多元函数微分学小结PPT演示课件

Chapter1,多元函数微分学小结,1,第一部分:内容小结,一、极限，连续，偏导数，全微分,1.二元函数的定义,2.二元函数的极限,3.二元函数的连续性,(1)定义,(2)性质,连续函数的和差积商是连续函数.,连续函数的复合函数是连续函数.,一切多元初等函数在其定义区域内连续.,2,(3)闭区域上连续函数的性质,最大最小值定理,介值定理,4.偏导数,(1)一阶偏导数,定义:,计算方法:,求偏导时,只须对所讨论的变量求导,而把其余的变量看作常数.,3,几何意义:,(2)高阶偏导数,4,5.全微分,6.极限存在、连续、可偏导、可微分的关系,5,二、微分法,1、全导数公式,2、偏导数公式,6,3、一阶全微分形式不变性,4、隐函数的微分法,7,(3)方程组情形,确定了两个一元函数.,确定了两个二元函数.,确定了一个以u,v为中间变量x,y为自变量的二元函数.,8,三、微分学的应用,1.几何上的应用,9,切向量为:,10,11,2.方向导数与梯度,12,3.极值,(1)无条件极值,极值存在的必要条件,极值存在的充分条件,13,14,(2)条件极值,降元法（化为无条件极值）,升元法（Lagrange乘数法）,解出(x,y)即为可能极值点.,判断是否为极值点通常由实际问题来定.,15,(3)最大最小值,1)闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值:,将函数f(x,y)在D内的所有驻点处的函数值与在D的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.,2)实际问题则根据问题的实际意义来判断,若问题存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为所求的最值点.,16,第二部分:题型小结,一、二元函数的定义域，函数值，极限,1、求定义域与函数关系,Solution.,所求定义域为,17,Solution.,2、求二元函数极限常用的方法,(1)用定义;(2)利用极限性质,计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法.对于未定型，不再有LHospital法则，须化成确定型.,18,Solution.,由夹逼准则得，,19,Solution.,20,3.确定极限不存在的方法,一般选择下列极限方式：,21,Solution.,其值随着k的不同而改变.,故所求极限不存在.,22,二、连续、可偏导、可微的讨论,Solution.,故函数连续.,23,故偏导数存在.,24,三、偏导数的计算,Solution.,Solution.,25,Solution.,Solution.,26,Solution.,Solution.,27,Solution.,注意,28,Solution.,注意,29,法1:,法2:,30,法1:,法2:,两边对x,y求偏导,并得到对x,y的二阶混合偏导.,法3:,化成z关于x,y的显函数,再求偏导.,31,Method1.,32,代入所证等式的左边即可得结论.,33,Method2.,等式两边对x求偏导得：,代入所证等式左边即可得结论成立.,34,solution.,35,solution.,36,Solution.,方程组两边对x求导得,37,Solution.,38,Solution.,39,四、全微分的计算,Solution.,40,五、微分学的应用题,Solution.,41,Solution.,及法平面方程.,42,Solution.,切平面方程,法线方程,43,Solution.,依题意，切平面平行于已知平面，得,44,所求切点为,切平面方程,切平面方程,45,Solution.,46,47,ex29.三