第2章 动态系统的状态空间描述PPT演示课件

第2章线性系统的状态空间描述,1,引言,经典控制理论以系统的输出输入特性为研究依据，对线性定常连续系统，其基本数学模型为线性定常高阶微分方程、传递函数;对线性定常离散系统,其基本数学模型则为线性定常高阶差分方程、脉冲传递函数。但这些模型仅仅描述了系统输入、输出之间的外部特性,不能揭示系统内部各物理量的运动规律，若要完全揭示整个系统的全部运动状况，仅凭输入、输出描述是不够的，即系统的输入、输出描述是一种不完全的描述。,2,20世纪60年代,人们将状态空间的概念引入控制理论，产生了以状态空间描述为基础,最优控制为核心的现代控制理论。系统动态特性的状态空间描述由两个数学方程组成，一个是反映系统内部状态变量和输入变量间因果关系的状态方程;另一个是表征系统内部状态变量及输入变量与输出变量转换关系的输出方程。系统的状态空间描述不仅描述了系统输入、输出外部特性,而且揭示了系统内部的结构特性，能完全表征系统的所有动力学特征,因而是对系统的一种完全的描述。,3,建立动态系统的状态空间模型是状态空间分析和综合的基本问题和前提。本章在介绍状态空间分析法基本概念的基础上，讨论状态空间描述的内涵、形式（连续、离散）、建立方法（机理、实现）、特性（线性定常系统的特征值和特征向量）动态系统数学模型的等效变换（状态向量的线性变换与状态空间表达式标准型、线性定常系统的固有特性在线性非奇异变换下保持不变）；研究组合系统（串、并联，反馈）的状态空间描述。,4,2.1动态系统的状态空间模型,2.1.1状态空间的基本概念2.1.2动态系统状态空间表达式的一般形式2.1.3状态空间模型的图示2.1.4由系统机理建立状态空间模型示例,5,2.1.1状态空间的基本概念,1.系统的基本概念2.动态系统的两类数学描述3.系统状态空间描述的基本概念,6,1.系统的基本概念,系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。,7,连续系统：变量的作用时刻是连续的。（微分方程）离散系统：输入、输出和状态变量只在某些离散采样时刻取值的系统。（差分方程）,8,数字计算机只能处理数字信号，其不仅在数值上整量化，且在时间上离散化,为了对计算机数字控制系统进行分析与综合，需要对连续被控对象离散化；另一方面，在已知各状态变量初始值的条件下，将连续状态方程离散化，应用数字计算机可十分容易地从初始时刻递推求出各采样时刻的状态变量值，得到连续状态方程近似数值解，从而避免数值积分方法繁琐的求解计算。,9,2.动态系统的两类数学描述,(1)外部描述外部描述通常称为输入、输出描述，这种描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应，显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程即把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系。,10,考察图示n级RC网络。图中虚线框内为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1。,n级RC网络,11,（1-3）,在已知输入u的情况下，解方程式（1-3），可求出输出响应y,但不能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程。,如同经典控制理论中所熟知的，系统以输入u、输出y作为变量的外部描述为式(1-3)所示的高阶线性常系数微分方程,即,12,(2)内部描述,状态空间描述是内部描述的基本形式，这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型。其由两个数学方程组成:一个是反映系统内部状态变量x1,x2,xn和输入变量u1,u2,ur间因果关系的数学表达式，称为状态方程，其数学表达式的形式对于连续时间系统为一阶微分方程组，对于离散时间系统为一阶差分方程组;,13,(2)内部描述,另一个是表征系统内部状态变量x1,x2,xn及输入变量u1,u2,ur与输出变量y1,y2,ym转换关系的数学表达式，称为输出方程,其数学表达式的形式为代数方程。重新考察图1-4的电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组,14,（1）,及,(2）,在已知输入u的情况下，解方程式（1）、式（2）,不仅可求出输出响应y，而且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此,式（1）、式(2)是图示电网络系统的一种完全描述。,15,3.系统状态空间描述的基本概念,(1)动态系统的状态动态系统的状态是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。(2)状态变量定义完全表征动态系统时间域运动行为的信息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号x1(t),x2(t),xn(t)表示，且它们相互独立（即变量的数目最小）。,16,【例】确定图示电路的状态变量。,RLC电路要惟一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC(t0)，或者说uC(t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC(t)和i(t)是该电路的状态变量。,17,(3)状态向量设x1(t),x2(t),xn(t)是系统的一组状态变量，把这些状态变量看做向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为,(4)状态空间以x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空间，称为状态空间。,18,(5)状态轨迹状态向量的端点在状态空间中的位置代表了某一特定时刻系统的状态。系统的状态是时间t的函数。在不同时刻，系统状态不同，则随着t的变化,状态向量的端点不断移动，其移动的路径就称为系统的状态轨迹。(6)状态方程描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统）,称为状态方程。,19,【例】建立前图所示RLC电路的状态方程。,取电容上的电压uC(t)和电感中的电流i(t)作为状态变量，根据电路原理有,(6),将式（6）中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为,(7),20,式（7）即为图示电路的状态方程,并将其写成向量-矩阵形式，即,(8),式（8）可简写为,令,，记,，,，,(9),式中,21,(7)输出方程,在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量及输入变量间的函数关系式称为系统的输出方程。上例中，若指定uC(t)为输出，且输出一般用y(t)表示，则输出方程为,(10),将式(10)写成写成向量-矩阵形式,得,或,(11),式（11）可简写成,(12),式中,。,22,(8)状态空间表达式,状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。,图示RLC电路,若uC(t)为输出,取x1=uC(t),x2=i(t)作为状态变量,则其状态空间表达式为,(13),23,为正确理解状态空间的基本概念,应注意如下几点:,系统输出和系统状态在概念上的不同状态变量的非惟一性任意两组状态变量之间的关系同一系统所任意选取的两个状态向量之间为线性非奇异变换关系。线性非奇异变换下，系统任意两个状态空间表达式的关系系统的状态空间表达式不具有惟一性,选取不同的状态变量,便会有不同的状态空间表达式,但它们均描绘同一系统。对于一个动态系统，一组状态变量下的状态空间表达式可用另一组状态变量下的状态空间表达式经线性非奇异变换得到。,24,(9)工程问题中状态变量的选取,动态系统需用微分方程描述是因为动态系统含有储能元件,因而,动态系统是一个能存储输入信息的系统。对同一系统的任何一种不同的状态空间表达式而言,其状态变量的数目是惟一的,必等于系统的阶数,即系统中独立储能元件的个数。在具体工程问题中，可选取独立储能元件的能量方程中的物理变量作为系统的状态变量。,25,(9)工程问题中状态变量的选取,状态变量不一定是物理可测量的，有时仅有数学意义而无任何物理意义。在具体工程问题中，为了实现状态的反馈控制，以选择容易测量的量作为状态变量为宜，例如,选择机械系统中的线（角）位移和线（角）速度作为状态变量，电路中电容上的电压和流经电感的电流作为状态变量。,26,2.1.2动态系统状态空间表达式的一般形式,27,1.单输入单输出线性定常连续系统,设单输入单输出线性定常n阶连续系统，n个状态变量为x1(t),x2(t),xn(t),其状态方程的一般形式为,（23）,输出方程的一般形式为,(24),28,则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为,(25),式(25)简记为,(26),29,式中,为n维状态向量;,称为系统矩阵或状态矩阵;,称为输入矩阵或控制矩阵；,称为输出矩阵或观测矩阵；,D是标量，反映输出与输入的直接关联。,30,2.多输入多输出线性定常连续系统,对于有r个输入u1,u2,ur,m个输出y1,y2,ym的多输人多输出n阶线性定常连续系统，状态方程的一般形式为,(1-27),输出方程的一般形式为,(1-28),31,则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为,(1-29),式(1-29)简记为,即,(1-30),32,式中,是n维状态向量;,是m维输出向量;,是r维输入向量;,维系统矩阵(或状态矩阵);,是,是,维输入矩阵(或控制矩阵);,33,维输出矩阵;,是,是,维输入输出关联矩阵(或直接传递矩阵)。,采用向量-矩阵方程形式使复杂的多输入多输出系统的数学表达式得以简化,当状态变量的数目、输入的数目或输出的数目增加时,并不增加方程的复杂性。,34,3.多输入多输出线性时变连续系统,式(1-30)为多输人多输出线性定常连续系统的状态空间表达式,其特征是系数矩阵的各元素均为常数。若A、B、C、D矩阵中的某些元素或全部元素是时间t的函数，对应的系统称为线性时变连续系统，其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为,（1-31）,35,式中,36,4.非线性系统,用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即,(32),(33),37,用向量矩阵表示,则为,（34）,式中,F、G均为向量函数,由于式(1-32)、式(1-33)或式（1-34）中显含时间t,其所描述的系统为非线性时变系统。若式(1-32)、式(1-33)或式（1-34）中不显含时间,则为非线性定常系统,其状态空间表达式的一般形式为,(35),38,线性连续系统状态空间模型的图示,1.结构图线性系统状态空间表达式可用结构图来表示。式(1-30)所描述的系统结构图如图(1-7)，它形象地表明了系统输人与输出的因果关系,状态与输入、输出的组合关系。在结构图中,每一方块的输入、输出关系规定为输出向量=(方块所示矩阵)(输入向量),图1-7线性定常系统结构图,39,2状态模拟图,在状态空间分析法中，常采用模拟计算机仿真中的模拟图来表示系统的状态空间表达式。绘制这种图形常用到3类元件：积分器、加法器、比例器。绘制步骤是：积分器的数目应等于状态变量数,将积分器画在适当位置(积分器用内含积分符号的方框表示)，各积分器的输出表示相应的某个状态变量;然后根据状态方程和输出方程所表达的运算关系,画出对应的加法器和比例器;最后用带箭头的传输线将各元件连接起来。由于图中采用符号来表示实际的积分器、加法器、比例器，而积分器的输出表示的是某个状态变量，故又称这种状态空间表达式的模拟结构图为状态模拟图(或状态变量图)。,40,【例】3阶系统的状态空间表达式为,试画出其模拟结构图(状态变量图)。解该系统有3个状态变量，对应3个积分器的输出，而每个积分器的输入量就是对应状态变量的导数。该系统的状态变量图如图8所示。,41,图8系统的状态变量图,42,5.离散系统的状态空间描述,离散(时间)系统是系统的输入、输出和状态变量只在某些离散时刻取值的系统,与其相关的外部数学描述方法有差分方程和系统脉冲传递函数。同样，对于离散系统也可采用状态空间表达式描述，在形式上与连续系统的状态空间描述方法完全类似。,43,离散系统的状态空间表达式,线性离散系统的状态空间表达式的一般形式为,(36),式中,x(k)为系统的n维状态向量；u(k)为系统的r维输入向量；y(k)为系统的m维输出向量；G(k)为nn线性离散系统的系统矩阵；H(k)为nr线性离散系统的输入矩阵；C(k)为mn线性离散系统的输出矩阵；D(k)为mr线性离散系统的输入输出关联矩阵(或直接传递矩阵)。,44,由式(36)可见,离散系统的状态方程描述了时刻的状态与时刻的状态及输入量之间的关系,其输出方程描述了时刻的输出量与时刻的状态及输入量之间的关系。,与连续系统类似，线性离散系统状态空间表达式的结构图如图所示。,线性离散系统的结构图,45,图中方块T为单位延迟器，它表示将输入的信号延迟一个节拍，即如果其输入为x(k+1)，那么其输出为x(k)。,线性离散系统的结构图,46,对线性定常离散系统而言,G(k)，H(k)，C(k)，D(k)均为常数矩阵，其状态空间表达式为,47,2.1.4由系统机理建立状态空间模型示例,动态系统均含有储能元件，能量的变化伴随有系统的运动变化。因此,可根据支配系统运动的物理定律，建立动态系统的状态方程，在指定系统的输出后即可列写系统的输出方程。,48,【例1】图示为带有输入滤波器的有源比例、积分（PI）调节器电路图，ur为调节器的输入，u0为调节器的输出，建立其状态空间表达式。,调节器电路图,49,解（1）选择状态变量,该调节器含有两个独立的储能元件C0,C1,可选电容C0,C1上的电压UC0,UC1作为状态变量,电压和电流为关联参考方向。,（2）利用电路基本理论，建立原始方程对于A点左边回路,有,(1-36),(1-37),(1-38),(1-39),50,将式（1-36）、式（1-37）、式（1-38）代入式（1-39）并整理,得,(1-40),对于A点右边回路,有,(1-41),（3）导出状态方程和输出方程,将式(1-40)和式(1-41)中状态变量的一阶导数写在方程的左边，其余项写在方程的右边,得,51,以一阶微分方程组表示的状态方程为,由图知,输出变量方程为,(1-43),(1-42),52,(4)列写状态空间表达式,将式(1-42)、式(1-43)写成向量-矩阵形式并合起来，则得向量-矩阵形式的状态空间表达式,即,(1-44),令,53,由式(1-44)可得状态空间表达式的一般式,即,(1-45),若引入,则有状态空间表达式的简洁形式,即,(1-46),54,【例2】考察下图电路，取电压源e为输入变量，R1上的电压为输出变量,建立该电网络的状态空间表达式,电压和电流为关联参考方向。,例2图,55,网络中只含有电容C、电感L两个独立储能元件，选电容端电压uC、流经电感的电流iL作为状态变量。,解（1）选取状态变量,（2）利用电路基本定理列原始方程,回路:,（1-47）,回路:,(1-48),代入式(1-47),得,将,56,(1-49),（3）导出状态变量的一阶微分方程组,(1-50),（4）导出状态方程和输出方程,将状态变量的一阶导数看成待定量，用解代数方程方法求解式(1-50)即可求出状态方程。将式(1-50)写成向量-矩阵形式的方程,即,57,(1-51),解之,得向量-矩阵形式的状态方程,(1-52),58,输出方程为,(1-53),59,(5)列写状态空间表达式,将式(1-52)和式(1-53)合起来即为状态空间表达式,若令,则可得状态空间表达式的一般式,即,(1-54),60,【例3】图示机械平移系统模型，滑块M1、M2的质量分别是M1、M2；弹簧K1、K2的弹性系数分别为K1、K2、;阻尼器B阻尼系数为B。试建立以外力f为输入，滑块M1、M2的位移y1、y2为输出的状态空间表达式(忽略静摩擦与滑动摩擦)。,机械平移系统,61,图1-11中的滑块M1、M2和弹簧K1、K2为相互独立的储能元件，故滑块M1、M2的速度、及弹簧的伸长量,可选作该系统的状态变量。,由图1-11可得,令,图1-11系统的状态空间表达式为,62,(1-61),63,【例4】图示为电枢控制的他励直流电动机拖动示意图，励磁电流if恒定,通过调节电枢供电电压ua实现调速。,其中R,L分别为电枢回路的电阻和电感；e为电枢反电势;J为电动机轴上的等效总转动惯量；T为电动机电磁转矩,Tz为折合到电动机轴上的总负载转矩,B为电动机轴上的粘性摩擦系数。,图1-12他励直流电动机拖动,试建立以电枢电压ua、总负载转矩Tz为输入，电动机轴的转速n为输出的状态空间表达式。,64,解（1）选择状态变量因电感L和转动惯量J为独立的储能元件,故可选相应的电枢回路电流i和电动机轴转速n这两个相互独立的变量为状态变量。,（2）列写原始的运动方程,(1-62),(1-63),式中,为电动机轴的角速度,65,根据电机学,电机的电磁转矩及感应电动势分别为,(1-64),(1-65),式中,为直流电动机每极合成磁通,、,分别是转矩常数、电动势常数,（3）导出状态方程和输出方程整理式(1-62)式(1-65),得以一阶微分方程组表示的状态方程为,66,(1-66),输出方程为,(1-67),(4)列写状态空间表达式,令,由式(1-66)和式(1-67)得向量-矩阵形式的状态空间表达式为,(1-68),67,22动态系统数学模型变换,68,221状态向量的线性变换与状态方程的约当标准型,状态向量的线性变换系统的特征值系统特征值的不变性状态空间表达式化为对角线标准型状态空间表达式化为约当(Jordan)标准型,69,1.状态向量的线性变换,给定线性定常系统的状态空间表达式不具有惟一性,选取不同的状态变量,便会有不同的状态空间表达式。所任意选取的两个状态向量,和,之间实际上存在线性非奇异变换关系,即,或,(76),式中,T为线性非奇异变换矩阵,为T的逆阵。,而对应,和,的两种状态,空间表达式的矩阵与该非奇异变换矩阵T有确定关系。,70,设给定系统在状态向量下的状态空间表达式为,(77),若引入式(76)所示的线性非奇异变换(称为对系统进行T变换),将变换为,则系统在新的状态,向量下的状态空间表达式为,(78),式中,71,2.系统的特征值,n阶线性定常系统,的特征值即为其系统矩阵A的特征值,即特征方程,(1-79),的根。其中,A为实数方阵,I为单位矩阵,称为系统的特征多项式。,72,由线性代数知,设,是n阶方阵A的一个特征值，,若存在一个n维非零向量,，满足,(80),则称为方阵A对应于特征值的特征向量。,73,3.系统特征值的不变性,系统经线性非奇异变换后，其特征多项式不变，即系统特征值不变。,74,4.状态空间表达式化为对角线标准型,对于线性定常系统,(82),若系统的特征值互异，则必存在非奇异变换矩阵T,经,的线性变换，可将状态空间表达式变换为对角线标准型，即,75,(83),式中,(i=1,2,3,n)是系统矩阵A的n个互异特征值;由式,(1-80)求出对应于特征值,的特征向量,则变换矩阵T由A的特征向量,构造,即,(i=1,2,3,n),(84),且(85),76,若n阶方阵A,(86),其特征多项式为,(87),数学上称形如式(86)的矩阵为相伴矩阵或友矩阵。,77,可以证明，若n阶方阵A为友矩阵,且有n个互异特征值,则以下列范德蒙德(Vandermonde)矩阵T为变换,矩阵,可将A阵化为对角线矩阵，即,(1-88a),(1-88b),式(1-88b)中,A为式(1-86)所示的维友矩阵,且其n个特征值互异,T为式(1-88a)所示的范德蒙德矩阵。,78,5.状态空间表达式化为约当(Jordan)标准型,当n阶系统矩阵A具有重特征值时，可以分两种情况讨论。一种情况是A阵有重特征值，但A仍然有n个独立的特征向量，则可将A化为对角线型矩阵。另外一种情况是n阶系统矩阵A不但具有重特征值，而且其独立特征向量个数少于n，这时,经线性变换，可将A变换为约当标准型。,79,设n阶系统矩阵A具有m重特征值，其余个特征值为互异特征值，且A对应于m重特征值的独立特征向量只有一个，则A经线性变换可化为约当标准型J,即,(89),80,上式J中用虚线示出一个对应m重特征值的m阶约当块,m阶约当块是主对角线上的元素为m重特征值、主对角线上方的次对角线上的元素均为1、其余元素均为零的子矩阵,即,(90),81,可以证明式(89)中的线性非奇异变换矩阵T为,(1-91),式中,为m重特征值对应的特征向量;,为其余个互异特征值对应的特征向量;,则为m重特征值对应的广义特征向量,即满足,82,(1-92a),83,整理式(1-92a)得,(1-92b),84,以上关于系统矩阵A经线性变换化为约当标准型J的讨论仅仅是针对A矩阵的m重特征值对应的独立特征向量只有一个的情况进行的。应该指出,若A矩阵的m重特征值的独立特征向量个数为l(1lm),则A矩阵的约当标准型应有l个约当块与其m重特征值对应。更为特殊的情况，n阶系统矩阵A具有m重特征值，其余个特征值为互异特征值,但若m重特征值对应的独立特征向量个数为m,则应有m个一阶约当块与其m重特征值对应,这时约当型就成为对角线标准型。,85,222系统的高阶微分方程描述化为状态空间描述,在经典控制理论中，对线性定常系统常采用常微分方程和传递函数来描述系统输入和输出关系。在现代控制理论中,由描述系统输入、输出动态关系的微分方程或传递函数建立系统状态空间表达式的问题称为实现问题,要求所求得的状态空间表达式既保持原系统的输入、输出关系不变，又揭示出系统的内部关系。实现问题的复杂性在于,根据输入、输出关系求得的状态空间表达式并非唯一，因为会有无数个不同的内部结构均能获得相同的输入、输出关系。,86,1.微分方程中输入函数不含导数项的情况,当单输入单输出线性定常连续系统的输入量中不含导数项时,描述该系统微分方程的一般形式为,（1-93）,根据微分方程理论，若给定初始条件,则系统微分方程的解是唯一的,即该系统在时的行为是完全确定的。故可选取,时的输入,，,这n个变量作为状态变量，将式(1-93)式化为,87,(1-94),则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为,88,(1-95),式中,其中,A矩阵为友矩阵。与式(1-94)对应的系统模拟结构图(状态变量图)如图1-14所示。,。,89,图1-14式(1-93)系统模拟结构图(状态变量图)(与式(1-94)对应),从输入、输出的关系看，图1-15所示的结构图与图1-14的结构图是等效的。,90,图1-15式(1-93)系统的另一种模拟结构图(状态变量图)(与式(1-96)对应),91,对应于图1-15,式(1-93)系统的另一种状态空间表达式为,（1-96）,92,【例】设系统的微分方程为:,求系统的状态空间表达式。,解选取,为状态变量，即,则由系统的微分方程得状态空间表达式,即,93,其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为,94,2.微分方程中输入函数含有导数项的情况,当单输入单输出线性定常连续系统的输入量中含有导数项时(一般输入量导数的阶数小于或等于系统的阶数n),描述该系统微分方程的一般形式为,（1-97）,在这种情况下，不能选用,作为状态变量，否则状态方程中包含有输入信号u的导数项，它可能导致系统在状态空间中的运动出现无穷大的跳变，方程解的存在性和唯一性将被破坏。为了避免这种情况的产生，通常选用输出y和输入u及它们的各阶导数组成状态变量，以保证状态方程中不含u的导数项。下面介绍两种常用的方法。,95,方法一,若选取如下一组状态变量,(1-98),式中,为n个待定系数。对式(1-98)求导，可得,96,（1-99）,由微分方程式(1-97)及式（1-98）所确定的y的各阶导数与状态变量之间的关系，可得,97,将上式代入式（1-99）中最后一行，可得,98,(1-100),令式(1-100)中u的各阶导数的系数为零,可确定n个待定系数,为,99,（1-101）,且令式（1-100）中u的系数为,即,(1-102),则式(1-100)成为,(1-104),100,则式(1-97)的向量-矩阵形式的状态空间表达式为,（1-105）,式中及由式(1-101)及式(1-102)确定。,101,与式(1-105)对应的系统模拟结构图(状态变量图)如图1-16所示。,图1-16式(1-97)系统的模拟结构图,102,【例】已知系统的微分方程为:,试列写状态空间表达式。解由微分方程可知各项系数为,由式(1-101)和式(1-102)可确定,103,从而得到系统状态空间表达式,104,方法二设系统微分方程为,（1-106）,引入微分算子,（1-107）,微分算子本身并无意义，它是一种数学符号，一旦作用于函数，即产生意义。如令,则为被作用函数各阶导数代数和。,105,令,（1-109）,原微分方程式(1-106)化为,（1-110）,引入中间变量z，令,（1-111）,106,则有,所以得出,（1-112）,经上述推导，可将原微分方程分解成如下两个方程,107,选择系统的状态变量为,108,得系统的状态方程为,（1-113）,输出方程为,(1-114),109,由式（1-113）和式(1-114）得式(1-106)的向量-矩阵形式的状态空间表达式为,(1-115),110,若输入量导数的阶数小于系统的阶数n,描述系统的微分方程为,（1-116）,则将代入式(1-115)即可得到式(1-116)对应的状态空间表达式。,但时,也可按如下规则选择另一组状态变量,即,(1-117),展开式(1-117)得,111,(1-118),则有个一阶微分方程,(1-119),112,由式(1-118)对求导得,(1-120),将式(1-116)代入式(1-120)得,(1-121),由式(1-119)、式(1-121)及,可得式(1-116)系统的另一种形式的状态空间表达式为,113,(1-122),114,223系统的传递函数描述化为状态空间描述,由传递函数建立系统状态空间表达式的方法之一是将传递函数化为微分方程,再应用222节介绍的方法求状态空间表达式。本节介绍将传递函数进行分解直接获得状态空间表达式的实现方法。,设单变量线性定常系统的传递函数为,（1-123）,式中,均为实数，且不失,一般性,设,。,115,若,为严格有理真分式,其状态空间实现中的直接传递矩阵D=0,系统称为严格正常型(或绝对固有系统)；若,通过长除法将式（1-123）改写为,(1-124),即当传递函数的分子阶次等于分母阶次时时,输出含有与输入直接关联的项,其状态空间实现中的直接传递矩阵D=d,系统称为正常型；若时,称为非正常型，不能求得其实现。,116,虽然状态变量的选取并非唯一,但只要传递函数中分子、分母没有公因子,即不出现零极点对消,则n阶系统必有n个独立的状态变量,必可分解成n个一阶系统,每一种实现的系统矩阵的阶次均为n且具有相同的特征值。这种分子、分母没有公因子的传递函数的实现称为最小实现,本节仅讨论最小实现。,下面讨论将级联法、串联法和并联法三种分解方法用于式(1-125)中一般n阶严格有理真分式传递函数的实现。,（1-125）,117,1.系统实现的级联法,将式（1-125）改写为,（1-126）,然后在传递函数的分子和分母上同乘一中间变量M(s),则有,118,若指定每个积分器的输出为状态变量,相应的系统模拟结构图(状态变量图)如图1-17所示,其中表示积分环节。,119,图1-17式(1-125)系统采用级联法实现的状态变量图(能控标准型实现),由图1-17写出式(1-125)系统采用级联法实现的状态空间表达式为,120,（1-127）,121,请注意式(1-127)中状态方程的系数矩阵A、B的结构特征(B中最后一个元素为1,而其余元素为零;A为友矩阵。),若单输入量系统状态空间表达式中的A、B具有这种标准形式,则称其为状态空间表达式的能控标准型。因此,式(1-127)也称为式(1-125)系统的能控标准型实现。,显然,系统传递函数式(1-125)对应的微分方程即为式(1-116),将代入式(1-115)也可得到系统的能控标准型状态空间表达式(1-127)。,若按式(1-117)选取状态变量,式(1-125)系统的另一种形式的状态空间表达式则为,122,(1-128),请注意式(1-128)中系数矩阵A、C的结构特征(C中最后一个元素为1,而其余元素为零;A为友矩阵的转置。),若单输出系统状态空间表达式中的A、C具有这种标准形式,则称其为状态空间表达式的能观标准型。因此,式(1-128)也称为式(1-125)系统的能观标准型实现。,123,【例1-14】已知系统传递函数为,试求其能控标准型、能观标准型状态空间表达式。,解由式(1-127)得系统的能控标准型实现为,式中,124,由式(1-128)得系统的能观标准型实现为,式中,125,2.系统实现的串联法,串联法的基本思路是将传递函数的分子多项式和分母多项式分别进行因式分解,从而将表达成若干个一阶、二阶传递函数的乘积,分别对各个一阶、二阶子系统模拟,再将它们串联起来得系统模拟结构图,由系统模拟结构图即可写出状态空间表达式。,126,【例】设系统传递函数已分解为因式相乘形式(即零点、极点形式),如式(1-130)所示,（1-130）,式中和均为实数(),;,试用串联法求其状态空间表达式。,解将式(1-130)改写为,（1-131）,127,上式表明,系统可看成由n个一阶子系统串联而成，分别对各一阶子系统进行模拟,再将它们串联起来即得系统的模拟结构图如图1-18所示。,图1-18式(1-130)系统的串联实现,选每个积分器的输出为系统状态变量，则由图1-18可写出系统状态方程及输出方程分别为,128,（1-132）,(1-133),129,则向量-矩阵形式的状态空间表达式为,130,3.系统实现的并联法,并联法的基本思路是采用部分分式法将传递函数分解成若干个一阶、二阶传递函数之和，分别对各个一阶、二阶子系统模拟,再将它们并联连接得系统模拟结构图,由系统模拟结构图即可写出状态空间表达式。,设n阶严格有理真分式传递函数为,（1-135）,式中,为系统极点(),。,131,可采用部分分式法将上式展成部分分式之和，为简单起见,本节仅限于讨论,为实极点()的,情况,并分的n个极点互异和含有重极点两种情况进行讨论。,1)传递函数只含单实极点时,传递函数如式（1-135），则系统特征方程为,（1-136）,式中,为系统的互异实极点,则传递函数可展成部分分式之和,132,（1-137）,式中,为待定系数，可由留数法,求出,即,(1-138),式（1-137）表明，式(1-135)所示系统当其仅含单实极点时,可看成由n个一阶子系统并联而成，对应的模拟结构图如图1-20所示。,133,图1-20式(1-135)所示传递函数只含单实极点时的并联实现(对角标准型),134,选各积分器的输出为系统状态变量,则由图1-20可写出式(1-135)所示系统当其仅含单实极点时的状态空间表达式,(1-139),135,【例】设系统传递函数为:,试求对角线标准型状态空间表达式。,解,则其状态空间实现中的直接传递矩阵D=1,又,136,式中,则系统对角线标准型状态空间表达式为,137,2)传递函数含重实极点时,当式（1-135）传递函数含重实极点时，不失一般性，假设,（1-140）,式中,为q重实极点，其它,为单实极点。,则可以分解为,138,其中，q重极点所对应的部分分式系数,按式(1-142)计算,即,（1-142）,对于单极点,对应的,部分分式的系数则按下式计算,（1-143）,139,由式(1-141)选择系统状态变量的拉氏变换为,（1-144）,140,由式（1-144）得,(1-145),141,整理式(1-145)得,(1-146),由式(1-141)和式(1-144)得,(1-147),142,式(1-147)取拉氏反变换，得输出方程为,(1-148),式(1-146)取拉氏反变换，得状态方程为,（1-149）,143,由式（1-148）和式（1-149）得式（1-140）系统的向量-矩阵形式的状态空间表达式为,(1-150),144,可以看出，式(1-150)为约当标准型状态空间表达式,其系统矩阵A为约当标准型(A中用虚线示出一个对应q重实极点的q阶约当块)。与式(1-150)对应的系统状态变量图如图1-22所示。,图1-22有重实极点的式（1-140）系统并联型模拟结构图(约当标准型实现),145,【例】求传递函数,的并联实现。,解,式中,146,则系统并联实现的状态空间表达式为约当标准型,即,图1-23例1-19系统的状态变量图,系统并联实现的状态变量图如图1-23所示。,147,224由方框图导出状态空间描述,P.41,148,225系统的传递函数阵,1.由系统的状态空间表达式求传递函数阵,223节介绍了由传递函数求状态空间表达式的问题,即系统实现问题，可以看出这是一个比较复杂的问题,因为实现具有非唯一性。但实现的逆问题,即从系统状态空间表达式求其传递函数（阵）却较为简单且求解结果是唯一的。,149,设r维输入、m维输出的多输入多输出（MIMO）线性定常系统的状态空间表达式为,(1-151),式中，x,y,u分别为n1、m1、r1的列向量，A,B,C,D分别为nn、nr、mn、mr的矩阵。,令系统初始条件为零,对式(1-151)中的状态方程和输出方程两端进行拉氏变换，有,(1-152),150,所以,(1-153),(1-154),式中,(1-155),称为系统的传递函数矩阵,其是一个维矩阵,描述了r维输入向量和m维输出向量间的传递关系,即,151,(1-