高中数学新课标人教a版必修四平面向量课件

平 面 向 量 复 习,学校：教师：,平 面 向 量 复 习,表示,运算,实数与向量的积,向量加法与减法,向量的数量积,平行四边形法则,向量平行的充要条件,平面向量的基本定理,三 角 形 法 则,向量的三种表示,向量定义：,既有大小又有方向的量叫向量。,重要概念：,（1）零向量：,长度为0的向量，记作0.,（2）单位向量：,长度为1个单位长度的向量.,（3）平行向量：,也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.,（4）相等向量：,长度相等且方向相同的向量.,（5）相反向量：,长度相等且方向相反的向量.,几何表示,: 有向线段,向量的表示,字母表示,坐标表示,: (x，y),若 A(x1,y1), B(x2,y2),则 AB =,(x2 x1 , y2 y1),平 面 向 量 复 习,向量的模（长度）,1. 设 a = ( x , y ),则,2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则,已知向量a=（5，m）的长度是13，求m.,答案： m = 12,三、向量的运算,（一）向量的加法,三角形法则：,A,B,D,平行四边形法则：,2、坐标运算：,1、作图,（二）向量的减法,2、坐标运算：,1、作图,平行四边形法则：,O,A,B,3.加法减法运算律,a+b=b+a,（a+b)+c=a+(b+c),1）交换律：,2）结合律：,例1 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM （2） AB + DA + BD BCCA,分析,利用加法减法运算法则，借助结论,AB=AP+PB；AB=OBOA；AB+BC+CA=0,进行变形.,解：,原式=,AB +（BO + OM + MB）,= AB + 0,= AB,（1）,（2）,原式=,AB + BD + DA （BC + CA）,= 0BA = AB,练习2 如图，正六边形ABCDEF中，AB=a、BC=b、 AF=c，用a、b、c表示向量AD、BE、BF、FC.,A,F,E,D,C,B,答案：,AD=2 b,BE=2 c,BF= ca,FC=2 a,思考： a、b、c 有何关系？,b =a + c,平 面 向 量 小 复 习,练习3 已知点A（2，1）、B（1，3）、C（2，5）求 （1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标； （3） ABAC的坐标.,答案： （1） AB=（3，4）， AC =（4， 4 ）,（2）AB+AC=（ 7，0 ）,（3） ABAC= （1，8）,实数与向量 a 的积,定义：,坐标运算：,其实质就是向量的伸长或缩短！,a是一个,向量.,它的长度 |a| =,| |a|；,它的方向,(1) 当0时,a 的方向,与a方向相同；,(2) 当0时,a 的方向,与a方向相反.,若a = (x , y), 则a =, (x , y),= ( x , y),(3)=0呢?,非零向量平行（共线）的充要条件,ab,a=b （R且b0）,向量表示：,坐标表示：,设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，则,ab,x1y2x2y1=0,平 面 向 量 复 习,平面向量的基本定理,设 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任何一个向量 a ，有且只有一对实数1、2 使,a =1 e1 +2 e2,不共线的向量 e1和 e2 叫做表示这一平面 内所有向量 的一组基底,1 e1 +1 e2 =2 e1 +2 e2,1= 2, 1=2,向量相等的充要条件,例2 已知 a=(1, 2), b=(3, 2), 当k为何值时, ka+b与a3b平行? 平行时它们是同向还是反向?,分析,先求出向量ka+b 和a3b的坐标，再根据向量平行充要条件的坐标表示, 得到关于k方程, 解出k, 最后它们的判断方向.,解: ka+b=k(1, 2)+(3, 2)=,思考: 此题还有没有其它解法?,(k3,2k+2),a3b=(1, 2)3(3, 2)=,(10, 4),(ka+b)(a3b),4(k3)10(2k+2)=0,K=, ka+b=,=,(a3b),它们反向,练习4 n为何值时, 向量a=（n，1）与b=(4,n)共线且方向相同?,答案： n= 2,思考: 何时 n=2 ?,平 面 向 量 复 习,例3,设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，求证：A、B、D 三点共线。,要证A、B、D三点共线，可证,AB=BD关键是找到,解：,BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b,AB=2 BD,且AB与BD有公共点B, A、B、D 三点共线,AB BD,平 面 向 量 小 复 习,练习5已知a=（1，0），b=（1，1），c =（10）求和，使 c =a +b.,答案： =1， = 0,1、平面向量数量积的定义：,2、数量积的几何意义：,O,A,B,B1,(四) 数量积,4、运算律:,3、数量积的坐标运算,四、向量垂直的判定,五、向量平行的判定(共线向量的判定),向量表示,坐标表示,向量表示,坐标表示,六、向量的长度,七、向量的夹角,向量数量积的运算律,特别注意：（1）结合律不成立： ；（2）消去律不成立 不能得到（3） =0不能得到 = 或 =(4)但是乘法公式成立： ；,练习,解：,同理可得,=120,5.在ABC中,求C；,又,cosC=,（1）解 ,且c为ABC-内角 C=,典例讲解,例4已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线。求证 ：ACBD分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对 于这一条件的应用，可以考虑向量式 的形式，也可以考虑坐标 形式的充要条件。证法一： ， ， （ ）（ ） =0 ,证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标 系，设B(0，0)， A(a，b)，C（c，0） 则由ABBC得a2+b2=c2 （c，0）（a，b)（ca，b），（a，b）（c，0）（ca，b） c2 - a2 - b2 0 ，即 ACBD评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解 题 带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握.,例5 若非零向量a和b满足abab,证明：ab分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多， 可以考虑两 向量垂直 的充要条件的应用，也可考虑面图形的几何性 质，下面给出此题的三 种证法:证法一： (根据平面图形的几何性质)设 a， b，由已知可得a与b不平行，由abab得以 为邻边的平行四边形OACB的对角 线 和 相等平行四边形OACB是矩形， ，ab,证法二：abab (a+b)2=(a-b)2 a2+b2+2ab= a 2+b 2-2ab ab0，即ab证法三：设a（，），b（，），ab ，ab ， ， 化简得：0，ab0，ab,例6 、已知向量a是以点A(3，1)为起点，且与向量b（3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标。分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程解：设a的终点坐标为（，）则a（3，1）由题意由得：（313）代入得,25m21502090 解得 a的终点坐标是（评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆。上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来。,用两根等长的细绳挂一个物体。绳子的最大拉力为T,物体重量为G,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角的关系？,问题:,建立数学模型:,（1） 逐渐增大时， |F1|如何变化？,（2） 为何值时， |F1|最小，最小值是多少？,（3） |F1|能等于|G|吗？为什么？,（4）如果绳子的最大承受力恰与重物G的重量相等 ，在什么范围内，绳子才不会断？,探求|F1|与夹角之间的关系,解：不妨设 = ，由向量的 平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道： = 通过上面的式子，有：当由0到180逐渐变大时， 由0到90逐渐变大， 的值由大逐渐变小，因此 ： 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！,2,F2,=,2,答：在式中，当 =0时， 最大， 最小且等于,2,F2,小结： （1）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！,（2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！,（3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。,情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?,夹角越小越省力,两臂的夹角越小,手臂就越省力,情景2:一个人在单杠上做引体向上时, 手臂怎样握杠才省力?,问题延伸：,解:1）如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形 法则知：G = F1 + F2,F1，F2皆逐渐增大；,2）令F1,G,2G，,得,分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的方向时，小船的航程最小。,（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。,把物理问题转化为数学模型为：,10N,如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边P处，从这里起，在下游 =80m处河流有一处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小船能安全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？,从图上看，哪个速度（向量的模）最小？,提问:表示划船速度的向量怎样画?,问题的提炼：,、物理问题（实际问题）,数学问题（数学模型）,通过受力分析，根据力的平衡，运用向