阿基米德三角形的几个结论_熊昌进

专 题 写 作 阿基米德三角形的几个结论 熊昌进 (四川越西县越西中学 616650) 孔繁秋 (厦门禾山中学 361009) 李迪淼 (湖南师大附中 410006) 编者按: 关于抛物线的阿基米德三角形的有关性质,本刊于 97年第 5期 , 98年第 6期 , 99年第 1期先后发表 了四篇论文,在此基础上又有几位作者进一步作了深入探讨 ,如四川省越西县越西中学熊昌进 ,厦门市禾山中学孔 繁秋等 ,而湖南师大附中的李迪淼又把这一问题推广至非退化的二次曲线的阿基米德三角形 ,作者运用统一的直角 坐标方程得出类似的若干性质,其推证方法大同小异 ,其中所运用的一个基本命题是: 过二次曲线 ( C): Ax2+ Cy2 + Dx+ Ey+ F= 0外一点 T(x0, y0)引曲线( C)两切线 ,其切点弦方程为: Ax0 x+ Cy0y+ D 2 (x+ x0)+ E 2 (y+ y0) + F= 0.若切点弦过曲线内一定点 Q(m,n),则易得出阿基米德三角形顶点 T 的轨迹为一直线 (l): Ax0m+ By0n+ D 2 (m+ x0)+ E 2 (n+ y0)+ C= 0,其次这类问题应用范围有限 ,因此我们仅将诸位作者所提出的一些新的结论 归纳综合整理如下 ,供读者参考研究. 一、关于抛物线的阿基米德三角形的若干性质 补充: 1. 若T(x0,y0)是抛物线y2= 2px(p 0)外一 点 .则以 T 为顶点的抛物线阿基米德三角形的面积 S= 1 p (y20- 2px0) 3 (= 1 p f (x0, y0) 3 2), 其中 f (x0, y0)= y20- 2px0. 2.若 T 为抛物线 y2= 2px (p 0)外一点 ,以 T 为顶点的抛物线的阿基米德三角形的面积为定值 S,则顶点T的轨迹为一抛物线: y2= 2px+ 3 S2p2. 3. 若点 M(m, n)是抛物线 y2= 2px ( p 0) 内 一定点 ,则以过点 M的抛物线的弦为底边的阿基米 德三角形的面积最小值为 1 p ( 2pm- n2)3. (= 1 p - f (m, n) 3 2) 其中 f (m,n)= n2- 2pm 0)没有公共点 ,以l上任一点T为顶点 的抛物线的阿基米德三角形的底边必过定点 M ( c a , - pb a ) ,且当 TM x 轴时 ,此类三角形面积取 最小值 1 a3 p(2ac- pb2) 3. 二、关于二次曲线的阿基米德三角形的性质 . 若二次曲线 ( C): ( 1- l2)x2+y2- 2px+ p2= 0 ( p 0) , M(m,n)为不在曲线 ( C)上且不与其中心重 合之定点.过 M任作曲线 (C)的弦 AB,则曲线 (C)过 A, B两点的切线交于 T (x0, y0),则 TAB 为曲线 (C)相应于定点M的阿基米德三角形 ,其中T为其 顶点 , AB为其底边 . 1.以过点 M的弦 AB 为底边的所有曲线 ( C)的 阿基米德三角形顶点轨迹为一直线 ,其方程为: ( 1- l2)m- p x+ ny+ p2- pm= 0. 推论 1 : 若定点 M为 M(xm, 0) ,则顶点 T 的轨 迹为与x轴垂直之直线或两射线x= p2- pm p- m(1- l2) . 推论 2 : 若定点为焦点M(p, 0),则顶点T的轨 迹为与 M相应之准线 x= 0. 推论 3 : 与定点 M相应的曲线 (C)的阿基米德三 角形顶点T的轨迹与以点M为中点的弦平行. 若以M为中点之弦为AB,且设A(x1,y1),B ( x2, y2) ,则将 ( 1- l2)x21+ y21- 2px1+ p2= 0与 ( 1- l2)x22+ y22- 2px2+ p2= 0两式相减 ,即可得出 AB的 斜率与 T 点轨迹 (直线 )之斜率 (特殊时 ,两倾角为 90 )相同 . 2.若直线l:Ax+By+C= 0与曲线C: ( 1-l2)x2 + y2- 2px+ p2= 0无公共点,则以 l上任一点 T 为顶 点的曲线 C的阿基米德三角形之底边必过定点. 其他与此