一元线性回归PPT演示课件

第11章一元线性回归,11.1变量间关系的度量11.2一元线性回归11.3利用回归方程进行估计和预测11.4残差分析,11.1变量间关系的度量,一、变量间的关系二、相关关系的描述与测度三、相关系数的显著性检验,一、变量间的关系,1.确定性关系函数关系例如某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为(p为单价)2.非确定性关系相关关系例如子女身高(y)与父母身高(x)之间的关系.,相关关系的类型,相关关系,线性相关,非线性相关,正相关,负相关,二、相关关系的描述与测度,(一)散点图(scatterdiagram),图11-1不同形态的散点图,例11.6,一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款.近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的提高，这给银行业务的发展带来较大压力.为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法.下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据.,表11-1,某商业银行2002年的有关业务数据,图11-2,贷款余额,不良贷款,不良贷款与贷款余额的散点图,图11-3,累计应收贷款,不良贷款,不良贷款与累计应收贷款的散点图,图11-4,贷款项目个数,不良贷款,不良贷款与贷款项目个数的散点图,图11-5,不良贷款与固定资产投资额的散点图,固定资产投资额,不良贷款,(二)相关系数(correlationcoefficient),1.变量之间线性相关关系的程度和方向的特征数.2.两个变量之间线性相关程度的度量，也称简单相关系数.3.根据总体全部数据计算而得的相关系数，称总体相关系数，记为.4.根据样本数据计算而的得相关系数,称为样本相关系数，记为.,样本相关系数计算,(11.1),或,(10.2),x和y的样本相关系数为,相关系数的取值范围及意义,1.r的取值范围为1，1.2.，称完全相关，既存在线性函数关系.r1，称完全正相关.r1，称完全负相关.3.r0，称零相关，既不存在线性相关关系.4.r0，称负相关.5.r0，称正相关.6.愈大，表示相关关系愈密切.,例11.7,根据例11.6的样本数据，计算不良贷款、贷款余额、应收贷款、贷款项目、固定资产投资额之间的相关系数.解：用Excel计算的相关系数矩阵如下.,三、相关系数的显著性检验,例11.8,例11.7的相关系数检验.,表11-3,各相关系数显著性检验的t统计量值,11.2一元线性回归,一、一元线性回归模型二、参数的最小二乘估计三、回归直线的拟合优度四、显著性检验,回归分析与相关分析的区别,1.相关分析中x和y都处于相同地位，而回归分析中，y称因变量，x称自变量.2.相关分析中x和y都是随机变量，而在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x则可以是随机变量，也可以是非随机变量.3.相关分析主要是描述变量之间的相关关系，而回归分析主要是确定变量之间的内在联系.,回归模型的类型示意图,回归模型,一元回归,多元回归,线性回归,非线性回归,线性回归,非线性回归,一、一元线性回归模型,(一)回归模型(regressionmodel),一元线性回归模型的基本假定,(二)回归方程(regressionequation),(11.5),(三)估计的回归方程(estimatedregressionequation),二、参数的最小二乘估计,续,续,解正规方程组得,(11.11),例11.9,根据例11.6的数据，建立不良贷款y对贷款余额x的回归方程.根据(11.11)式得,从而样本回归方程为,因此贷款余额增长1亿元时，则不良贷款增长约0.037895亿元.,图11-6,不良贷款对贷款余额的回归直线,用Excel进行回归分析,第1步：选择【工具】下拉菜单第2步：选择【数据分析】选项第3步：在分析工具中选择【回归】，然后选择【确定】第4步：当对话框出现时在【Y值输入区域】方框内键入Y的数据区域在【X值输入区域】方框内键入X的数据区域在【置信度】选项中给出所需的数值在【输出选项】中选择输出区域在【残差】分析选项中选择所需的选项,表11-4,用Excel进行回归分析的步骤,表11-5,Excel输出的回归分析结果,三、回归直线的拟合优度,(一)判定系数1.平方和分解,续,2.判定系数,(1)表示回归平方和占总离差平方和的比例,(11.17),(2)反映样本回归方程的拟合优度.(3)取值范围为0，1.(4)R2愈大，说明回归方程拟合得愈好.(5)判定系数为样本相关系数r的平方.,判定系数与样本相关系数的关系,(11.19),相关系数与回归系数之间的数量关系,这就是说与的正负号必定相同.,例11.10,即回归平方和占总离差平方和的71.16%，或者说，在不良贷款的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的.,根据例11.6的数据，计算不良贷款对贷款余额的判定系数.解：根据(11.17)式，得,(二)估计标准误差(standarderrorofestimate),误差项的标准差的估计,称为估计标准误差，或称为估计量的标准差.,例11.11,根据例11.6的数据，计算估计标准误差.解：根据(11.20)式，得,四、显著性检验,(一)线性关系的检验,三个平方和的自由度(1)SST的自由度为n1(2)SSR的自由度为1(3)SSE的自由度为n2关于自由度存在如下的关系式n1=(n2)+1,则SSE的平均平方,回归方程的显著性检验是用回归的平均平方与残差的平均平方作比较，判断因变量与自变量是否存在线性关系.,续,而SSR的平均平方为,续,一元线性回归方程的假设检验是,当为真时，则,(11.21),前面的这些计算可以列成表格的形式，称为方差分析表.,方差分析表,一元线性回归方程的显著性检验步骤,例11.12,根据例11.9的有关结果，检验不良贷款与贷款余额之间线性关系的显著性.解：提出假设,方差分析表,表116,(二)回归系数的检验,回归系数的检验步骤,例11.13,对例11.9，检验回归系数的显著性(),表117,Excel输出的部分回归结果的计算公式,11.3利用回归方程进行估计和预测,1.根据自变量x的取值估计或预测E(y)或y的取值.2.估计或预测可分两种类型(1)点估计(2)区间估计,一、点估计,二、区间预测,对于自变量x的一个取值，根据样本回归方程给出或的一个估计区间，称为区间估计或区间预测.分别称置信区间和预测区间.,1.置信区间(confidenceintervalestimate),例11.14,根据例11.9，求贷款余额为100亿元时平均不良贷款的0.95置信区间.解：根据前面的计算结果，已知,2.预测区间(predictionintervalestimate),例11.15,根据例11.9，求贷款余额为72.8亿元时不良贷款的0.95预测区间.解：根据前面的计算结果，已知,影响的因素,1.随的增大而增大2.随n的增大而减少3.随的增大而增大,近似区间预测,当n较大，且时，则,从而,图11-8,置信区间和预测区间示意图,11.4残差分析,一、用残差证实模型的假定二、用残差检测异常值和有影响的观测值,一、用残差证实模型的假定,(一)残差与残差图,称,为残差.利用残差可检验有关误差项的假定是否成立.,表11-8,Excel输出的预测值、残差和标准化残差,图11-9,不良贷款对贷款余额回归的残差图,不同形态的残差图,图11-10,(二)标准化残差(standardizedresidual),称,(11.33),为标准化残差.其中,(11.34),当误差项服从正态分布时，标准化残差的分布应服从标准正态分布，即大约有95%的标准化残差在-2到+2之间.,图11-11,不良贷款对贷款余额回归的标准化残差图,二、用残差检测异常值和有影响的观测值,(一)检测异常值,如果某一个点与其他点所呈现的趋势不相吻合，这个点就有可能是异常点.(1)如果异常值是一个错误的数据，应该修正该数据.(2)如果是由于模型的假定不合理，使得标准化残差偏大，应该考虑采用其他形式的模型，比如非线性模型(3)如果完全是由于随机因素而造成的异常值，则应该保留该数据.异常值也可以通过标准化残差来识别.如果某一个观测值所对应的标准化残差较大，就可以识别为异常值.,(二)检测有影响的观测值,如果某一个或某一