阿氏圆(2018中考数学压轴热点)

阿氏圆模型专题训练阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：已知平面上两定点A、B，则所有满足PA/PB=k(k不等于1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造斜A型相似(也叫母子型相似或美人鱼相似)+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。观察下面的图形，当P在在圆上运动时，PA、PB的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。如图，在ABC的边AC上找一点D，使得AD/AB=AB/AC，则此时ABDACB。那么如何应用阿氏圆的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:已知ACB=90，CB=4,CA=6，C半径为2，P为圆上一动点.(1) 求的最小值为 (2) 求的最小值为 实战练习：1、已知O半径为1，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点，试求的最小值2、已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的O上运动，试求的最小值3、已知点A(-3,0)，B（0,3），C（1,0），若点P为C上一动点，且C与y轴相切，（1）的最小值;（2）的最小值.4、如图1，在平面直角坐标系xoy中，半O交x轴与点A、B(2,0)两点，AD、BC均为半O的切线，AD=2，BC=7.(1)求OD的长；（2）如图2，若点P是半O上的动点，Q为OD的中点.连接PO、PQ.求证：OPQODP;是否存在点P，使有最小值，若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.5、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值.(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么的最小值为 ；的最大值为 （3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，B=60，圆B的半径为2.点P是圆B上的一个动点.那么的最小值为 ；的最大值为 巩固练习：1、如图，在RtABC中，ACB90，CB4，CA6，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP， 最小值为（ ）A、 B、 C、 D、2、如图，在ABC中，B90，ABCB2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 3、如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60，A与BC相切于点E，在A上任取一点P，则的最小值为 yx4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是AOB外部的第一象限内一动点，且BPA135，则2PDPC的最小值是 5、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，B90，圆B的半径为,2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值 图1 图2 图3套路总结阿氏圆基本解法：构造相似阿氏圆一般解题步骤： 第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD； 第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度； 第三步：计算这两条线段长度的比； 第四步：在OD上取点M，使得； 第五步：连接CM，与圆O交点即为点P1如图，在RtABC中，ACB=90，CB=4，CA=6，C半径为2，P为圆上一动