雅克比矩阵(Jacobi)

雅可比矩阵(雅可比方法)雅可比方法Jacobi方法是一种求对称矩阵的所有特征值和相应特征向量的方法。它基于以下两个结论1)任何实对称矩阵A都可以通过正交相似变换成对角型，即有一个正交矩阵Q，因此AQ=图(1，2，n ) (3.1)其中 I (I=1，2，n)是a的特征值，q中的每一列都是相应的特征向量。2)在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。也就是说，如果设置了a=(aij) nn和q-交矩阵，并且记录了B=QTAQ=(bij)nn，则雅可比方法的基本思想是将A中的一对非零非对角元素转化为零，并通过正交变换减少非对角元素的平方和。重复上述过程，使变换矩阵的非对角元素的平方和接近零，从而使矩阵近似为对角矩阵，并获得所有特征值和特征向量。1矩阵的旋转变换设A为n阶实对称矩阵，并考虑该矩阵记住，很容易看出Vij()是一个正交矩阵请注意，B=Vij A的I，j行元素和的I，j列元素是可获得性如果aij0，取对A(1)重复上述过程以获得A(2)，从而继续获得矩阵序列A(k)。可以证明，尽管这种变换不一定导致矩阵中非对角元素的零元素数量单调增加，但它可以确保非对角元素的平方和减少。我们将以A和A(1)为例进行讨论。由公式(3.4)设定可获得性这表明在上述旋转变换下，非对角元素的平方和严格单调减小，因此从(3.2)可以看出对角元素的平方和单调增加。雅可比方法雅可比方法是通过一系列旋转变换将A变换成A(k 1)来获得A的所有特征值和特征向量。计算过程如下1)使k=0，A(k)=A2)求整数I，j，这样3)计算旋转矩阵4)计算A(k 1)5)计算6)如果E(A(k 1)，则是特征值，QT=(V(0) V(1) V(k 1)T的每一列都是相应的功能向量；否则，k 1=k返回到2并重复上述过程。例5使用雅可比公式寻找矩阵的方法的特征值和特征向量。一般来说，雅可比方法不能在有限步内将A转换成对角矩阵，但它有以下定理。定理3将A设置为一个N阶对称矩阵，用雅可比方法得到A的序列A(k)，其中A(0)=A，然后证明了雅可比法的计算过程确实有(3.5)另一方面，可以得到一个计算A的公式所以，这里，代入方程(3.5)因为如此.http:/sxyd . sdut . /Zhan Shi/shuzhifenyi/shuzhifenyi/4.3/szfx 043 . htm雅可比矩阵具有m个n元函数的矩阵UI=UI (x1，x2，xn) (I=1，2，m)偏导数(j=1，2，n)作为元素如果原始函数组被认为是从点x=(x1，x2，xn)到点u=(u1，U2，嗯)，那么在偏导数是连续的前提下，u随x的变化是由相应的微分方程组决定的描述一下。这是一个关于微分的线性方程组，它的系数矩阵是雅可比矩阵(j)，所以它可以写成矩阵形式。这意味着(j)具有微分系数的一些性质，类似于一元函数的导数。在m=n=1的情况下，它恰好是一元函数的导数。因此，它也是单变量函数的导数到m个n变量函数的推广。因此，(j)作为微分系数或导数的推广，有时被认为是变换t的“导数”,并表示为T(x)=(J).变换T的进一步定量描述需要雅可比行列式。定义给定任何n维向量X，其范数X是满足以下三个条件的实数：(1)对于任何向量x，或x0，且x =0x=0；(2)对于任何实数和任何向量x，或x =| x ;(3)对于任何矢量x和y，或x yxy；为此，它被称为雅可比矩阵定义。雅可比矩阵的证明这种情况的一般证明有点复杂。现在我将向你展示为什么二维dx(u，v)dy(u，v)=Judv成立。证明了对于曲面x=x(u，v)，y=y(u，v)，取其无穷小，即小边四边形ABCD，其中A (u，v)，b (u u，v)，c (u u，v v)，d (u，v v)，那么这个曲线四边形ABCD可以近似地看作是由小矢量B(u u，v)-A(u，v)和D(u，v v)-A(u，v)所跨越的。根据中值定理：(u u，v)-(u，v)=Mdu(u，v v)-(u，v)=Ndv这里m和n是偏导数的形式。它们不容易打字。你可以自己计算。这很简单。当变化很小时，我们把(u u，v)-(u，v)看作dx(u，v)，(u，v v)-(u，v)看作dy(u，v)，所以，dx(u，v)dy(u，v)=M*NdudvM*N只是二维雅可比行列式的扩展形式。这个问题被证明了。雅可比矩阵在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数按一定方式排列的矩阵，它的行列式是雅可比行列式。此外，在代数几何中，代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随曲线的簇，曲线可以嵌入其中。它们都是以数学家雅各布的名字命名的；雅各伯语在英语中可以发音为雅各布或科比。雅可比矩阵的重要性在于它体现了微分方程和给定点的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。雅可比矩阵定义：雅可比矩阵定义为向量对向量的微分矩阵。定义公式如下：见附图。例子：雅可比矩阵在MATLAB中是一个用来计算雅可比矩阵的函数。syms r l fx=r * cos(l)* cos(f)；y=r * cos(l)* sin(f)；z=r * sin(l)；j=雅可比(十；y；(罗尔夫)结果：J= cos(l)*cos(f)，-r*sin(l)*cos(f)，-r*cos(l)* sin(f)cos(l)* sin(f)，-r*sin(l)*sin(f)，r * cos(l)* c OS(f)sin(l)，r * cos(l)，0 Hessian矩阵是多元实函数的二阶导数。设f=f(x1，x2.xn)二阶导数(d 2f/d (xi) d (xj)形成矩阵，该矩阵通常用于优化分析。雅可比矩阵是多元向量函数的一阶导数，例如f=(f1 (x1，x2.xn)，调频(x1，x2.对应的矩阵元素是d(fi)/d(xj)。它常用于稳定点附近的稳定性分析。本质上，上述两者是相关的雅可比，它可以被视为多元实函数的梯度导数(一阶导数)。在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数按一定方式排列的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。此外，在代数几何中，代数曲线的雅可比量代表雅可比族：伴随曲线的代数群，曲线可以嵌入其中。它们都是以数学家卡尔雅各布的名字命名的。在英语中，雅可比语可以读作雅各布或科比。雅可比矩阵雅可比矩阵的重要性在于它体现了微分方程和给定点的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。假设F:RnRm是一个从欧洲n维空间转换到欧洲m维空间的函数。该函数由m个实函数：y1 (x1，xn)，ym (x1，xn)。这些函数的偏导数(如果有的话)可以形成m行n列的矩阵，称为雅可比矩阵：该矩阵表示为：，或该矩阵的第一行由转置yi表示(i=1，m)的梯度函数如果p是Rn中的一个点，f在p处是可微的，那么这个点的导数由JF(p)给出(这是找到这个点的导数的最简单的方法)。在这种情况下，由F(p)描述的线性算子是最佳线性近似，x近似和p接近点p例子球坐标系到直角坐标系的转换由f函数3336r 0， 0，2 R3给出这个坐标变换的雅可比矩阵是R4的职能：雅可比矩阵是：这个例子表明雅可比矩阵不一定是方阵。在电力系统中考虑一个x=F(x)，F : Rn Rn的电力系统。如果F(x0)=0，则x0是一个静止点。当接近驻点时，系统的性能通常可以由JF特征值(x0)决定。雅可比如果m=n，那么f是从n维空间到n维空间的函数，它的雅可比矩阵是一个方阵。所以我们可以取它的行列式，叫做雅可比行列式。给定点上的雅可比行列式提供了接近该点时F的性能的重要信息。例如，如果连续可微函数F在P点的雅可比行列式不为零，那么它在该点附近有一个反函数。这叫做反函数定理。此外，如果点P的雅可比行列式为正，那么点P处F的方向将不会改变。如果它是负的，那么F有相反的方向。从雅可比行列式的绝对值可以知道函数F在P点的比例因子。这就是为什么它出现在改变元素的积分方法中。例子有一个功能F : R3 R3，包括以下部件：那么它的雅可比行列式是：由此，我们可以看出，当x1和x2有相同的数时，f的方向是相反的；除了x1=0和x2=0之外，该函数在任何地方都有反函数。看见海森堡矩阵雅可比阵列和黑森阵列被广泛使用。它不仅常用于优化问题，也常用于各种多元问题。例如，在求解非线性方程时，经常使用这两种方法。关于它们的定义和用法，请参阅李庆阳等人的非线性方程组的数值解法。请参阅第一卷的矩阵分析由R.A .霍恩雅可比矩阵雅可比矩阵定义：雅可比矩阵定义为向量对向量的微分矩阵，定义如下：见附件jpg图片。雅可比矩阵是指有限元法中全局坐标对局部坐标的偏导数。当用节点位移求解节点应变时，会遇到形状函数对全局坐标的偏导数问题，即求解B矩阵。由于形状函数到全局坐标的偏导数很难找到，我们可以先找到形状函数到局部坐标的偏导数，然后用雅可比矩阵把它转换成形状函数到全局坐标的偏导数。雅可比矩阵的本质与泛函中变量对自变量的导数相同。它只是一个矩阵，一个数值。在空间问题的8节点线性单元中，雅可比矩阵是3*3矩阵。在计算过程中，我们经常使用雅可比行列式的值来判断细胞是否异常。一般来说，如果雅可比行列式是正的，那么单元形状更好，而单元形状不好。雅可比方法是求解线性方程组的一种迭代方法。当现有方程的阶数较高时，直接法在求解方程时可能存在较大误差，因此应采用迭代法。然而，雅可比迭代不是一个非常有效的迭代方法，高斯-塞德尔迭代方法比它更有效。雅可比矩阵必须是n*n矩阵，因为局部坐标和全局坐标之间的变量数目总是相同的。在一般的应用过程中，局部坐标和全局坐标是线性独立的，并且数量相等，因此雅可比矩阵是方阵，并且行列式不总是零。然而，从纯数学的观点来看，如果广义坐标之间的线性相关是允许的，雅可比矩阵可能不是方阵，甚至方阵，行列式可能是常数零。对雅可比矩阵的讨论不能局限于有限元。应用数学定义如下：m函数yi=fi (x1，x2，xn) (I=1，2，m)，a=d (y1，ym)/d (x1，xn)被称为上式的雅可比矩阵。m和n可以不同。事实上，局部坐标和全局坐标的变量的数量可以不同，例如，三角形元素的面积坐标和四面体元素的体积坐标，因为面积坐标和体积坐标不是完全独立的，并且它们的分量之和是1。在有限元法中，通过变量代换将雅可比矩阵转化为方阵，以求得逆矩阵。它仅用于有限元法。然而，雅可比矩阵的行列式|J|何时是常数？我很困惑。书中说二维情况下矩形和平行四边形元素的|J|是常数，而三维情况下立方体或平行六面体元素的|J|不是常数。你从理论上如何理解它？最好不是数学推导的结果。回到楼上哥哥：雅可比矩阵的行列式|J|是常数，也就是说，它的每个元素都是常数。以二维等参元的自然坐标和平面坐标为例，j (1，1)=Ni(，)Xi，只要插值函数Ni是的函数，J(1，1)在任一点(，)都是常数。因此，只要插值函数在一维上是线性的，雅可比矩阵的行列式就是常数。ljz0702