高数 第九章多元函数微分法及其应用 习题

班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 1 第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 练习 91 多元函数的基本概念 练习 91 多元函数的基本概念 1选择题： （1） 设 2 (,)f xy xyxyy+=+，则( , )f x y= （A）() 2 x xy （B） 2 xyy+ （C）() 2 x xy+ （D） 2 xxy （2） 22 1 0 cos lim 1 x x y ey xy + = （A） 0 （B）1 （C） 1 e （D） 2 e （3）下列极限存在的为 （A） 0 0 lim x y x xy + （B） 0 0 1 lim x y xy + （C） 0 0 1 lim sin x y x xy + （D） 2 0 0 lim x y x xy + （4）有且仅有一个间断点的函数为 （A） y x （B） 22 ln() x exy + （C） x xy+ （D）arctan(1)xy+ 2求下列函数的定义域： （1） )1ln( 4 22 2 yx yx z =； （2）yxz= 3求下列极限： （1） 22 1 0 )ln( lim yx ex y y x + + ； （2） () 22 0 1 1 x x y ye lim arctan xy + + ； （3） () 22 0 0 1 x y lim xyarcsin xy + （4） () 22 22 0 0 1 1 x y cosxy lim lnxy + + 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 2 练习 92练习 92 偏导数偏导数 1计算下列各题： （1） z yxu)arctan( =，求 y u， z u； （2）设 + = 22 d),( yx x t teyxf，求)21 (， x f； （3） 设)sin(sinsinyxfyz+=，其中)(uf可微，求 y z； （4） y xyz)1 ( +=，求 x z， y z； 2 y x yxyxftan) 1(),( 22 +=，求) 1 ,(xfx 3设),ln(xyxz =求 yx z 2 4设arctan( ) x uz y =，证明： 222 222 0 uuu xyz += 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 3 练习 93练习 93 全微分全微分 1选择题： （1）在点 P 处，f可微的充分条件是 （A）f连续 （B）f的全部二阶偏导存在 （C）f的全部一阶偏导连续 （D）f连续且， f x ， f y 均存在 （2）若函数) ,(yxf在点 00 (, )xy处不连续，则 （A） 0 0 lim( , ) xx yy f x y 必不存在 （B） 00 (, )f xy必不存在 （C）) ,(yxf在点 00 (, )xy必不可微 （D） 00 (, ) x fxy、 00 (, ) y fxy必不存在 （3）设函数 =+ + + = 0 , 0 0 , ),( 22 22 24 2 yx yx yx yx yxf，则在)0 , 0(点处 （A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在 （C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在 （4）若函数),(yxf在区域D内具有二阶偏导数： 2 2 x f ， 2 2 y f ， yx f 2 ， xy f 2 ， 则 （A）必有 xy f yx f = 22 （B）),(yxf在D内必连续 （C）),(yxf在D内必可微 （D）以上结论都不对 2求下列函数的全微分： （1） )ln(tan x y z =； （2） yz xu = 3 设(sin ) x zf ey=，f可微，求dz 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 4 练习 94练习 94 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 1计算下列各题： （1） 3 43)arcsin(tytxyxz=，求 t z d d ； （2） 设vwuz+= 2 ，而xywxvyxu=+=， 2 ，求zd； （3） 1 )( 2 + = a zye u ax ，而，xzxaycossin=求 x u d d 2求下列函数的偏导数（其中f具有一阶连续偏导数） ： （1）)( z y y x fu，=； （2） )sin,( 2 zxyxyxfu= 3设( )zxyyF u=+，而( ) x uF u y =，为可导函数，计算： zz xyz xy + 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 5 练习 95练习 95 隐函数求导公式隐函数求导公式 1设0sin 2 =+xyey x 确定了函数( )yy x=,用两种方法求 dx dy 2计算下列各题： （1）设02=+ zxy eze，求 y z x z ，； （2）设ln xz zy =，求 x z， y z 3设 22 xuv yuv =+ =+ ，求 x u ， u y 4设 2 23 0 0 xyzz xyzz + = += ，求 dz dx ， dy dx 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 6 练习 96练习 96 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 1选择题： （1）曲面( , , )zF x y z=的一个法向量为 （A） （1, zyx FFF） （B） （1, 1, 1 zyz FFF） （C） （, xyz F F F） （D） （1 , yz FF） （2）旋转抛物面 22 224zxy=+在点（1，1，0）处的法线方程为 （A） 14 1 4 1 = + = zyx （B） 14 1 4 1 = + = zyx （C） 14 1 4 1 = + = zyx （D） 44 1 1 1zyx = + = （3） 在曲线 23 ,xt ytzt= =的所有切线中，与平面24xyz+=平行的切线 （A）只有 1 条 （B）至少有 3 条 （C）只有 2 条 （D）不存在 2求曲线cos ,sin ,2xt yt zt=在点 22 (,) 222 处的切线及法平面方程 3为使平面01633=+zkyx与曲面163 222 =+zyx相切，求k 4证明曲面)( x y xfz=在任一点处的切平面都通过原点 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 7 练习 97练习 97 方向导数与梯度方向导数与梯度 1填空题： （1）函数 222 ln()uxyz=+在点(1,2, 2)M处的梯度gradu （2）函数 222 rxyz=+，则梯度gradr （3）函数 222 ln()uxyz=+在点(1,0,1)A处沿点 A 指向点(3, 2,2)B方向的方向导 数 （4）函数 222 uxyz=+在点(2, 2,1)M处沿点 M 到点(3, 3,1)N方向的方向导 数 2求uxxyxyz=+在点 M0（1，2，-1）处的梯度，并求该梯度方向的方向导数 3 ? ( , ) 3 l i = ? ? ， ? ( , ) 6 l j = ? ? ，且( , )zz x y=由方程sin0zzxy+=确定，求 z l 4设函数 22 1 uxy z =+，试问在点(1,1,1)M函数 u 沿着哪一个方向其方向导数取得最 大值，并求出方向导数的最大值 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 8 练习 98练习 98 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 1求 22 ( , )(2 ) x f x yxyy e=+极值点及极值 2求函数zxyx=+ 22 32在闭域D xy : 22 94 1+上的最大值和最小值 3 设生产某种产品的数量( , )f x y与所用甲、 乙两种原料的数量x,y之间有关系式( , )f x y 0.005x2y，已知甲，乙两种原料的单价分别为 1 元，2 元，现用 150 元购料，问购进两 种原料各多少，使产量( , )f x y最大?最大产量是多少? 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 9 总总 习习 题题 九九 1填空题： 设，fyxyxyf x z)()( 1 +=具有二阶连续导数，则= yx z 2 函数)ln( 22 zyxu+=在) 1 , 0 , 1 (A点处沿A点指向)2 , 2, 3( B点方向的方向导数 为 由曲线 = =+ 0 1223 22 z yx 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点)2, 3, 0(处的指向外侧 的单位法向量为 2选择题： （1） ( , )f x y在 00 (,)xy处 f x ， f y 均存在是( , )f x y在 00 (,)xy处连续的 条件 （A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）既不充分也不必要 （2） 已知 x f 0，则 （A）( , )f x y关于 x 为单调递增 （B）( , )0f x y （C） 2 2 0 f x （D） 2 ( , )(1)f x yx y=+ （3）设( , )f x y在点 00 (,)xy处有偏导数存在，则 0000 0 (2 ,)(,) lim h f xh yf xh y h + = （A） 0 （B） 00 3(,) x fxy （C） 00 2(,) x fxy （D） 00 (,) x fxy （4）设( , )zz x y=是由方程(,)0F xaz ybz=所定义的隐函数，其中( , )F u v是变量 , u v的任意可微函数，, a b为常数，则必有 （A）1 zz ba xy += （B） 1 zz ab xy += （C）1 zz ba xy = （D）1 zz ab xy = （5）设( , )zz x y=由方程 222 40 xyzz+=确定， 2 2 z x = (A) 22 3 (2) (2) xz z + (B) 22 3 (2) (2) xz z (C) 22 3 (2) (2) xz z + + （D） 22 3 (2) (2) xz z + + 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 10 (6) 二元函数 = + = )0 , 0(),(0 )0 , 0(),( ),( 22 yx yx yx xy yxf ， ， ，在点)0 , 0(处 （A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在 （C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在 （7）函数 23 uxyyz=+在点(2, 1,1)M处的梯度gradu等于 （A） 1 3 （B）5 （C）(1, 3, 3) （D）( 1, 3, 3) 3求曲线( )()()1 cossin4sin 2 t rf tt itt jk=+ ? ，在与 0 2 t =相应的点处的切 线方程及法平面方程 4. 设 n 是曲面632 222 =+zyx在点) 1 , 1 , 1 (P处的指向外侧的法向量，求函数 z yx u 22 86+ =在点P处沿方向 n 的方向导数 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 11 5.设)()(xzzxyy=，是由方程)(yxxfz+=和0),(=zyxF所确定的函数，其中f 和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 x z d d . 6设),(zyxfu=，0),( 2 =zex y ，xysin=其中、f都具有一阶连续偏导数，且 0 z ，求 x u d d 7设),sin( 22 yxyefz x +=，其中f具有二阶连续偏导数，求 yx z 2 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 12 8设),(yxzz =是由0182106 222 =+zyzyxyx确定的函数，求),(yxzz =的 极值点和极值 9某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位价分别为10万元和9万元，若生产x件甲产品 和y件乙产品的总成本为： =400+2x+3y+0.01 (3x2+xy+3y2)（万元） 又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时两种产品的产量 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 13 练习 91 练习 91 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 2 410| ),( 222 xyyxyx+，； 00| ),( 2 yxyxyx， 3 （1）1； （2）12 ； （3）0； （4） 1 2 练习 92练习 92 偏导数偏导数 1 () () z y z z xy u xy = + 1 2 1 、 () () z y z z xy u xy = + 1 2 1 ； ee 5 2； cos (1( ) z yf u y = ； 12 )1 ( += y x xyyz；()()ln y y xy zxyxy xy =+ + 11 1 2x2 3 y 1 练习 93 练习 93 全微分全微分 2 2 2 1 cotsec(dd ) yyy dzxy xxxx =+； 1d z ln dln d yzyzyz duyzxxxx yxyx z =+ + 3 () sin(sincos) xx dzfeyydxydy e=+ 练习 94 练习 94 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 1 232 )43(1/ )41 (3ttt；yxyxxyxyxzd )(2d 3)(2d 32 +=； xeaxsin 2 2 2 21 2 1 11 f z y z u f z f y x y u f yx u = += = ， 33232 2 1 cossin2sinf zxyuf zxfxyuf zyfyfu zyx =+=+=， 3xy 练习 95练习 95 隐函数求导公式隐函数求导公式 1 2 2cos x dyey dxxyy = 2 （1） (2)(2) xyxy x zz yexe z ee = + y ，z； （2） )( 2 zxy z z zx z z yx + = + =， 3 1 , 2() xy v uu vuuv = 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 14 4 2 21 1 324 dz