高中数学选修2-2_变化率与导数

研究某个变量相对于另一个变量变化在一个范围内的快慢程度,第一课时函数的平均变化率,问题1气球膨胀率,思考:这一过程中，哪些量在改变？,我们都吹过气球.,从吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.,从数学角度,如何描述这种现象呢?,体会实际问题数学化,气球体积:,当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小,思考当空气容量从增加到时，气球的平均膨胀率是多少？,气球平均膨胀率=,问题2高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.,如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?,平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度。,请计算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,探究:,(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.,将两个具体问题抽象到一般函数的平均变化率。,当自变量从变化到时，函数值就从变化到，则,平均变化率定义:,x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,若设,则平均变化率为,称为函数从x1到x2的平均变化率.,对于函数,x2-x1=x,它的几何意义是什么呢？,若设,则平均变化率为,观察函数图象,A,B,x1,x2,f(x1),f(x2),f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率,1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A、3B、3x-(x)2C、3-(x)2D、3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度.2x0+x,练习,4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.,A,1.1.2导数,瞬时速度,高台跳水,高台跳水,一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是我们你它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作或,导数的概念,例1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和,例2:高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态;在呢?,同理，,运动员在时的瞬时速度为，,上升,下落,这说明运动员在附近，正以大约的速率。,例3、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同,产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第,时，原油的温度（单位：）为,计算第2h和第6h，原油温度的瞬时变化率，,并说明它们的意义.,例3.在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在的函数关系s=10t+5t2，求（1）t=20，t=0.1时的s与s/t；（2）求t=20的速度.,作直线运动的物体，位移s与时间t的函数关系s=3t-t2，(1).求物体的初速度；(2).求物体在t=2时的瞬时速度；(3).求t=0到t=2时的平均速度