5.三重积分PPT演示课件

三重积分,I三重积分的概念与性质,II三重积分的计算法,二、柱面坐标下三重积分的计算法,三、球面坐标下三重积分的计算法,III重积分的应用,一、直角坐标下三重积分的计算法,1,I、三重积分的概念,1三重积分的定义,如果f(x，y，z)表示某物体在点(x，y，z)处的体密度，是该物体所占的空间闭区域，f(x，y,z)在上连续，则,物体的质量,2物理意义,3几何意义,的体积,4性质同二重积分,2,补充：利用对称性化简三重积分计算,3,4,4、若关于变量x，y，z具有轮换对称性，则有,5,在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分，则dv=dxdydz,1直角坐标系中的体积元素,因此在直角坐标系中，三重积分记作,II、三重积分的计算,一、用直角坐标系计算三重积分,6,为母线平行于z轴的曲顶，曲底柱体时,第一种情况：投影法(先一后二法),2、化三重积分为三次单积分,如图，,7,得,往另两个坐标面上投影的情况与此类似。,8,解,x+2y=1,Dxy,9,解：曲面z=x2+y2与平面z=1的交线在xOy平面上的投影曲线为在x2+y2=1，在xOy平面上的投影区域为Dxy:x2+y21。,而Dxy可用不等式组,于是,10,第二种情况:截面法,(先二后一法),设区域夹在平面z=c1，z=c2(c1c2)之间,用竖坐标为z(c1zc2)的平面截所得截面为Dz或D(z)，即,11,特别当f(x,y,z)只是z的函数：f(x,y,z)=(z),上式的适用范围：,有,其中A(z)是Dz的面积，于是,12,用截面法。,13,解,y4sinx关于x是奇函数,关于yoz平面对称，,14,用截面法。,15,二、利用柱面坐标计算三重积分,1柱面坐标,规定：,16,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平面,17,如图，柱面坐标系中的体积元素为,3柱面坐标系中的三重积分的形式,2柱面坐标系中的体积元素,4计算方法：定限方法同直角坐标，把边界化成柱面坐标方程。,一般是化为先z，再r，最后的三次积分,18,解,交线的投影为:,19,用柱面坐标。,20,三、利用球面坐标计算三重积分,1球面坐标,（1）M(x，y，z)(r，,),（2）球面坐标与直角坐标的关系为,21,（3）如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球面；,半平面,2球面坐标下三重积分的形式,（1）球面坐标下的体积元素,22,（2）三重积分的球面坐标形式,（3）计算方法：计算一般是化为先r，再，最后的三次积分,23,24,25,注以下区域时用球面坐标,26,27,28,29,（2）被积函数形如f(x2+y2+z2)f(z),为球形域，球面与圆锥面所围时，用球面坐标计算。,（1）为旋转体或的边界面中含圆柱面、圆锥面、球面时，或者投影区域为圆形域时，被积函数形如,注：坐标系的选择,30,III、重积分应用,通过三重积分可求空间区域的体积，物体的质量,通过二重积分可求曲顶柱体的体积、平面薄片的质量、平面区域的面积,1.空间区域的体积,如果(x，y，z)表示某物体在点(x，y，z)处的体密度，是该物体所占的空间闭区域，(x，y，z)在上连续.,2.物体的质量,31,一、空间曲面的面积,1设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,32,D,解,33,34,例2平面x+2y+3z8=0被柱面,35,二、质心,设有平面薄片，占有xoy平面上的闭区域D，点(x，y)处的面密度为(x，y)在D上连续，求,1、平面薄片的质心,36,当薄片是均匀的，质心称为形心.,设(x，y，z)表示某物体在点(x，y，z)处的体密度，是该物体所占的空间闭区域，(x，y，z)在上连续，则空间立体的质心坐标为：,2、空间立体的质心,37,例3求位于两圆r=2sin和r=4sin之间的均匀薄片的质心(如图)。,解：因为闭区域D对称于y轴，所以质心,A=3。再利用极坐标计算积分：,因此,所求质心是,38,3、转动惯量,质量为m的质点关于轴r的转动惯量为I=mr2,其中r为质点到轴r的距离。,1）平面薄片的转动惯量,设有平面薄片，占有xoy平面上的闭区域D，点(x，y)处的面密度为(x，y)在D上连续，则,分别为平面薄片关于x,y轴的转动惯量。,39,2）空间立体的转动惯量：,关于x轴：,关于y轴：,关于z轴：,设(x，y，z)表示某物体在点(x，y，z)处的体密度，是该物体所占的空间闭区域，(x，y，z)在上连续，则空间立体关于x，y,