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文档简介
高等数学电子教案中国石油大学(华东)理学院基础数学系金贵荣,前言,高等数学的基本内容和方法,几点要求,第一章函数与极限1.1函数的概念及其初等性质1.2数列极限1.3函数极限1.4无穷小与无穷大1.5函数连续性1.6闭区间上连续函数的性质,1.1函数的概念及其初等性质,1.1.1预备知识,1.一些常用的符号,2.实数集,有理数集的稠密性:,任意两个不同的有理数之间都有无穷多个有理数,(无理数集、实数集),(无理数、实数),(无理数、实数)。,实数集的连续性:,实数集与数轴上点的集合之间建立一一对应关系。,或完备的。,3.常用不等式:,绝对值:,三角不等式,(平均值不等式),(调和平均值),(几何平均值),(算术平均值),(证明略),更一般地,,4.邻域:,1.1.2函数的概念,一.函数的定义,定义,函数传统的习惯符号:,注意:,一个函数也可以在其定义域的不同部分分别用不同的解析式子表示,则称之为分段定义的函数,简称分段函数.,有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则,并用约定的符号予以表示:,称为取整函数,例如:5.3=-4.9=,(求极限时有用),阶梯曲线,称为非负小数部分函数,例3符号函数,三.函数的初等性质,1函数的有界性,定理,证,2函数的单调性,(),(减),3函数的奇偶性,证,偶函数,奇函数,4函数的周期性,定义,1.1.3复合函数和反函数,1.复合函数,定义,注意:,2.反函数,定义,注意:,求反函数的方法:,解,定理,证明略,注意:,1.1.4初等函数,基本初等函数(6类):常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.,1.常值函数,2.幂函数,3.指数函数,4.对数函数,5.三角函数,6.反三角函数,都是初等函数,解,解,1.2数列极限,一.数列极限的定义,数列是整标函数:,注意:,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,问题:,意味着什么?如何用数学语言定量地刻划它.,定义1,定义2,注意:,用定义”验证数列极限,关键是如何由任意给定的寻找N?,例1,证,例2,证,注:,例3,证,证,综合之,故,二.收敛数列的性质和运算,定理1(唯一性),证,由定义,证毕,定理2(有界性),证,由定义,证毕,子数列的概念,定义,左向右任意选取无穷多项,并按它们在原数,列中的次序排成一个新的数列,表为:,简称子列.,定理3,证,证毕,推论1,推论2,证,证毕,定理4(四则运算),注意:,四则运算只对有限个收敛数列而言,否则不能用.,无穷多个收敛数列,这是错误的.,例5求下列极限,解,三.数列收敛的判别,定理5(迫敛性或两边夹定理),证,证毕,例6,解,由两边夹定理,,练习册习题7,例7,解,由两边夹定理,,单调数列,定理6(单调有界原理),(证明略),上界,下界,例8,证,例9,证,计算可得:,1.3函数的极限,一.函数在有限点处的极限,一般地有,定义1,几何解释:,单侧极限:,例如,左极限,右极限,定理,左右极限存在但不相等,例1,证,例2,解,左右极限存在且相等,用定义”验证函数极限:,关键是如何由寻找?,证,证,证,问题:,如何用数学语言刻划两个“无限趋近”.,二.函数在无穷远处的极限,定义2,定理,1,几何解释:,用定义”验证函数极限:,关键是如何由寻找?,具体方法:,证,证,证,三.函数极限的性质和运算,性质1(唯一性),性质2(局部有界性),证,证毕,性质3(局部保号性),证,证毕,性质4(四则运算),(证明略),注:四则运算对有限个存在极限的函数而言.,性质5(极限不等式),证,注意:,性质6(迫敛性或两边夹定理),性质7(海涅(Heine,1821-1881,德)定理),(证明略),注:海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系.,(证明略),推论:(判断不存在的方法),证,性质8(极限的变量代换),(证明略),四.两个重要极限,(1),证,(,证毕,(2),证,证毕,1.4无穷小与无穷大,定义1,一.无穷小及其性质,定理1(一般极限与无穷小的关系),定理2,解,解,二.无穷小阶的比较,极限不同,反映了趋向于0的“快慢”程度不同.,观察各极限,定义2,定理3,证,证毕,定理4,(乘积因子等价无穷小代换定理),证,证毕,注意:,只能对函数的乘积因子作等价无穷小代,换.对于代数和中各无穷小不能作等价,无穷小代换.,否则,因丢失高阶无穷小,,而导致错误的结果.,错误结果!,导致错误的结果.,三.无穷大及其性质,定义3,性质(无穷大与无穷小的关系),注意:,(证明略),定义4,1.5连续函数,一.函数的连续,定义1,(增量式定义),例1,证,定义2,定理,例2讨论下列函数在指定点的连续性:,右不连续,左连续,解,(函数在区间的连续性),连续函数的图形是一条连续不断的曲线.,定义3,例3,证,例4,证,二.间断点及其分类,第一类间断点,特点:,第二类间断点,例5,解,解,解,解,解,三.连续函数的运算,(四则运算),定理1,(证明从略),在其定义域区间上都连续.,在其定义域区间上都连续.,(反函数的连续性),定理2,(证明略),在其定义域区间上都连续.,在其定义域区间上都连续.,(复合函数的连续性),定理3,极限符号可以进入到连续函数的函数符号,内,它对求复合函数的极限是很有用的.,(证明略),一般结论:,四.初等函数的连续性,注意:,1.初等函数仅在其定义域区间上连续,例如:,函数在这些孤立点的空心邻域内没有定义,,因此在这些孤立点无法讨论其连续性.,在其定义域内不一定连续.,又如:,函数在0点的空心邻域内没有定义,因此在,0点无法讨论其连续性;,例6,例7,解,(i),(ii),1.6闭区间上连续函数的性质,性质1(有界性),注意:若区间是开区间,或闭区间内有间断点,则结论不一定成立.,
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