使水池的总造价控制在7万元以内(精确到0.1m)?,解:,由题设知水池的底面积为,12006=200(m2),设水池的长为xm,则宽为,于是可得池壁面积为,则水池总造价为,70000,得57x2-2150 x+11400,画出函数y=57x2-2150 x+1140的图象,过点(0,1140),对称轴,习题3.2,6.4,31.3,图象与x轴的交点为方程57x2-2150 x+1140=0的根,x16.4,x231.3.,函数值小于0得,x的范围在6.4与31.3之间.,答:水池的长宽应控制在6.4m与31.3m之间.,习题3.2,5.设在海拔xm处的大气压强是yPa,y与x之间的关系为y=cekx,其中c,k为常量.如果某游客从大气压为1.01105Pa的海平面地区,到了海拔为2400m、大气压为0.90105Pa的一个高原地区,感觉没有明显的高山反应,于是便准备攀登当地海拔为5596m的雪山,从身体需氧的角度出发(当大气压低于0.775105Pa时,就会比较危险),分析这位游客的决定是否太冒险?,解:,将(0,1.01105),(2400,0.9105)代入模型,得,解得c=1.01105,k-4.75710-5,则函数关系式为,当x=5596时,y=,0.774105,0.775105,答:这位游客的决定是冒险的.,6.一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上,才有疗效;而低于500mg,病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药2500mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减,那么可以在什么时间范围再向病人的血液补充这种药(精确到0.1h)?,解:,设经过时间th后,药在血液中的剩留量为ymg,则y=a(1-0.2)t(a为初始时血液中的药量),现在a=2500,需y500,即,5002500(1-0.2)t1500,0.20.8t0.6,y=0.8t是减函数,log0.80.6tlog0.80.2,得2.3t7.2.,(答略),B组,1.我们19902000年的国内生产总值如下表所示:,(1)描点画出19902000年国内生产总值的图象;,解:,B组,1.我们19902000年的国内生产总值如下表所示:,(2)建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型,并画出其图象;,解:,由(1)得散点图在一直线附近,则可考虑一次函数模型.,设模型为y=kx+b,取两点(1994,46670),解得k7574.28,b=-15056434.35,则函数模型为,y=7574.28x-15056434.35.,作图象如下:,(1998,76967.1)得,B组,1.我们19902000年的国内生产总值如下表所示:,(2)建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型,并画出其图象;,解:,y=7574.28x-15056434.35.,(1994,46670),(1998,76967.1).,两点作直线:,B组,1.我们19902000年的国内生产总值如下表所示:,(3)根据所建立的函数模型,预测2004年的国内生产总值.,解:,y=7574.28x-15056434.35.,当x=2004时,y=7574.282004-15056434.35,=122422.77(亿元).,估计2004年的国内生产总值为122422.77亿元.,B组,2.如图(1)是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象.(1)试说明图(1)上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义;(2)