02 第二节 正项级数的判别法

第二节 正项级数的判别法 一般情况下，利用定义和准则来判断级数的收敛性是很困难的，能否找到更简单有效的判别方法呢？我们先从最简单的一类级数找到突破口，那就是正项级数.分布图示正项级数比较判别法例1例2例3 例4例5比较判别法的极限形式例6例7例8 例9例10比值判别法 例11例12 例13根值判别法 例14例15 例16内容小结课堂练习习题7-2内容要点 一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列有界. 以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法： 比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法. 至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及级数等.要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难. 下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性. 比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合与有公因式且 存在或等于无穷大的情形. 根值判别法（柯西判别法）：适合中含有表达式的次幂，且 或等于的情形.积分判别法：对于正项级数，如果可看作由一个在上单调减少函数所产生, 即有 则可用积分判别法来判定正项级数的敛散性.例题选讲比较判别法的应用例1（E01）讨论级数的收敛性.解 时，级数发散.时，由图可见 即有界，级数收敛. 当时收敛故级数 . 当时发散例2（E02）证明级数是发散的.证 而级数发散，发散.例3（E03）判别级数的收敛性.解 运用比较判别法.因而是收敛的,所以原级数收敛.例4（E04）设且及均收敛， 证明级数收敛.证 由得 由于与都收敛,故是收敛的,从而由比较判别法知,正项级数也收敛.再由与的收敛性可推知: 级数也收敛.例5 设，证明级数收敛.证 由得因为所以收敛,由比较判别法知收敛.比较判别法及其推论的应用例6（E05）判定下列级数的敛散性:(1) (2) 解 因故 根据极限判别法,知所给级数收敛.因为 根据极限判别法, 知所给级数收敛.比值判别法的应用例7 判别级数的敛散性.解 记采用比较法的极限形式,取因所以原级数与级数具有相同的敛散性,从而知当时，级数收敛;当时，级数发散.例8 判别级数的敛散性.解 选取级数作比较.由可得因级数收敛,所以原级数也收敛.注: 从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项趋向于零的“快慢”程度.根值判别法的应用例9（E06）判别级数的敛散性.解 令由于从而由级数的收敛推知本题所给级数也收敛.例10 级数 当时收敛, 有人说, 因为 故级数收敛. 你认为他的说法对吗?解 不对.前者级数的是一常数与无关,而后者与有关,事实上由级数的发散性,可知级数也发散.例11（E07）判别下列级数的收敛性：(1) ； (2) . 解 故级数收敛.故级数发散.例12（E08）判别级数的敛散性.解 因为而对于级数由比值判别法,因所以级数收敛,从而原级数亦收敛.例13 判别级数的收敛性.解 采用比较判别法,由于所以当时，原级数收敛;当时，原级数发散;当时，比值法失效,但此时注意到:数列严格单调增加,且于是 即 故由此得到所以当时原级数发散.例14(E09(2)判别级数的收敛性.解 一般项含有次方, 故可采用根值判别法.因为故所求级数收敛.例15（E09(1)）判别级数的收敛性：解 因为由根值判别法知题设级数收敛.例16 判别级数的收敛性.解 因为而 故原级数收敛.课堂练习1.设正项级数收敛, 能否推得收敛? 反之是否成立?2.判别下列级数的收敛性达朗贝尔（DAlember Jean Le Rond，17171783）达朗贝尔是法国物理学家、数学家。1717年11月17日生于法国巴黎；1783年10月29日卒于巴黎。达朗贝尔是私生子，出生不久便被母亲遗弃在巴黎的圣.让勒龙教堂的石阶上。后被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的教名。姓氏达朗贝尔是他长大后自己取的。达朗贝尔少年时被父亲送入一个教会学校，主要学习古典文学、修辞学和数学。他对数学特别有兴趣，为后来成为著名数理科学家打下了基础。达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿和当代著名数理科学家们的著作。1739年7月，他完成第一篇学术论文，以后两年内又向巴黎科学院提交了5篇学术报告，这些报告由A.C.克莱洛院士回去复。经过几次联系后，达朗贝尔于1746年提升为数学副院士；1754年提升为终身院士。达朗贝尔的研究工作和论文写作都以快速闻名。他进入科学院后，就以克莱洛作为竞争对手，克莱洛研究的每一个课题，达朗贝尔几乎都要研究，而且尽快发表。多数情况下，达朗贝尔胜过克莱洛。这种竞争一直到克莱洛去世（1765）为止。达朗贝尔终生未婚，但长期与沙龙女主人J.de勒皮纳斯在一起。他的生活与当时哲学们一样，上午到下午工作，晚上去沙龙活动。1765年，达朗贝尔因病离开养父母的家，住到勒皮纳斯小姐处。在她精心照料下恢复了健康，以后就继续住在那里。1776年，勒皮纳斯小姐去世，达朗贝尔非常悲痛；再加上工作的不顺利，他的晚年是在失望中度过的，达朗贝尔去世后被安葬在巴黎市效墓地，由于他的反宗教表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。达朗贝尔是多产科学家，他对力学、数学和天文学的大量课题进行了研究；论文和专著很多，还有大量学术通信。仅1805年和1821年在巴黎出版的达朗贝尔文集就有23卷。达