高三数学对数函数与指数函数的导数

3.5对数函数与指数函数的导数,一、复习与引入：,1.函数的导数的定义与几何意义.,2.常见函数的导数公式.,3.导数的四则运算法则.,4.复合函数的导数公式.,5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容.,有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函数的可导性.,二、新课指数、对函数的导数：,1.对数函数的导数:,下面给出公式的证明,中间用到重要极限,证:,证:利用对数的换底公式即得:,2.指数函数的导数:,由于以上两个公式的证明,需要用到反函数的求导法则,这已经超出了目前我们的学习范围,因此在这里我们不加以证明,直接拿来使用.,三、例题选讲：,例1:求下列函数的导数:(1)y=ln(2x2+3x+1)(2)y=lg(3)y=e2xcos3x(4)y=a5x,解:(1),(2)法1:,(2)法2:,(3),(4),例2:求下列函数的导数:,解:,解:设y=au,u=cosv,v=1/x,则:,例3:已知f(x)为可导函数,试求下列函数的导数:(1)y=f(lnx);(2)y=f();(3)y=f(ex).,解:(1),(2),(3),解此类题应注意:(1)分清是由哪些函数复合而成的.(2)用逐步的方法来进行求导.,练习:求下列函数的导数:,答案:,例4:设一质点的运动规律为为常数,试求t=1/2时质点运动的速度v0.,解:,故当t=1/2时,质点运动速度v0为:,例5:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程.,解:设该切线与曲线相切的切点为(x0,x0lnx0).,故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为lnx0+1.,由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为(1,0).,所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0.,答案:x+ey-2e=0,(1+e)x-ey-e2=0.,练习2:分别求曲线y=logxe;在点(e,1)处的切线方程.,延伸:设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.,答案:,例6:求下列函数的导数:(1)y=xx(x0);(2)y=f(x)g(x).,解:(1)两边取对数,得lny=xlnx.,由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式两边对x求导,可得:,(2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:,说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny,y=f(x),则,(2)本题用的求导方法习惯上称为对数求导法,即先两边取对数,再对x求导.一般适用于下列两类函数:,形如y=(x-a1)(x-a2)(x-an)的函数,取对数后,可将积转化为和的形式,或,取对数后,可转化为代数和的形式.,无理函数或形如y=f(x)g(x)这类幂指函数.,(3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求导变为可能(无求导公式变为有求导公式).,又如下面一题我们就有两种不同的解法:,练习:用两种不同的解法求函数的导数.,方法一:由于y0,故两边取对数,得,方法二:,四、小结：,对数函数、指数函数的导数是常用的导数公式中较难的两类函数的导数,要熟记公式,会用公式,用活公式.,(2)解决指、对数函数的导数问题,应充分重视指数、对数的运算性质的准确使用