过定点的三次函数图像切线条数问题

年第期中学数学研究 ,。 山几 一了 只一一一厄一一 一 一 二厄一一 , 交 ,一。、。, 贪 ,一 、 。 一 。二。二 竺竺岁业翌丫 玉已以竺兰竺 全选亘 一 左 二一,二一, ” 熟 ,一, 一 二一 故结论成立 结论若两个等差数列 ,。 的前 项和分别为 。, 几 , 则沪 ,一 一 一,一 结论 , 的前 若个等差数列 , 项和分别为 , , , 则 一 口 一 一 ” 、 一 ,一 二一, ” 凡 、一 证明 气 ” 、 几一” 、 一 才 、 , “ 、 , 伽 一 “、 入、 一, 、 , 气 一 ”入 ,一 、, 伽 一 “ “气, 一, 、 。 “ 一 气一 证明 。 , 仅 一 准 。 一 卜饥 一 , ,一 一 , 。 一 一“ 又 、一 一 ,一 一 一 一 ,一 、, 一 占 , 一 入 一一 。一 一 一一一 故结论成立 故结论成立 参考文献 【湛凤高一道课本习题结论 的推广 数学通讯 , 过定点的三次函数图像切线条数问题 浙江省龙游中学叶秋平 二次函数 十。 笋的图像 是抛物线 , 我们有如下共识点尸 。, 在抛 物线上时满足 。 , 过点尸的切 线有且只有一条当点尸在抛物线内时满足 了 。 。 , 过点尸的切线不存在当点 尸在抛物线外时满足 , 过点 尸的切线有两条 对于三次函数 二 二 笋 , 平面内点尸与曲线的位置关 系有类似的结论但过定点尸的切线条数与点 尸的位置关系又如何呢 经过探 究 , 有如下结 论 引理以曲线 厂 一 二 十。 十 笋上任意一点为切点的切 线有且只 有一条 证明要证结论 , 只需证明以曲线上两个 不同点为切点的切 线不重合不妨设 , 、, 为曲线上不 同两点 , 则有护 因为 。 , 所以 以为切 点的切线的方程为 二 二 。 一 , 即 二故 。 一 , 同理 以为切点的切线 的方程为 夕 加 一 要使 , 、 几重合 , 则应同时满足 二旅 一 。 旅 。 和 一二 二 一 , 化简后 即要 同时 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 中学数学研究年第期 满足 二十 一器 和 二产 十二 , 把代入得 夕。 山。 。 工工一石 二乏堪岁国、夕明寸一一 “ 与并 矛 盾 所 以 , 、 不 重合 为叙述方便 , 设以曲线 尸 一 衍 笋。对 称 中心 一 弃 为切点的切线为 , 其方程为 口 一 一 气一言丁十 夕 一 “ 曲线尸及把坐标平 干 。 爪 。 面分成 、 班 、 四个区域 , 如图对应 的情况 、 图对应的情况则有下 述结论 定理当定点尸在中心或在工和 班 区域时 , 过尸点的切线有且只有一条 当定点尸在曲线厂或切 线上且不在 时 , 过点尸的切线有二条 当定点尸在或区域 时 , 过点 尸 的 切 线有三条 、 一 , 矗 , 才一。, , 当 。一 矗 时 , 。 卜 一 。, 、 , 函数 二 单调递增 , 则两函数图像交点 只有一个 , 说明方程 , 只有一个解 , 即过对称 中心的切线有且只有一条 “ 。一 矗 时 , 函数 ,一、 区间 一 , 一 矗 及区间。 。, 调递增 , 在区 间卜 矗 , 。 单调递减 , 函数 ,一。 , 的图像 如 图 、 “ 。一 矗 时 , 函数 ,一。 在区间 一 , 。 及区间 一 矗 , 十 ,单调递增 , 在区 间阮 。,一 矗 “单调递减 , 函数 ,一。 的图像 如图 图 口 图 证明先考虑情况以 , 为切点的切线俪的方程为 二 十 一 占 一 己 , 若切线过定点尸 , 则 。 一 占 一 , 即 一 二 。 一 加 。 一少。 二 令 人占一 。 旅 。 , 。十一 , 由引理知切点不 同切线不 同 , 则过 点 尸 的切 线条数就 是关于的方程 , 解的个数 , 即函数 二 图像和函数 图像交点下文简称为两函数图像交 点的个数 人 , 占一 二 。 一 起 为叙述方便简洁 , 下面按 。一 矗 和 矗 分类讨论中结果 相同的部 分 合在 当 。一 二 或 十一。二 , 一 乒 时 , 两函数图像有两个交点 , 说明方程 ,劝“叼 囚扒囚冷 曰 , 八 ”、,“ 户 有两个解 , 即过点尸的切线有两条由 。 十一二。 化简得 。二 护 十千 。十 , 说 明点尸在曲线上由 。十一。 、 一 矗 ,化 简得 ,。 。 一 , 说明点尸在上去点 、曰 , ,、 , , , 兰 一 丽且 向 久 “十 久 一 弃 时 , 两函数图像有三个交点 , 说明方程 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 年第期中学数学研究 绝 对值函数的导数 求法 四川沪县二中张玉彬 对于求含绝对值的函数导数 , 一般都是用 零点分段法去绝对值化为分段函数求导数 , 由 于分段函数表达和认识都比较困难 , 所以 , 用零 点分段法去绝对值化为分段函数求导数就比较 困难为了克服困难 , 优化解题过程 , 本文例举 用丫 尸压 异 去绝对值化为无理函数求导数的 方法 例判断函数 二十 在 处是否有导数 解 了诬 互 , 厂 二 瓜异 护户 , 即厂 一 合 导函数 在时无意义 , 了二 在 处没有导数 评注本题若用零点分段法去 绝 对值化 为 分段函数 , 再用导数的定义解答 , 比较繁难 例 已知了 工一二 十 士 十 , , 若对 二任【 粤 , , 二 。 恒成立 , 求 。 的取值范 ” “、一一 尸、 一 一,一 “叮 一 、 一 围 三个解 , 即过点尸的切 线有三条此时 点尸在直 线的上方与曲线下方 , 且在直线 二一 弃右边 , 即点尸在区域 “ 一, ”、 卜 一例 ” , 。 , , , , 当 。一 沂且 。 十一 。 一 一 “ 、尹一“ 一 。 , 两函数图像有三个交点 , 说明方程 二 三个解 , 即过 点尸的切 线有三条此时 点尸在直线的上方与曲线尸上方 , 且在直线 一弃左边 , 即点尸在区域 一 一 ,、一 冲一叮 “ ” 当 。 一 弃且 。 十一、 。 , , ,、 、 又 一石万且十一。、一万二夕明 名名名名名 。一 矗 且 。 以一, 。 , 。 时 , 两个函数 图像只有一个交点 , 说明方程有一个解 , 即 过点尸的切线有一条此时点 尸 在直线 一 矗 右边” 直线下方以及直线二 一矗 的左 边与曲线 尸下方 , 即点尸在区域班 综上所述 , 定理成立 , 当时 , 同理可证定理成立 由该定理 即可判断过定点的三次函数图像 的切线条数利用 同样的方法 , 可判断过定点的 一般幂函数 二 ” 图像的切线条 数 两个函数 参考文献 图像只有一个交点 , 说 明方程 , 有一个解 , 即 过点尸的切 线有一条此时点尸在直线 一 票右边与曲线 上方以及直线 二一 弃的 目 ,四的 一 廿 仍 一 左边与直线上方 , 即点尸在区域 , 、 , ,、 。 当 。一 亡且 。十一。一 会 和 “ 一 朱火芬 三次函数 的单调性【 数