SCM於Timoshenko梁应用分析研究

國立台灣大學土木工程學研究所民國92年（碩士）學位論文摘要應用SCM於Timoshenko梁之分析研究研 究 生：楊耀昇指導教授：吳賴雲第一章 緒論對大多數工程技術問題，由於物體幾何形狀較複雜或問題的某些特徵非線性，故少有解析解。解決此類問題常有兩種途徑：一是引入簡化假設，將方程和邊界條件簡化為可處理的問題，從而得其在簡化狀態下之解答。此種方法僅在有限的情況下可行，此乃因過多簡化將可能導致不正確、甚至是錯誤之解答。另一種方法為數值方法。目前主要以有限元素法(FEM)及有限差分法(FDM)最為廣泛使用。上述兩種數值方法乃以臨近的幾個點來描繪某一個特定點的力學特性，因此數值耦合限於局部性。若用此兩種數值分析技巧來求解結構物問題較精確的數值解時，便須利用較多的網格點來離散並分析。在本文中，吾人試以另一種數值分析方法(SCM)，可採較少之網格分割點來近似分析，使電子計算機的數值運算量減少，降低因運算而累積的數值誤差量，並能迅速地獲得令人滿意的分析結果。本文研究目的，嘗試以SCM與SCEM直接法模擬Timoshenko梁問題之數值模式，以求解有關Timoshenko梁之分析問題。第二章 SCM之基礎理論介紹SCM是一種數值上的近似方法，其主要概念是以座標上的許多網格分割點(Collocation Points)，透過彼此間相連結，來造出一個近似函數，以逼近模擬吾人所欲求之實際函數。於SCM中，其近似函數是以多項式的形式疊加：其中，為未定係數，隨不同的外加條件而不同；即為Spline function。可有多種選擇，從一階、二階、一直到任意的m階皆無不可，其中三階稱為Cubic Spline、五階又稱為Quintic Spline。之選擇與其所對應之微分方程式有關，即不同微分方程視其階數及相應之邊界或外加條件，應該選擇不同的來求解，本文中所討論Timoshenko梁問題之控制方程均為二次微分控制方程式，故挑選3-rd 的Spline function (Cubic B Spline) 應為合理適當之選擇。在推導之過程中，需利用Forward Difference的原始式來進行。經推導得Quintic B Spline function及Cubic B Spline function如下：1.Quintic B Spline function：2.Cubic B Spline function：雖已求得B Spline function，但在應用上仍嫌繁複而不甚方便，為了便於使用，於是吾人試著整理這些鄰近結點的B Spline Value ，而製作出一份完整B Spline Value的表格。012666261000000000000141000000在SCM中，對於載重的模擬，採用的方式是對載重做線性內插，以模擬集中載重及非線性的載重形式。a. 當集中載重作用於結點上，此時均佈力大小應等於Q，所以此時。b. 當集中載重作用於結點間。SCM對於分佈載重可以模擬相鄰結點間的線性分佈載重，而非線性在結點取得較多的情形之下，也能很近似的模擬。第三章 SCEM之基礎理論介紹 對處理大部份載重及不同邊界條件而言，SCM是一相當有效率而精確的方法，然而當計算如多跨結構、結構為變斷面或必須以模擬載重來分析等導致吾人模擬之SCM曲線不再是一連續平滑的曲線時，不僅初始誤差增大，收斂的效率亦大幅降低。考慮結構以元素的型態表示，將各元素離散為SCM的結點及元素，再使用各相鄰元素間之連續條件來連結各元素，此模擬方式稱為SCEM。在使用SCEM分析時，除了原先之結點控制方程式及邊界條件外，於結構的各元素間亦增加了數個虛結點而必須再增加數個控制方程式。故利用元素間之連續條件來連結各元素而分析。SCEM將結構以元素型態離散多個結點(以n來表示每個元素塊離散n個結點)，即為對每個元素內之相關結點控制方程式、元素間相互連接之諧和條件式以及邊界條件式，以SCM理論進行數值近似的表示離散化。再將各個元素已離散化之控制方程式、元素間連接的諧和條件式以及邊界條件式組合，便可得到一整體的線性代數系統，經運算後，即可求得吾人欲求之未知待定係數。SCEM之求解步驟如下：1.首先求得欲分析結構物之控制方程式及邊界條件中所有的導函數或偏導函數。2.由控制方程式來決定Spline function 。3.視所分析之情況，將結構物分割成有限個元素(N)。4.將結構物的各個元素塊分別離散為n個節塊，並將SCM近似函數代入各個離散結點之控制方程式，以導出近似控制方程系統。5.加入元素與元素間連接之諧和條件，即元素間之內力平衡及變形諧和等內部邊界連接條件。6.代入離散化之邊界條件、元素連續條件，加上已離散化之結點控制方程式，得到離散化控制方程組。7.化成矩陣型式，用一般求解多元一次聯立方程式之數值計算方法求解待定係數矩陣。或根據各種不同之問題需求去求解特徵值系統以求得特徵值以及特徵向量。第四章 SCM與SCEM於Timoshenko梁之分析應用一般所討論之梁撓度問題皆假設僅考慮由彎矩引發撓曲應力所產生的變形，而沒有考慮因剪力使梁產生剪應變所產生之撓度。當此剪變形量無法為吾人所忽略時，以細長梁之理論背景所導出之公式，便無法完全適用於此種梁之模型。因此吾人必須從基本的力學平衡關係中，從新推導一正確之控制方程式。不考慮其自重因素，並假設梁本身僅受Z方向之負荷，經適度假設予以簡化三維效應，且假設平面在變形前後保持平面，最後可得考慮剪變形影響之Timoshenko梁控制方程式：茲取等斷面特例，透過直接模擬SCM之方法去求解其數值解。SCM之模擬近似函數如下：代入控制方程式，可得離散化之控制方程式如下：Timoshenko梁之所有內部應力與變位方程式亦代入離散化如下：變位： 剪變形： 彎矩： 剪力： 欲求得Timoshenko梁之數值解，其中共有個未知係數，即及等待定係數，因此需要個方程式。經整理後可得SCM模擬Timoshenko梁之離散化結點控制方程組。以矩陣表示求解：n:每塊元素離散n個節段經過運算，吾人即可求得待定係數矩陣a及c，即可得到各個離散結點的變位、剪變形、彎矩以及剪力之值。茲考慮一均勻截面(即、為定值)、全梁承受均佈載重()之Timoshenko梁結構，梁長度為，梁之橫斷面尺寸為。為討論方便起見，吾人選取剪切彈性係數、楊氏係數、蒲松比(Poissons Ratio) 。由於此懸臂梁斷面為矩型，故得剪力修正係數。(為與DQEM之分析數值結果比較，故梁長度與橫斷面尺寸採用與DQEM之例17相同)。今吾人取，即將此梁結構離散成四個節塊，共有五個離散點，故有以及共14個待定係數。將十條結點控制方程式與四條邊界條件式加以整理，可得以矩陣表示之結果如下：經過運算後，吾人可解得欲求之待定係數：(對稱) (反對稱)將所求得之及代入各結點之變位、剪變形、彎矩及剪力近似式，即可得各結點所欲求解之值。變位： 剪變形：彎矩： 剪力：SCEM於等斷面Timoshenko梁之分析：將Spline function代入控制方程式，分別對各個元素予以離散化，可得到元素結點控制方程式如下：Timoshenko梁的所有內部應力與變位方程式亦離散化如下：變位：剪變形： 彎矩：剪力： 其中，上標(e)表第e塊元素，。將元素之結點控制方程式、邊界條件與連續條件經過整理後可得如下SCEM之Timoshenko梁離散化結點控制方程組：經由適當之運算，吾人可求得待定係數矩陣及，再將及代回式(4.33)、(4.34)、(4.35)及(4.36)，依序可得各元素離散點之變位、剪變形、彎矩、剪力之近似分析值。第五章 結論與未來展望本文應用SCM與SCEM進行Timoshenko梁之分析，並與DQEM及數個特例之解析解進行比較。在使用SCM模擬Timoshenko梁時發現，吾人使用少數之節點即可獲得誤差甚小之近似解。當載重為均佈載重時，以SCM分析，可得誤差甚小之數值解。然當結構所受負載為集中載重時，SCM以對載重做線性內插來模擬，對於所分析之變形與內力產生較大之誤差。SCEM解決了SCM對於集中載重誤差較大之缺點，以SCEM分析時僅需將元素塊切點置於載重作用處，即能相當準確地得其近似解。當求解一般之平滑連續曲線時，以SCM與SCEM進行分析時，若SCM所取節塊數與SCEM所取元素節塊數相等時，兩者分析所得之結果近乎相等。本文已分別應用SCM及SCEM於T