《高考数学第一轮复习课件》第28讲 平面向量的概念与运算

新课标高中一轮总复习,第四单元三角函数与平面向量,第28讲,平面向量的概念与运算,1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义.,3.了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量垂直关系.,1.下列说法正确的是(),C,A.平行向量就是与向量所在直线平行的向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为0D.共线向量是在一条直线上的向量,平行向量指方向相同或相反的非零向量，其所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等的向量不一定是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错；C是正确的.,2.若向量a=(x,1),b=(4,x)，则当x=时，a与b共线且方向相同.,2,因为a=(x,1),b=(4,x),若ab,则xx-14=0,即x2=4,所以x=2，当x=-2时，a与b方向相反，当x=2时，a与b方向相同.,3.已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-2b与a垂直，则实数k等于.,-1,ka-2b=(k-4,k+6),a=(1,1),由已知得(ka-2b)a=k-4+k+6=0，解得k=-1.,4.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60,那么|a+3b|=(),C,A.B.C.D.4,a+b遵循平行四边形法则.|a+3b|=.故选C.,5.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为(),A,A.B.C.D.,|a|cos=|a|=.故选A.,1.向量的有关概念既有又有的量叫做向量.的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的.的向量叫做单位向量.方向的向量叫做平行向量(或共线向量).且的向量叫做相等向量.且的向量叫做相反向量.,大小,方向,长度为0,长度为1,相同或相反,非零,长度相等,方向相同,长度相等,方向相反,2.向量的表示方法用小写字母表示，用有向线段表示，用坐标表示.3.向量的运算加法、减法运算法则：平行四边形法则、三角形法则.实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：,(1)|a|=;(2)当0时,a的方向与a的方向；当0得t1或t-1,令f(t)0得-1t1，且t0.所以函数k=f(t)的单调递增区间为(1,+)和(-,-1)，单调递减区间为(-1,0)和(0,1).,该例为向量与函数及导数的综合问题，求解时要灵活变换，及时调整思维角度,并注意解题的严谨性,如t0容易忽略.,已知两点M(-1,0),N(1,0)，且点P使，成公差小于零的等差数列.(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P的坐标为(x0,y0)，记为与的夹角，求tan.,(1)设P(x,y)，由M(-1,0),N(1,0)，得=-=(-1-x,-y),=-=(1-x,-y),=-=(2,0).所以=2(1+x),=x2+y2-1,=2(1-x).于是，是公差小于零的等差数列，等价于x2+y2-1=2(1+x)+2(1-x)2(1-x)-2(1+x)0.所以，点P的轨迹是以原点为圆心,3为半径的右半圆(不包括与y轴的交点).(2)点P的坐标为(x0,y0),=x02+y02-1=2,|=.所以cos=.,因为0x0,所以cos1,0,sin=,所以tan=|y0|.,(1)本题是关于平面向量的一道综合创新题，它考查了平面向量的基本概念及其运算，是一个向量与平面解析几何、三角函数及不等式的综合题，是在知识网络的交汇点处设计的一个优秀试题，但解决这一问题的基本知识却是向量中最基本也是最重要的知识.(2)平面向量的数量积将角度和长度有机地联系在一起，因此,涉及角度与距离有关的问题,可优先考虑用向量的数量积进行处理.,1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理,平面向量实数对(x,y),任何一个平面向量都有惟一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定惟一.也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系.即向量(x,y)OA点A(x,y).向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.,2.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法.,3.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标.本讲易忽略点有二:一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标;二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆.4.本讲是平面向量这一章的重要内容，要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律(ab)ca(bc)、消去律(ab=ac/b=c;ab=0/a=0)，但满足交换律和分配律.,5.公式ab=|a|b|cos；ab=x1x2+y1y2；|a|2=a2=x2+y2的关系非常密切，必须能够灵活综合运用.6.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.7.abx1y2-x2y1=0与abx1x2+y1y2=0要区分清楚.8.由于向量有多种表达形式，又向量的各种运算都可用坐标表示，于是在运用向量知识解决有关问题时往往有多种方法.其中坐标法是最常用，最重要的一种方法.,(2009湖南卷)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若=x+y,则x=,y=.,以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，如图.令AB=2，则=(2,0)，=(0,2).过D作DFAB交AB的延长线于F.,由已知得DF=BF=，则=(2+,).因为=x+y，所以(2+,)=(2x,2y).2+=2xx=1+3=2y，y=.另解：=+=（1+）+，所以x=1+，y=.,即有,解得,(2009宁夏/海南卷)已知点O,N,P在ABC所在的平面内，且|=|=|,=0，=，则点O、N、P依次是ABC的(注：三角形的三条高线交于一点，此