高中数学241平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义,学习目标：1、能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度；2、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。,+,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,力F所做的功W可用下式计算W=|F|S|cos其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。,平面向量的数量积：,已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定,其中是与的夹角，叫做向量在方向上（在方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即。,投影的概念:,投影也是一个数量，不是向量.,O,B,A,B1,投影的概念:,A,B,O,B1,当为锐角时投影为正值;,投影的概念:,A,B,O,B1,A,B,O,B1,当为锐角时投影为正值;,当为钝角时投影为负值;,投影的概念:,A,B,O,B1,当为直角时投影为0;,A,B,O,B1,A,B,O,(B1),当为锐角时投影为正值;,当为钝角时投影为负值;,数量积的几何意义：,数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。,思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负呢？,注意：,由向量数量积的定义，试完成下面问题：,注：常记为。,0,证明向量垂直的依据,（4）平面向量数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。,（5）向量数量积的性质。,ea=ae=|a|cos.,abab=0.,当a与b同向时,ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|.特别地，aa=|a|2或|a|=。,|ab|a|b|,典型例题分析,进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。,四.课堂练习,判断下列各题是否正确,(1)若a=0,则对任意向量b,有ab=0(2)若a0,则对任意非零向量b,有ab0(3)若a0,且ab=0,则b=0(4)若ab=0,则a=0或b=0(5)对任意向量a有a2=a2(6)若a0且ab=ac,则b=c(7)a与是两个单位向量，则a.,(),(),(),(),(),(),(),数量积的运算规律：,思考：等式是否成立？,数量积的运算规律：,不成立,例2：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba2b2.,例3.已知，的夹角60，求。,例4.已知，且与不共线，k为何值时，向量与互相垂直。,-72，,小结,向量数量积计算时,一要算准向量的模,二要找准两个向量的夹角。,1、两向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号确定；,2、两个向量的数量积称为内积，写成ab;与代数中的数ab不同，书写时要严格区分；,3、在实数中，若a0，且ab=0,则b=0；但在数量积中，若a0，且ab=0,不能推出b=0。因为其中cos有可能为0,4、已知实数a、b、c（b0)，则有ab=bc得a=c.但是有ab=bc不能得a=c,5、abab=0.,6、当a与b同向时,ab=|a|b|；当a与b反