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数学命题规范和技术,绍兴市教育教学研究院 周伟扬,2008 领雁工程培训绍兴,一、综述,为什么要进行命题为什么要进行命题研究怎样进行命题研究怎样的试题是好试题怎样的试卷是好试卷,一、综述,考试分类：诊断性测试(diagnostic test)目标参照测验（criterion-referenced test）常模参照测试（norm-referenced test）,诊断性测试(diagnostic test) “诊断”是指“在检查病人的症状之后判断病人的病症及其发展情况”以便在此基础上对症下药。教学中的诊断性测试则是指对学生在学习过程中出现的薄弱环节进行考查，以弥补以往的不足，调整教学计划，改进教学行为，提高课堂教学质量。因此，诊断性测试往往对教学中的某些问题、某些现象予以特别关注。 诊断性测试属于阶段性测试，包括单元测试、期中测试或期末测试。考试内容只限于该段时间的教学内容，考试形式可以多样，既可以是正式的考试题型，也可以是其它题型，如：英语中的填空、完成句子、单词拼写等等。 如果考试成绩出现平均分数很低的情况，应考虑是教学失误，教师应认真查找原因并采取补救措施。,目标参照测试（criterion-referenced Test） 目标参照测试是以事先制定好的教学目标，或者以表示完成这一目标的相应程度的等级分数作为参照标准来解释成绩的一种测验。目标参照测验不需要确定某个学生在测验中所处的位置，而只是反映他的测试成绩与事先规定的目标这两者之间存在的一种关系。 例如一次英语测验，我们事先作这样的规定：成绩80分以上为优良、70分以上为良好，60分以上为及格、60分以下为不及格。如果某学生得了56分，就表明他的测验成绩不及格，未达到预定的最低目标水平。至于其他学生的测验成绩高低如何，我们并不需要与该生进行比较。若按这样的标准来解释成绩，这次测验就可以称作为目标参照测验。终结性测验（如期终考试）与水平测验（如毕业会考）一般都属于目标参照测验。,常模参照测试（norm-referenced test） 在常模参照测试中，测试的成绩以常模作为参照标准来进行解释。这里的常模，是指参加该测试的全体学生或者一个标准化样本（即经过选择，能代表全体学生的一个学生群体）在测验中实际达到的平均水平。例如平均分就可以作为一个常模。常模参照测验的目的，不是要鉴定某个学生已经达到了哪些具体的教学目标，而是要决定该生在群体中所占据的位置，以表明他与其他学生之间的个别差异。 例如，假如由3万名学生参加的一次英语测试，平均成绩为50分，我们将它作为一个常模。某学生得了55分，按通常的评价标准，它位于60分以下，是一个不及格的成绩。但是，若以常模作为参照标准来解释，55分已高于常模，因此不能算是一个低成绩。由此可见，常模参照测验不起诊断的作用，它的主要功能是选拔。各类升学考、竞赛是典型的常模参照测验。,二、规范,命题,二、规范,试卷质量指标 定性指标 科学性：无差错和似是而非的题 适标性：稳定教学秩序，推进课改 定量指标 难度：统计难度。符合总体设计（初中学业考试0.7-0.75，高中会考0.75-0.8，高考0.6-0.65，期中、期末、校内考？）,二、规范,效度：测量的有效性。取样（知识技能、学科要素、能力要求）的适当程度范围、代表性信度：测量的可靠性。分数分布越广，信度越高。影响信度的因素试题的难度，试题的数量。效度高的考试，信度也一定高，反之不然,二、规范,有效性指的是该数学考试（1）是否能测量欲测的数学水平（2）是否测量到了欲测的数学水平（3）所测量到的是否都是要测量的（4）测量所得的分数是否反映考生的数学水平 前三个涉及到试题编制，试卷质量; 后一个涉及到评分规则、方法和结果的质量。,二、规范,影响效度的因素：（1）考试的间接性和统计特性（2）数学能力的不确定性（3）数学问题解决的多向性（4）数学试题编制的主观性,二、规范,信度 考试信度是表示多次测量同一组对象所得结果一致性的数量指标,二、规范,试题质量指标定性指标 科学性：表述准确、用词规范妥当，无知识性、科学性错误 适标性：体现考试目标恰当定量指标 难度：0.25以上。学业考、会考7：2：1，高考352，期中、期末、校内考？） 区分度：,二、规范,命题工作程序四个阶段：制订命题计划、拟题、组卷、审卷,命题全过程,二、规范,命题计划举例初中数学学业考试（一）试卷的蓝图命题细目表,二、规范,（二）体现学科特点和新课程理念的命题落实计划 1基本的数学思想方法，以及数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识和推理能力等数学思考和解决问题的能力在试卷中均应该有试题体现。 2情感与态度方面的要求在试卷中也要有所体现，但要结合具体情境，不宜牵强。 3试卷中要有1-2题有体现动手实践、方案设计、解决问题和表达自己观点的内容。 4试卷中要有1-2题条件或结论开放的题。,二、规范,5试卷中至少要有1-2题提供新的信息，要求通过阅读理解，探索其中规律得出结论并解决相关问题的题。但全卷阅读量相对较大的题一般控制在1-2题。 6试题要注意与生活、生产实际相结合，但具有实际问题背景的试题一般控制在6-8题为宜（不超过三分之一）。 7试卷的压轴题，即选择、填空和解答题中的较难题，要结合数学的主干知识，结合重要是数学思想方法加以设计，要难在数学思想方法和数学推理等思维能力要求上，不在技能技巧上难学生，更不在已经降低要求的内容上设计试题。最好是有一定思维量的阅读理解题、探究题或根据实际问题背景建立数学模型并解答的题。,二、规范,学业考试的命题关注 1命题依据 例如，数学： 数学课程标准、学业考试说明 课程标准实验教科书？ 2 试题的科学性 3试卷的难度控制 期望难度0.7以上，0.75左右,二、规范,4新课程理念的体现数学新课程理念： 1. 提倡动手实践、探究、表达自己的观点，根据实际问题建立模型并加以解决等。 这些理念在试卷中均应有所体现。 2. 新课程已删除和降低要求的内容绝不出现。,二、规范,学业考试期望体现的学科特点和新课程理念： 1应着重考查数学的基础知识、基本技能、基本的数学思想方法，并注重通性通法，淡化特殊技巧，杜绝人为编造的、繁难的计算题和证明题； 2应加强对数学应用意识和用数学观点分析解决问题能力的考查，问题设计应体现时代要求，贴近生活实际，杜绝非数学本质的、似是而非的试题； 3应适当体现对动手实践能力和数学探究能力的考查。,二、规范,数学命题操作规程： 试卷编制流程,二、规范,校对流程,三、技术,试卷质量控制技术 从试卷质量的主要指标看： （一）科学性 试题的科学性是试卷质量的首要指标。 1一个试题从编制到定稿，每个命题人员至少 独立推敲、解答5遍。 2独立推敲，多角度审视 。,三、技术,（1）正确无误 答案是否存在、条件是否充分、有没有多余条件。 （2）清晰明确 文字表达是否清晰简练、学生是否理解、会否产生歧义等；概念是否定义过，术语、符号是否与课本一致、规范、统一。 （3）选择题： 设问方向；选择支文字、有效性、排列；答案（4）填空题：答案,三、技术,（二）适标性 试题考查要求深广度的把握指标，是直接影响课改成败和学生负担的教学导向性指标。 1事先列出新老教学要求对照表，特别要列出已降低要求或删去的内容。 2事先制定命题详细计划表，列出每个题目的期望命题方向，考察内容和能力要求。 3试题编好后，查对课程标准考试说明和教科书。 （1）不超不高 （2）分布比例、重点,三、技术,（三）教育性 （1）德育功能，内容健康、现实、有意义 （2）贴近实际、时代 （四）可读性 文字精练、条理清楚,三、技术,（五）难易度 试卷难度是和科学同样重要的指标，难度不达到设计要求，相当于试题不符合学生实际，设计不科学。 各题难度、难度分布、整卷难度 。 1每人独立估计每道试题难度。 2分两头估计难度。 3和往年试题比较估计难度。,三、技术,编题技术 创新试题技术 （一）依据学科特点，编制容易题 尽可能使题目简约，但要在简约中蕴含 “数学味”，避免死记硬背。,三、技术,1下列运算的结果中，是正数的是 (A)(-2007)-1 (B)(-1)2007 (C)(-1)(-2007) (D)(-2007)20072点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为 (A)(-4，3) (B)(-3，-4) (C)(-3，4) (D)(3，-4),三、技术,三、技术,（二）立足课本，编制基本题 立足课本，源于课本，高于课本 试卷中应有大量直接来源于课本的基础题，这部分试题既能使绝大部分考生获得一定的基本分数，又能有利于引导师生认真研究教材、吃透教材。,三、技术,(湖州卷第15题)： 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式。例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(ab)2a22abb2。你根据图乙能得到的数学公式是 。,三、技术,（绍兴9）： 如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在 A20cm3以上，30cm3以下 B30cm3以上，40cm3以下 C40cm3以上，50cm3以下 D50cm3以上，60cm3以下,三、技术,（绍兴20）： 某校为了解决学生停车难的问题，打算新建一个自行车车棚，图1是车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形图2是车棚顶部的截面示意图，弧AB所在圆的圆心为O，半径OA为3米. （1）求AOB的度数（结果精确到1度）; （2）学校准备用某种材料制作车棚顶部，请你算一算，需该种材料多少平方米？（不考虑接缝等因素，结果精确到1平方米）.（参考数据：sin53.1o0.80,cos53.1o0.60，取3.14）,三、技术,(杭州18，利用网络结构，考查数学概念，引导整理知识)： 我们学习了四边形和一些特殊的四边形，下图表示了在某种条件下它们之间的关系 如果，两个条件分别是：两组对边分别平行；有且只有一组对边平行那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件,三、技术,（丽水20题，将相关知识串联编题，给出复习方法示范）： 小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整：,三、技术,三、技术,三、技术,三、技术,三、技术,（三）根据新课程理念，编制新颖题(1) 适度开放，体现个性差异,温州17（2）： 给出三个多项式： 请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.,三、技术,(绍兴卷,难度:0.91) 写出一个图象在第一、三象限的反比例函数的解析式 ,三、技术,（2）设计探究过程, 体验研究过程与方法,（绍兴卷第23题 ）：课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题： 如图1，己知四边形ABCD中，AC平分DAB , DAB =60, B与D互补，求证： 小敏反复探索，不得其解她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题（1）特殊情况入手 添加条件： “B=D”, 如图2，可证 （请你完成此证明） （2）解决原来问题 受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F（请你补全证明）,三、技术,（杭州第15题）,三、技术,（3） 设计图形操作，体现动手实践,例1（嘉兴22题）：现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB4cm，BC6cm，点E是BC的中点实施操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点B（1）请用尺规，在图中作出AEB（保留作图痕迹）；（2）试求B、C两点之间的距离,三、技术,例2（衢州21题）：下图（1）是由一个边长为a的正方形剪去一个边长为b的正方形后剩下的图形。把图（1）剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式： . （1）请你通过对图（1）的剪拼，画出三种不同拼法的示意图。 要求： 拼成的图形是四边形； 在图（1）上画出剪裁线（用虚 线表示）； 在拼出的图形上标出已知的边长. （2）选择其中的一种拼法写出验证 上述公式的过程.,三、技术,例3（绍兴7）：学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)(4) ）： 从图中可知，小敏画平行线的依据有两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行A B C D,三、技术,（4） 设计新的信息, 考查学习能力,例1(嘉兴卷第22题) ：解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等（1）设A ，B ，求A与B的积；（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题,三、技术,例2 (绍兴卷第22题) ： 设关于x的一次函数 与 则称函数 （其中）为此两个函数的生成函数 （1）当x=1时，求函数 与 的生成函数的值； （2）若函数 与 的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由,三、技术,（5）从生活中提炼素材，创新试题,三、技术,三、技术,三、技术,给数学命题的建议： 1编题、讨论采用由难到易的程序。 2“压轴题”和体现新课程理念的特色题讨论确定后，须对命题前制订的命题细目表作适当调整，然后按调整后的细目表继续选题讨论。 3命题讨论采用“一票否决制” 。 4不出或少出“以下结论正确的是”这样的选择题，如果要出，选择支也要是属同一方向的内容。选择题中不能用“以上都对”“以上都错”做选支。 5一个解答题中的小题数一般不超过3个，并且一份试卷中有3个小题的解答题也最多不超过3道。 6命题时应在电脑中建立“*年数学命题”专项目录，并及时备份。命题结束时将有用文件考给相关负责人，然后删除所有命题期间产生的各个文件，以防泄密。,四、说题（1）,浙教版九年级数学(上册) 2.4二次函数的应用(1) 课后作业题第3题(第45页) ：把一根长为1m的铅丝折成一个矩形，并使矩形的面积最大，应怎样折?最大面积为多少？,问题再生之有无借助墙面,浙教版九年级数学(上册) 2.4二次函数的应用(1) 课后作业题第3题(第45页) ：把一根长为1m的铅丝折成一个矩形，并使矩形的面积最大，应怎样折?最大面积为多少？,问题一(课本第51页改编)：某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室一面靠现有墙面，已知计划中的建筑材料可建围墙50m,设饲养室的长x（m）,占地面积为y（m2）（1）求y关于x的函数解析式（2）怎样规划矩形的长和宽才能使饲养室的占地面积最大？,一面靠现有墙面，,建筑材料可建围墙50m,问题二(课本第51页改编)：某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室一面靠现有墙面,中间用一道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙50m,设两间饲养室的宽x（m）,总占地面积为y（m2）(1)要使饲养室的面积最大,饲养室的长应为多少?(2)如果中间有n(n1)道隔墙,要使饲养室的面积最大,饲养室的长应为多少?,中间用一道墙隔开,问题再生之中间有无隔栏,如果中间有n(n1)道隔墙,问题三(课本第51页改编)：某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室一面靠现有墙面(可用墙长为20m),中间用一道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建围墙50m,设两间饲养室的宽x（m）,总占地面积为y（m2）（1）求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；（2）画出函数的图象（3）利用函数图象判断：若要使两间饲养室总占地面积达到200m2，则各道墙的长度为多少？（4）饲养室的占地总面积能超过200m2吗？,(可用墙长为20m),问题再生之墙长有无限制,问题四(课本第51页改编)：某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室两面靠墙，已知计划中的建筑材料可建围墙50m,设两间饲养室的宽x（m）,总占地面积为y（m2）（1）求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；（2）怎样规划矩形的长和宽,才能使矩形的面积最大?,两面靠墙,问题再生之面数是否变化,问题再生之形状发生变化,问题五（十堰中考）：某学校在绿化校园时,计划利用矩形场地的一角的边缘30m,建一个三角形花圃，怎样利用边缘两边（不考虑第三边AB）才能使所建花圃的面积最大？并求出这个最大面积,A,B,C,问题再生之形状发生变化,问题再生,借助墙面,中间隔栏,墙长限制,形状变化,面数变化,容积最大,方案最佳,四、说题（2）,浙教版八下课本第147页作业题第3题 如图，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG。求证：BG=CE,如图，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG。 求证：BG=CE,浙教版八下课本第147页作业题第3题,原题展示,来源,本题考查（1）正方形、三角形全等的知识；（2）基本的几何分析推理能力。,潜在价值 （1）知识点丰富；（2）智能性功能；（3）心理训练功效；（4）丰富的数学思想 与数学方法；（5）体现数学的整体性。,变式一：条件不变、增加探究结论,（2）观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明你的猜想。,（3）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？,（1）经历观察猜想到验证的解决问题方法；（2）培养观察能力、语言表达能力、空间想象能力。,(4)如上图，AB11，AC7，连结EG， 求BC2+EG2的值,变式二：添加条件，探索新结论,O,（1）添加辅助线构造直角三角形（2）转化思想,变式三：改变条件，探究原结论,把“正方形ABCD、DEFG”改为“矩形ABCD、DEFG（长宽不等）”，上面两个结论还成立吗？若不成立，请问在什么条件下成立？,（1）通过类比，加深全等与相似知识的理解与巩固（2）培养学生的探索、创新精神,变式四：图形旋转，探究原结论,四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想.,（3）正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，使AD与GD重合如图（1）时，上述两个结论是否成立?,（4）正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，如图（2），上述两个结论是否成立？,图（1）,图（2）,（5）如图（2），连结BF，求CG:BF:AE的值.,(1)从图形变化中探求规律。培养学生用运动变换的观点和由特殊图形到一般图形去观察、研究几何图形的性质，添加辅助线，提高学生分析问题与解决问题的能力；（2）渗透转化思想与数形结合思想； (3)激发学生求知欲与信心；（4）培养学生思维的准确性和创新性。,2.如图，直线上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为（）46 16 55,变式五：根据图形或变式图形，求面积,1.如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7和11，则CDE的面积等于 。,3.如图，梯形ABCD中，ABDC， ADC BCD90，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1，S2，S3之间的关系是_.,变式五：根据图形或变式图形，求面积,（1）补形法，旋转法（2）数形结合思想和转化思想,如图，已知C为定线段AB外一动点，分别以AC、BC为边在ABC外作正方形CADF和CBEG，求证：不论点C的位置在AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点。,变式六：图形改变，探究定点定值问题,从图形运动中找出规律，转化为一般的几何证明问题，探究解决新问题的策略，训练思维的灵活性。,变式七：变换条件结论，提高探索能力,如图，在ABC中，ACB90，以AC、BC为边向ABC外分别作正方形CBHF和正方形ACDE,连结DF，过点C作CGAB,垂足为G，且CG的反向延长线与DF交于点I。,(2)当ACB90时，以上结论成立吗？若不成立，关系又怎样？,（3）当ACB为钝角，且分别向ABC内作正方形CBHF和ACDE,问：此时线段CI与AB间的数量关系如何?CI是否平分DF？线段CI与 AB是否相等？,第（1）小题是常规题，第（2）（3）小题又是探索题，第（3）小题图形变化，寻找基本图形，培养识图能力、探究能力和发散思维能力。,变式八：改变条件，挖掘内在联系,如图，分别以ABC的边AB、AC为一边向外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结CD、BE。（1）求证：BE=DC,（2）求直线猜想CD与直线BE的夹角,（1）万变不离其宗，揭示问题的实质；（