调和点列在平面几何中的应用

调和点列在平面几何中的应用调和点列在几何证明中有着十分广泛的应用，它与梅尼劳斯定理、极线都有着十分密切的关联。下面先给出调和点列的定义：定义：直线上依次四点A、B、C、D满足，则称A、B、C、D四点构成调和点列。由交比的定义：交比（A、B、C、D）=知A、B、C、D四点构成调和点列的充要条件是交比（A、C、B、D）=-1调和点列具有以下常用性质：性质1：在梅尼劳斯图形中，三角形ABC被直线DEF所截，BE、CD交与点G，AG的延长线交BC与点H，则B、H、C、F成调和点列证明：由塞瓦定理，故由梅尼劳斯定理，故所以 由定义知，B、H、C、F成调和点列性质2：若A、B、C、D成调和点列，O为平面上一点，则任意一条直线截OA、OB、OC、OD得到的四个点也成调和点列。我们称由O发出的4条射线OA、OB、OC、OD为调和线束。这是调和点列的一个重要性质。证明：如图，设直线l交OA、OB、OC、OD于E、F、G、H 过A作l的平行线交OB、OC、OD于B1、C1、D1由平行线分线段成比例知 交比（E、G、F、H）=交比（A、C1、B1、D1）由梅尼劳斯定理，所以交比（A、C1、B1、D1）=交比（A、C、B、D）=-1故交比（E、G、F、H）=-1即E、F、G、H成调和点列。 证毕性质3：如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆O与D、F，交BC与点E 则A、D、E、F四点调和证明: 又而故成立。得证！注：本题说明，过圆所在平面上任意一点的直线与圆的两个交点、与此点关于圆的极线的交点、此点本身四点构成调和点列。事实上，可以将此性质中的圆推广为一般的二次曲线推广1：如图，椭圆外一点A关于椭圆的极线为BC，过A的任意一条直线ADEF截椭圆于D、F，交BC与E 则A、D、E、F成调和点列。证明：暂略。性质4：证明：而/性质5：若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足则必有MC平分，MA外角平分这是调和点列应用中相当重要的一个性质。证明：反证法。 反设MC不平分，作MC平分角交BD与C，MA外角平分角交DB延长线与A ，则由内角平分线定理，有外角平分线定理，所以 由A、B、C、D成调和点列知注意到成立成立所以 与矛盾！所以MC平分，MA外角平分/下面是几道有关调和点列的经典题目题1 已知三角形ABC内切圆I切边BC与D（ABAC） AH为BC边上的高，M为AH中点 连DM并延长交圆I于点P1） 求证：2） 设圆O为三角形BPC的外接圆，求证：圆O与圆I内切于P1） 分析：要证即证PD平分角BPC由此我们想到调和点列的性质5为此我们取点E使B、D、C、E四点成调和点列由性质五，下只要证注意到，只要证P、M、H、E四点共圆即DM*DP=DH*DE设K与D为内切圆上的两个对径点，则从而 所以DM*DP=MH*KD=r*AH（r为内切圆半径）由B、D、C、E成调和点列知：所以 又而=DH*DE由及知成立，故 从而 /2) 取弧BC上的中点N，由1）知P、D、N共线 由引理：两圆内切于P，MN为其中一圆切线，切点为A，B为弧MN中点，则P、A、B共线 易知结论成立题2 已知圆I内切于三角形ABC，切BC于点D，连AD，设E为AD上一点，连AD，设E为AD上一点，连BE、CE分别交圆I于M，N连BN、CM求证：BN、CM、AD共点证：设FG交CB于点K 即K、B、D、C四点调和由性质一，只要证K、M、N共线即可证明BN，CM，ED共点反设KM交圆I与N（除N外的一点）CN交BE于点L,LD交MN于T，AD交MN于T由K、B、D、C四点调和及性质2知K，M，T，N四点调和注意到A点极线过K，所以K点极线过A又K点极线过D，故DA为点K关于圆I的极线由性质3知K、M、T、N调和故T=T从而LD与AD重合 即L与E重合，N与N重合矛盾！故K、M、N共线 原命题得证！题3 已知X为圆O外一点，过X作圆O的切线，切点为A、B 过X作圆O的割线XCD满足 CA与BD交于F，CD与AB交于G，BD与GX中垂线交于H 求证：X、F、G、H四点共圆证：如图，易知X、D、G、C四点调和（由性质3） 又由性质5知FD平分所以FGH的外接圆半径为，FXH的外接圆半径为由H在GX的中垂线上知：HG=HX又，所以FGH的外接圆半径等于FXH的外接圆半径从而若是前者，有