高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1. 设 u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用 a，b，c表示 2u-3v. 解 2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形 . 证如 图 8-1， 设四 边 形 ABCD中 AC 与 BD 交 于 M ，已 知 AM=MC，MBDM . 故 DCDMMCMBAMAB. 即DCAB/且|AB|=|DC| ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把ABC的 BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A连接.试以AB=c, BC=a 表向量AD1,AD2,AD3,AD 4 . 证如图 8-2，根据题意知 5 1 1 BDa, 5 1 21D Da, 5 1 32D Da, 5 1 43D Da, 故AD1=-（ 1 BDAB）=- 5 1 a- c AD2 =-（ 2 BDAB）=- 5 2 a- c AD3 =-（ 3 BDAB）=- 5 3 a-c AD 4 =-（ 4 BDAB）=- 5 4 a-c. 4. 已知两点 M1（0，1，2）和 M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示 向量 21M M及-2 21M M. 解 21M M=（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -2 21M M=-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5. 求平行于向量 a=（6，7，-6）的单位向量 . 解向量 a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1 （6，7，-6）= 11 6 , 11 7 , 11 6 ， 其中11)6(76 222 a. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A（1，-2，3） ，B（2，3，-4） ，C（2，-3，-4） ，D（-2， -3，1）. 解 A 点在第四卦限， B点在第五卦限， C点在第八卦限， D点 在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各 点的位置： A（3，4，0） ，B（0，4，3） ，C（3，0，0） ，D （0， -1，0）. 解 在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中 至少有一个为零，比如xOy面上的点的坐标为（x0，y0，0） ，xOz面 上的点的坐标为（ x0，0，z0） ，yOz面上的点的坐标为（ 0，y0，z0）. 在坐标轴上的点的坐标， 其特征是表示坐标的三个有序数中至少 有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为（ x0，0，0） ，y 轴上的点的坐 标为（0，y0，0） ，z轴上的点的坐标为（ 0，0，z0）. A 点在 xOy面上， B点在 yOz面上， C点在 x 轴上， D 点在 y 轴 上. 8.求点（ a，b，c）关于（ 1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原 点的对称点的坐标 . 解（1）点（ a，b，c）关于 xOy面的对称点（ a，b，-c） ，为 关于 yOz面的对称点为（ -a，b，c） ，关于 zOx面的对称点为（ a，-b， c）. （2）点（ a，b，c）关于 x 轴的对称点为（ a，-b，-c） ，关于 y 轴的对称点为（ -a，b，-c） ，关于 z轴的对称点为（ -a，-b，c）. （3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）. 9.自点 P0），（ 000 zyx 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各 垂足的坐标 . 解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F为点 P0关于 xOz 面的垂线，垂足F坐标为）， 00 0(zx ；P0D 为点 P0关于 xOy面的垂 线，垂足 D 坐标为），0( 00 yx；P0E为点 P0关于 yOz面的垂线，垂 足 E坐标为)0( 0o zy ， . P0A 为点 P0关于 x 轴的垂线，垂足 A 坐标为），0, 0( o x；P0B 为点 P0关于 y 轴的垂线，垂足 B坐标为)0, 0( 0 y ；P0C为点 P0关于 z 轴的 垂线，垂足 C坐标为), 0, 0( 0 z . 10.过点 P0），（ 000 zyx分别作平行于 z轴的直线和平行于xOy面的 平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？ 解如图 8-4，过 P0且平行于 z 轴的直线 l 上的点的坐标，其特 点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同. 而过点 P0且平行于 xOy面的平面上的点的坐标，其特点是， 它们的竖坐标均相同 . 11. 一边长为 a 的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点， 底面的顶点在 x 轴和 y 轴上，求它各顶点的坐标. 解如图 8-5，已知 AB=a，故 OA=OB=a 2 2 ，于是各顶点的坐 标分别为 A)00 2 2 (，a，B（）， 0 2 2 ,0(a） ，C（-a 2 2 ，0，0） ，D （0，-a 2 2 ，0） ，E （a 2 2 ，0，a） ，F （0，a 2 2 ，a） ，G （-a 2 2 ， 0，a） ，H（0，-a 2 2 ，a）. 12.求点 M（4，-3，5）到各坐标轴的距离 . 解点 M 到 x 轴的距离为 d1= 345)3( 22 ，点 M 到 y 轴 的 距 离 为 d2= 4154 22 ， 点 M 到 z 轴 的 距 离 为 d3=525)3(4 22 . 13.在 yOz面上，求与三点A（3，1，2） ，B（4，-2，-2） ，C（0，5， 1）等距离的点 . 解所求点在 yOz面上，不妨设为 P （0，y，z） ，点 P与三点 A， B，C等距离，,)2()1(3 222 zyPA ,)2()2(4 222 zyPB .) 1()5( 22 zyPC 由PCPBPA知， 222222 )2()2(4)2() 1(3zyzy 22 ) 1()5(zy， 即 .) 1()5()2() 1(9 ,)2()2(16)2() 1(9 2222 2222 zyzy zyzy 解上述方程组，得y=1，z=-2.故所求点坐标为（ 0，1，-2）. 14.试证明以三点 A（4，1，9） ，B（10，-1，6） ，C（2，4，3）为顶 点的三角形是等腰直角三角形. 证由 2798)63() 14()102( ,7)93() 14()42( , 7)96() 11()410( 222 222 222 BC AC AB 知. 222 ACABBCACAB及故ABC为等腰直角三角 形. 15. 设已知两点为 M1（4，2，1） ，M2（3，0，2） ，计算向量 21M M 的模、方向余弦和方向角 . 解向量 21M M=（3-4，0-2，2-1）=（-1，-2，-1） ， 其模2412-1- 222 21 ）（）（MM.其方向余弦分 别为 cos=- 2 1 ，cos=- 2 2 ，cos= 2 1 . 方向角分别为 3 , 4 3 , 3 2 . 16. 设向量的方向余弦分别满足（1）cos=0； （2）cos=1； （3） cos=cos=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 解（1）由 cos=0 得知 2 ，故向量与 x 轴垂直，平行于 yOz面. （2）由 cos=1 得知=0，故向量与 y 轴同向，垂直于 xOz面. （3） 由 cos=cos=0 知 2 ， 故向量垂直于 x 轴和 y 轴， 即与 z轴平行，垂直于 xOy面. 17. 设向量 r 的模是 4，它与 u 轴的夹角为 3 ，求 r 在 u 轴上的投影 . 解已知| r |=4，则 Prjur=| r|cos=4?cos 3 =4 2 1 =2. 18. 一向量的终点在点B（2，-1，7） ，它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影 依次为 4，-4 和 7，求这向量的起点A 的坐标. 解设 A 点坐标为（ x，y，z） ，则 AB=（2-x，-1-y，7-z） ， 由题意知 2-x=4，-1-y=-4，7-z=7， 故 x=-2，y=3，z=0，因此 A 点坐标为（ -2，-3，0）. 19. 设 m=3i+4j+8k，n=2i-4j-7k 和 p=5i+j-4k. 求向量 a=4m+3n-p在 x 轴 上的投影及在 y 轴上的分向量 . 解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k） =13i+7j+15k， a 在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分向量为7j. 1. 设 kjibkjia2,23 ，求 （1）baba及； （2）ba2b3a2-及）（； （3）ba,的夹角的 余弦. 解（1），（），（1-2, 12-1-3ba ，）（）（）（31-2-21-13 ba 121 213 kji =（5,1,7）. （2）1836)(63)2(baba )14,2,10()7 , 1 , 5(2)(22baba （3 222222 )1(21)2()1(3 3 ),cos( ba ba ba 212 3 614 3 2.设cba,为单位向量，满足., 0accbbacba求 解已知,0, 1cbacba 故0）（）（cbacba. 即0222 222 accbbacba.因此 2 3 - 2 1222 ）（cbaaccbba 3.已知 M1（1，-1，2） ，M2（3,3,1）M3（3,1,3）.求与 3221 ,MMMM 同时垂直的单位向量 . 解 21M M=（3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1） 32M M=（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2） 由于 3221 MMMM与 3221 ,MMMM同时垂直，故所求向量可 取为 3221 3221 MMMM MMMM a ）（ ， 由 3221 MMMM= 220 142 kji =（6，-4，-4） ， 17268)4()4(6 222 3221 MMMM 知). 17 2 , 17 2 , 17 3 ()4, 4, 6( 172 1 a 4. 设质量为 100kg的物体从点 M1 （3,1,8） 沿直线移动到点 M2 （1,4,2） ， 计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为 z 轴负方向） . 解 21M M=（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6） F=（0,0，-100 9.8）=（0,0，-980） W=F? 21M M=（0,0，-980）? （-2,3 ，-6 ）=5880 （J） . 5. 在杠杆上支点 O的一侧与点 O的距离为 x1的点 P1处，有一与 1 OP 成角 1 的力 F1作用着；在 O的另一侧与点 O的距离为 x2的点 P2处， 有一与 2 OP成角 2 的力 F2作用着 （图 8-6） ， 问 1，2 ， x1， x2， 21 , FF 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？ 解如图 8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数 和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为 0sinsin 222111 xFxF， 即 222111 sinsinxFxF. 6. 求向量），（4,3-4a在向量）（1 ,2, 2b上的投影. 解2 3 6 122 ) 1 ,2,2()4, 3,4( Pr 222 b ba ajb . 7. 设)4, 1 , 2(),2, 5, 3(ba，问与有怎样的关系，能使 ba与 z 轴垂直？ 解ba=（3,5，-2）+（2,1,4 ） =（42,5,23）. 要ba与 z 轴垂直，即要（ba）（0,0,1 ） ，即 （ba）? （0，0,1）=0， 亦即（42,5,23）? （0,0,1 ）=0， 故（42）=0，因此2时能使ba与 z 轴垂直. 8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角. 证如图 8-7， 设 AB是圆 O的直径，C点在圆周上，要证ACB= 2 ， 只要证明0BCAC即可. 由 BCAC = )()(OCBOOCAO = 2 OCBOOCOCAOBOAO =0 22 OCOCAOOCAOAO. 故BCAC, ACB为直角. 9. 已知向量jickjibkjia23,32和，计算： （1）bcacba)()(（2）)()(cbba（3）cba)( 解（1）8)3, 1, 1()1 , 3, 2(ba， 8)0, 2, 1()1 , 3, 2(ca， bcacba)()()24, 8, 0()3, 1, 1(8)0, 2, 1(8 ki248. （2）ba=（2，-3,1 ）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ）， cb=（1，-1,3 ）+（1，-2,0 ）=（2，-3,3 ）， )()(cbba 332 443 kji kj) 1, 1, 0(. （3）cba)(.2 021 311 132 10.已知kjOBkiOA3,3，求OAB 的面积. 解由向量积的几何意义知 SOAB=OBOA 2 1 ， ) 1 , 3, 3( 310 301 kji OBOA， OBOA191)3()3( 22 SOAB 2 19 11.已知),(),(),( zyxzyxzyx ccccbbbbaaaa，试利用 行列式的性质证明： bacacbcba)()()( 证因为,)( zyx zyx zyx ccc bbb aaa cba zyx zyx zyx aaa ccc bbb acb)( bac)( zyx zyx zyx bbb aaa ccc ， 而由行列式的性质知 zyx zyx zyx ccc bbb aaa zyx zyx zyx aaa ccc bbb = zyx zyx zyx bbb aaa ccc ，故 bacacbcba)()()(. 12.试用向量证明不等式： 332211 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 babababbbaaa， 其中 321321 ,bbbaaa为任意实数 . 并指出等号成立的条件. 证设向量a（ 321 ,aaa ） ，b（ 321 ,bbb ）. 由),cos(babababa，从而 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1332211 bbbaaabababa， 当 321 ,aaa与 321 ,bbb成比例，即 3 3 2 2 1 1 b a b a b a 时，上述等式成立. 1. 求过点（3,0，-1）且与平面 012573zyx 平行的平面方 程. 解所求平面与已知平面012573zyx平行 .因此所 求平面的法向量可取为n=（3，-7，5） ，设所求平面为 0573Dzyx. 将点（ 3，0，-1）代入上式得 D=-4.故所求平面方程为 04573zyx. 2. 求过点 M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M0的线段 OM0垂 直的平面方程 . 解.6, 9, 2( 0 ）OM所求平面与 0 OM垂直，可取 n= 0 OM， 设所求平面方程为 0692Dzyx. 将点 M0（2，9，-6）代入上式得 D=-121.故所求平面方程为 0121692zyx. 3. 求过（1，1，-1） ， （-2，-2，2）和（ 1，-1，2）三点的平面方程 . 解由0 121111 121212 111zyx ，得023zyx， 即为所求平面方程 . 注设 M （x,y,z ） 为平面上任意一点，)3, 2, 1)(,(izyxM iiii 为 平面上已知点 .由, 0)( 31211 MMMMMM即 ,0 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 它就表示过已知三点Mi（i=1,2,3）的平面方程 . 4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： （1）x=0;（2）3y-1=0; （3）2x-3y-6=0;（4）x-3y=0; （5）y+z=1;（6）x-2z=0; （7）6x+5y-z=0. 解（1）（7）的平面分别如图88（a）（ g）. （1）x=0表示 yOz坐标面. （2）3y-1=0 表示过点（0, 3 1 , 0）且与 y 轴垂直的平面 . （3）2x-3y-6=0表示与 z 轴平行的平面 . （4）x-3y=0表示过 z轴的平面 . （5）y+z=1表示平行于 x 轴的平面 . （6）x-2z=0表示过 y 轴的平面 . （7）6x+5y-z=0表示过原点的平面 . 5. 求平面0522zyx与各坐标面的夹角的余弦. 解平面的法向量为 n=（2，-2，1） ，设平面与三个坐标面xOy， yOz，zOx的夹角分别为 321 , .则根据平面的方向余弦知 , 3 1 11)2(2 )1 , 0, 0()1 , 2, 2( coscos 222 1 kn kn , 3 2 13 )0,0, 1() 1 ,2,2( coscos 2 in in 3 2 13 )0, 1 ,0()1 ,2,2( coscos 3 jn jn . 6. 一平面过点（1， 0， -1） 且平行于向量) 1 , 1 , 2(a和)0, 1, 1(b， 试求这个平面方程 . 解所求平面平行于向量a和b，可取平面的法向量 )3, 1 , 1( 011 112 kji ban . 故所求平面为0) 1(3)0(1) 1(1zyx，即 043zyx. 7. 求三平面322,02, 13zyxzyxzyx的 交点. 解联立三平面方程 . 322 ,02 , 13 zyx zyx zyx 解此方程组得.3, 1, 1zyx故所求交点为（ 1，-1，3）. 8. 分别按下列条件求平面方程： （1）平行于 xOz面且经过点（ 2，-5，3） ； （2）通过 z轴和点（ -3，1，-2） ； （3）平行于 x 轴且经过两点（ 4，0，-2）和（ 5，1，7）. 解（1）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为 0DBy.将点（ 2，-5，3）代入，得 05DB，即BD5. 因此所求平面方程为 05BBy，即05y. （2）所求平面过 z 轴，故设所求平面为0ByAx.将点（-3，1， -2）代入，得 03BA，即AB3. 因此所求平面方程为 03AyAx，即03yx. （3）所求平面平行于x 轴， 故设所求平面方程为0DCzBy. 将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得 02DC及07DCB. DB D C 2 9 , 2 . 因此，所求平面方程为 0 22 9 Dz D Dy， 即029zy. 9. 求点（1,2,1）到平面01022zyx的距离 . 解利用点),( 00oo zyxM 到平面0DCzByAx 的距离公式 222 000 CBA DCzByAx d .1 3 3 221 1012221 222 1. 求过点（ 4，-1，3）且平行于直线 5 1 12 3zyx 的直线方程 . 解所 求 直线 与 已 知直 线 平 行 ，故 所 求 直 线 的 方 向向 量 )5, 1 , 2(s，直线方程即为 5 3 1 1 2 4zyx . 2. 求过两点 ) 1 ,2, 3( 1 M 和 )2, 0, 1( 2 M 的直线方程 . 解取所求直线的方向向量 ) 1 , 2, 4() 12),2(0 , 31( 21M Ms， 因此所求直线方程为 1 1 2 2 4 3zyx . 3. 用对称式方程及参数方程表示直线 .42 , 1 zyx zyx 解根据题意可知已知直线的方向向量 112 111 kji s).3 , 1 , 2( 取 x=0， 代入直线方程得 .4 , 1 zy zy 解得. 2 5 , 2 3 zy这 样就得到直线经过的一点（ 2 5 , 2 3 ,0）.因此直线的对称式方程为 . 3 2 5 1 2 3 2 0 zy x 参数方程为 .3 2 5 , 2 3 ,2 tz ty tx 注由于所取的直线上的点可以不同， 因此所得到的直线对称式 方程或参数方程得表达式也可以是不同的. 4. 求过点（ 2，0，-3）且与直线 01253 ,0742 zyx zyx 垂直的平面方程 . 解根据题意， 所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即 ),11,14,16( 253 421 kji sn 故所求平面方程为. 0)3(11)0(14)2(16zyx即 . 065111416zyx 5. 求直线 0123 ,09335 zyx zyx 与直线 01883 ,02322 zyx zyx 的夹角的余弦 . 解两已知直线的方向向量分别为 ),1,4, 3( 123 335 1 kji s),10,5,10( 183 122 2 kji s 因此，两直线的夹角的余弦 21 21 21 ),(coscos ss ss ss .0 10)5(10) 1(43 10154103 222222 6. 证明直线 72 ,72 zyx zyx 与直线 02 , 8363 zyx zyx 平 行. 证已知直线的方向向量分别是 ),15,3,9( 112 363),5, 1 , 3( 112 121 21 kji s kji s 由 12 3ss知两直线互相平行 . 7. 求过点（0,2,4）且与两平面12zx和23zy平行的直线 方程. 解所求直线与已知的两个平面平行， 因此所求直线的方向向量 可取 ),1 , 3,2( 310 201 21 kji nns 故所求直线方程为 . 1 4 3 2 2 0zyx 注本题也可以这样解： 由于所求直线与已知的两个平面平行，则可 视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，不妨设所求直线 为 .3 ,2 bzy azx 将点（0，2，4）代入上式，得.10, 8 ba故所求直线为 .103 ,82 zy zx 8.求过点（ 3，1，-2）且通过直线 12 3 5 4zyx 的平面方程 . 解利用平面束方程，过直线 12 3 5 4zyx 的平面束方程 为 ,0) 2 3 ( 2 3 5 4 z yyx 将点（3，1，-2）代入上式得. 20 11 因此所求平面方程为 , 0) 2 3 ( 20 11 2 3 5 4 z yyx 即. 0592298zyx 9.求直线 0 ,03 zyx zyx 与平面01zyx的夹角 . 解已知直线的方向向量),2,4,2( 111 311 kji s平面 的法向量).1, 1, 1(n 设直线与平面的夹角为,则 , 0 ) 1()1(1)2(42 ) 1()2() 1(412 ),cos(sin 222222 ns ns sn 即. 0 10.试确定下列各组中的直线和平面间的关系； （1） 37 4 2 3zyx 和3224zyx； （2） 723 zyx 和8723zyx； （3） 4 3 1 2 3 2zyx 和. 3zyx 解设直线的方向向量为s，平面的法向量为n，直线与平面 的夹角为,且 ns ns sn),cos(sin. （1）),2, 2, 4(),3,7, 2(ns , 0 )2()2(43)7()2( )2(3)2()7(4)2( sin 222222 则. 0故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点 A（-3，-4， 0）代入平面方程，方程不成立.故点 A不在平面上，因此直线不在平 面上，直线与平面平行 . （2）),7, 2, 3(),7, 2, 3(ns由于ns或 , 1 7)2(37)2(3 77)2()2(33 sin 222222 知 2 ，故直线与平面垂直 . （3）),1 , 1 , 1(),4, 1 , 3(ns由于0ns或 , 0 111)4(13 1)4(1113 sin 222222 知,0将直线上的点 A（2，-2，3）代入平面方程，方程成立，即 点 A在平面上 .故直线在平面上 . 11.求过点（ 1,2,1）而与两直线 01 ,012 zyx zyx 和 0 ,02 zyx zyx 平行的平面 的方程. 解两直线的方向向量为 ),1, 1,0( 111 112),3,2, 1 ( 111 121 21 kji s kji s 取),1, 1 , 1( 110 321 21 kji ssn 则过点（ 1,2,1） ，以n为法向量的平面方程为 , 0)1(1)2(1)1(1zyx 即.0zyx 12.求点（ -1,2,0）在平面012zyx上的投影 . 解作过已知点且与已知平面垂直的直线.该直线与平面的交 点即为所求 .根据题意，过点（ -1,2,0）与平面012zyx垂 直的直线为 , 1 0 2 2 1 1zyx 将它化为参数方程,22,1tztytx代入平面方程得 , 01)()22(21ttt 整理得 3 2 t .从而所求点（-1,2,0）在平面012zyx上的 投影为（ 3 2 , 3 2 , 3 5 ）. 13.求点 P（3，-1，2）到直线 042 ,01 zyx zyx 的距离 . 解直线的方向向量).3, 3,0( 112 111 kji s 在直线上取点（ 1，-2，0） ，这样，直线的方程可表示成参数方 程形式 .3,32, 1tztyx（1） 又，过点 P（3，-1，2） ，以) 3, 3, 0(s为法向量的平面方程为 , 0)2(3) 1(3zy 即. 01zy（2） 将式 （1） 代入式 （2） 得 2 1 t， 于是直线与平面的交点为 （ 2 3 , 2 1 , 1） ， 故所求距离为 . 2 23 ) 2 3 2() 2 1 1()13( 222 d 14.设 M0是直线 L外一点，M 是直线 L上任意一点，且直线的方向向 量为s，试证：点 M0到直线 L的距离 s sMM d 0 . 证如图 8-9， 点 M0到直线 L的距离为 d.由向量积的几何意义知 sMM 0 表示以MM 0 ，s为邻边的平行四边形的面积.而 s sMM 0 表示以s为边长的该平面四边形的高， 即为点 M0到直线 L的距离 .于是 s sMM d 0 . 15.求直线 0923 ,042 zyx zyx 在平面14zyx上的投 影直线的方程 . 解作过已知直线的平面束， 在该平面束中找出与已知平面垂直 的平面，该平面与已知平面的交线即为所求. 设过直线 0923 ,042 zyx zyx 的平面束方程为 , 0)923(42zyxzyx 经整理得.09)21()4()32(zyx 由, 01)21()1()4(4)32( 得 11 13 .代入平面束方程，得 .0117373117zyx 因此所求投影直线的方程为 .14 ,0117373117 zyx zyx 16.画出下列各平面所围成的立体的图形. （1）; 012243, 1, 2, 0, 0, 0zyxyxzyx （2）. 4 ,2, 1,0,0 y zyxzx 解（1）如图 8-10（a） ；（2）如图 8-10（b）. 1.一球面过原点及A（4，0，0） ，B（1，3，0）和 C（0，0，-4）三 点，求球面的方程及球心的坐标和半径. 解设所求球面的方程为 2222 )()()(Rczbyax， 将已知点的坐标代入上式，得 , 2222 Rcba（1） ,)4( 2222 Rcba（2） ,)3() 1( 2222 Rcba（3） 2222 )4(Rcba，（4） 联立（ 1） （2）得,2a联立（1） （4）得, 2c将2a代入 （2） （3）并联立得 b=1，故 R=3.因此所求球面方程为 ,9)2() 1()2( 222 zyx 其中球心坐标为),2, 1 , 2(半径为 3. 2.建立以点（ 1，3，-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程. 解设以点（ 1，3，-2）为球心， R为半径的球面方程为 ,)2()3() 1( 2222 Rzyx 球面经过原点，故 ,14)20() 30() 10( 2222 R 从而所求球面方程为.14)2()3() 1( 222 zyx 3.方程0242 222 zyxzyx表示什么曲面？ 解将已知方程整理成 ,)6() 1()2()1( 2222 zyx 所以此方程表示以（ 1，-2，-1）为球心，以6为半径的球面 . 4.求与坐标原点 O及点（2,3,4）的距离之比为 1:2 的点的全体所组成 的曲面的方程，它表示怎样的曲面？ 解设动点坐标为（zyx,） ，根据题意有 , 2 1 )4()3()2( )0()0()0( 222 222 zyx zyx 化简整理得 .)29 3 2 () 3 4 ()1() 3 2 ( 2222 zyx 它表示以（ 3 4 , 1, 3 2 ）为球心，以 29 3 2 为半径的球面 . 5.将 xOz坐标面上的抛物线xz5 2 绕 x 轴旋转一周，求所生成的旋 转曲面的方程 . 解以 22 zy代替抛物线方程xz5 2 中的 z，得 222 )(zyx5， 即xzy5 22 . 注xOz面上的曲线0),(zxF绕 x 轴旋转一周所生成的旋转 曲面方程为0),( 22 zyxF. 6.将 xOz坐标面上的圆9 22 zx绕 z轴旋转一周，求所生成的旋 转曲面的方程 . 解以 22 yx代替圆方程9 22 zx中的x，得 ,9)( 2222 zyx 即.9 222 zyx 7.将 xOy坐标面上的双曲线3694 22 yx分别绕 x 轴及 y 轴旋转 一周，求所生成的旋转曲面的方程. 解以 22 zy代替双曲线方程3694 22 yx中的 y， 得该双曲线绕 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为 ,36)(94 2222 zyx 即.36)(94 222 zyx 以 22 zx代替双曲线方程3694 22 yx中的 x，得该 双曲线绕 y 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为 ,369)(4 2222 yzx 即.369)(4 222 yzx 8.画出下列各方程所表示的曲面： （1）;) 2 () 2 ( 222a y a x（2）; 1 94 22 yx （3）; 1 49 22 zx （4）;0 2 zy（5） 2 2xz. 解（1）如图 8-11（a） ； （2）如图 8-11（b） ； （3）如图 8-11（c） ； （4）如图 8-11（d） ； （5）如图 8-11（e）. 9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什 么图形： （1）; 2x（2）; 1xy （3）;4 22 yx（4）.1 22 yx 解（1）2x在平面解析几何中表示平行于y 轴的一条直线，在 空间解析几何中表示与yOz面平行的平面 . （2）1xy在平面解析几何中表示斜率为1，y 轴截距也为 1 的 一条直线，在空间解析几何中表示平行于z轴的平面 . （3）4 22 yx在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2 的 圆，在空间解析几何中表示母线平行于z轴，准线为 0 ,4 22 z yx 的圆柱面 . （4）1 22 yx在平面解析几何中表示以x 轴为实轴， y 轴为虚轴 的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于z轴，准线为 0 , 1 22 z yx 的双曲柱面 . 10.说明下列旋转曲面是怎样形成的： （1）; 1 994 222 zyx （2）; 1 4 2 2 2 z y x （3）; 1 222 zyx（4）.)( 222 yxaz 解（1）1 994 222 zyx 表示 xOy面上的椭圆1 94 22 yx 绕 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 xOz面的椭圆1 94 22 zx 绕 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面. （2）1 4 2 2 2 z y x表示 xOy面上的双曲线1 4 2 2y x绕 y 轴 旋转一周而生成的旋转曲面，或表示 yOz面的双曲线1 4 2 2 z y 绕 y 轴旋转一周而生成的旋转曲面. （3）1 222 zyx表示 xOy面上的双曲线1 22 yx绕 x 轴 旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz面的双曲线1 22 zx绕 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面. （4） 222 )(yxaz表示 xOz面上的直线axz或 axz绕 z 轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz面的直 线ayz或ayz绕 z轴旋转一周而生成的旋转曲面. 11.画出下列方程所表示的曲面： （1）;44 222 zyx（2）; 44 222 zyx （3）. 943 22 yxz 解（1）如图 8-12（a） ； （2）如图 8-12（b） ； （3）如图 8-12（c） ； 12.画出下列各曲面所围立体的图形： （1）1,03,0,3,0 22 yxyxyxzz（在第一 卦限内） ； （2） 222222 ,0,0,0RzyRyxzyx（在第一卦 限内）. 解（1）如图 8-13 所示；（2）如图 8-14 所示. 1. 画出下列曲线在第一卦限内的图形； （1） ; 2 , 1 y x （2） ; 0 ,4 22 yx yxz （3） . , 222 222 azx ayx 解（1）如图 8-15（a）