非周期信号的频谱VIP

3.3 3.3 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 3.3非周期信号的频谱非周期信号的频谱 3.3.1 傅立叶变换傅立叶变换 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 门函数门函数 冲激函数冲激函数 直流信号直流信号 指数信号指数信号 阶跃函数阶跃函数 符号函数符号函数 冲激偶函数冲激偶函数 3.3.1 傅立叶变换傅立叶变换 周期信号有：周期信号有： 2 2 1 )( 1 T T tjn n dtetf T F n tjn ne Ftf 1 )( 2 2 1 )( T T tjn n dtetfTF 当当 时：时： T 谱线无限密集，谱线无限密集， 幅度幅度 Fn 趋于无穷小，趋于无穷小， 周期信号趋于非周期信号。周期信号趋于非周期信号。 d 1 1 n TFjF n T lim)(令： dtetf tj )( 3.3.1 傅立叶变换傅立叶变换 又因为：又因为： 1 2 limlim)( n T n T FTFjF d Fn2 1 1 1 lim tjn n n T e F 相当于单位频率占有的幅度，具有密度的意义， 所以将其称为频谱密度函数，简称频谱函数，为连续谱。 dejF tj )( 2 1 n tjn ne Ftf 1 )( d jF F n 2 )( d 1 1 n 3.3.1 傅立叶变换傅立叶变换 傅立叶变换对傅立叶变换对 正变换正变换 逆变换逆变换 dejFtf tj )( 2 1 )( dtetfjF tj )()( 一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对 可积， 即要求 dttf)( 记为： )()(jFtf 或： 3.3.1 傅立叶变换傅立叶变换 傅立叶变换的存在傅立叶变换的存在 )(jF存在的充分条件：存在的充分条件： dttfdttf)(|)(| dtetfdtetfjF tjtj |)(|)(| )(| 1| tj e 由由 知知 而而 dttfF| )(| )(| 3.3.1 傅立叶变换傅立叶变换 频谱频谱 频谱函数F(j)一般是复函数，可记为 )( )()( j ejFjF 幅度频谱幅度频谱 )(jF )(j e 相位频谱，它们都是相位频谱，它们都是的连续函数的连续函数 f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出： dtetfjF tj )()( tdttfjdtttfsin)(cos)( )()(jba 3.3.1 傅立叶变换傅立叶变换 其中：其中： 两种表达形式： tdttfacos)()( )()()()( )( jbaejFjF j tdttfbsin)()( 是是的偶函数的偶函数 是是的奇函数的奇函数 )()(| )(| 22 bajF )( )( )( a b arctg 是是的偶函数的偶函数 是是的奇函数的奇函数 )()( )()( jFjF )()( )()( bb jaja 3.3.1 傅立叶变换傅立叶变换 关于连续谱的说明关于连续谱的说明 具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。 具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中，具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中， 每一频率分量包含的能量则为无穷小量。每一频率分量包含的能量则为无穷小量。 3.3.1 傅立叶变换傅立叶变换 几个重要结论：几个重要结论： 当当 f (t) 是实函数时：是实函数时： (1) 若若 f(t)为为t的偶函数的偶函数，即即 f(t) = f(-t)， (2) 若若f(t)为为t的奇函数的奇函数，即即 f(-t) = -f(t)， 则则 f(t)的频谱函数的频谱函数 F(j) 为为的实函数的实函数， 且为且为的偶函数的偶函数。 则则f(t)的频谱函数的频谱函数 F(j) 为为的虚函数的虚函数，且为且为的奇函数的奇函数。 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 门函数门函数 矩形脉冲一般称为门函数。 其宽度为， 高度为1，通常用符号g(t)来表示。 ) 2 (0 ) 2 (1 )( t t tg 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 门函数门函数 g(t)的傅里叶变换为：P106例3.4-1 dtetgjF tj )()( ) 2 ()( SajF 2 ) 2 sin( dte tj 2/ 2/ j ee jj 22 ) 2 sin(2 ) 2 (Sa 则： ), 3, 2, 1( 2 kk ：0 ： k2 )(jF 0)(jF 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 门函数门函数 频带宽度：频带宽度： 2 0 )/( 2 srad )( 1 Hzf 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比 1.1.它们都具有抽样函数它们都具有抽样函数 的形式。的形式。 )(xSa 2.2. ) 2 ( 1 n Sa T A F n 和和 ) 2 ()( SaAjF A.A. 值较值较 )(jF值多乘了值多乘了 T 1 这是由于两者的定义规定的。这是由于两者的定义规定的。 B.B. n F 中的不连续变量中的不连续变量 1 n在在 中变成中变成 了连续变量了连续变量 n F )(jF 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比 C.C.由非周期脉冲按一定的周期由非周期脉冲按一定的周期T T重复后构成的周期信号重复后构成的周期信号 )(jF和和 n F之间可以互求。之间可以互求。 3.3.非周期信号的频谱也具有收敛性。非周期信号的频谱也具有收敛性。 脉宽的定义方法与周期信号相同。脉宽的定义方法与周期信号相同。 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 分析：分析： 2. 2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连 续频谱等间隔取样求得。续频谱等间隔取样求得。 3. 3. 信号在信号在时域有限时域有限，则在，则在频域频域将将无限无限延续。延续。 4. 4. 信号的频谱分量主要集中在信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点零频到第一个过零点 之间，即之间，即有效带宽有效带宽。 5. 5. 脉冲宽度脉冲宽度 越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，即信号信息量大、传输速度快， 传送信号所占用的频带越宽。传送信号所占用的频带越宽。 1.1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 冲激函数冲激函数P109例例3.4-5 由傅立叶变换的定义式有： 1)()( dtetjF tj 冲激信号的频谱是均匀谱 取样性质取样性质 1)(t 1 0 )(jF t )(t 0 也就是说，(t)中包含了所有的频率分量， 而各频率分量的 频谱密度都相等。 显然， 信号(t)实际上是无法实现的。 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 直流信号直流信号1可表示为：可表示为： P110例例3.4-6 1)(tft dtejF tj 1)( )(t 由傅立叶逆变换的定义式有： （直接积分无法进行） )( de tj 1 2 1 t令： dte jt 1 2 1 )( dte tj 1)(2 冲激信号是偶函数： )(dte tj 1 2 1 )(2)(jF则：)(21 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 直流信号直流信号 1)(tf 1 0 t )(2 2 0 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 单边指数信号一单边指数信号一 P107例例3.4-2 dtetfjF tj )()( 0 )( at e tf 0 0 t t )0( 时域表达式：时域表达式： 其傅立叶变换：其傅立叶变换： 0 dtee tjt j 1 0 )( )( j e tj arctan 22 1 j e )(te t 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 单边指数信号一单边指数信号一 )( 0 2 2 22 1 )( jF )arctan()( 其振幅频谱为：其振幅频谱为： 相位频谱为：相位频谱为： j jF 1 )( 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 单边指数信号二单边指数信号二 dtetfjF tj )()( 0 )( at e tf 0 0 t t )0( 时域表达式：时域表达式： 其傅立叶变换：其傅立叶变换： 0 dtee tjt j 1 0 )( j e tj arctan 22 1 j e )( te t 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 单边指数信号二单边指数信号二 22 1 )( jF )arctan()( 其振幅频谱为：其振幅频谱为： 相位频谱为：相位频谱为： j jF 1 )( )( 0 2 2 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 双边指数信号一双边指数信号一 P108例例3.4-3 at at e e tf)( 0 0 t t (a0) 时域表达式：时域表达式： 其傅立叶变换：其傅立叶变换： t e 22 2 dtetfjF tj )()( 0 dtee tjt 0 dtee tjt j 1 j 1 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 双边指数信号一双边指数信号一 22 2 )( jF 0)( 其振幅频谱为：其振幅频谱为： 相位频谱为：相位频谱为： 22 2 )( jF f (t) 为偶函数，为偶函数， )(jF为为 的实函数，的实函数， 且为且为 的偶函数。的偶函数。 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换 )(lim 1 0 jFFT (a0) t etf )( t e 0 lim1 0 00 22 0 2 lim d 22 0 2 lim )( )(1 2 lim 2 0 d )arctan(2lim 0 ) 2 ( 2 2 2 )(2 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 双边指数信号二双边指数信号二 P108例例3.4-4 (a0) 时域表达式：时域表达式： 其傅立叶变换：其傅立叶变换： )()(tete tt 22 2 j dtetfjF tj )()( 0 dtee tjt 0 dtee tjt j 1 j 1 at at e e tf)( 0 0 t t 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 双边指数信号二双边指数信号二 22 2 )( jjF f (t) 为奇函数，为奇函数， )(jF为为 的纯虚函数，的纯虚函数， 且为且为 的奇函数。的奇函数。 )(jb )0( 2 )0( 2 )( 22 2 )( jF 振幅频谱为：振幅频谱为： 相位频谱为：相位频谱为： 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 符号函数符号函数P110例例3.4-7 1 1 )(tSgn 0 0 t t 时域表达式：时域表达式： 考察双边指数信号二 (a0) at at e e tf)( 0 0 t t 时：当0 )()(tSgntf 22 2 )( jjF 2 j )0( )0( 0 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 符号函数符号函数 0 2 )( j tSgn )0( )0( )(jb 2 )(jF )0( 2 )0( 2 )( 振幅频谱为：振幅频谱为： 相位频谱为：相位频谱为： 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换常用非周期信号的傅立叶变换 阶跃函数阶跃函数P111例例3.4-8 )( 2 1 2 1 )(tSgnt )()(jF 时域表达式：时域表达式