1.4向量的向量积,向量的混合积

1.4向量的向量积，向量的混合积本节要点：1 .矢量的矢量积和运算法则，坐标运算向量混合积和运算法则，坐标运算1.4.1向量积在物理学中，研究刚体转动问题时，“力矩”是一个重要概念；给定点上的力的力矩指向与力大小相等的矢量，从力的起点到此力的垂直线段的乘积垂直于通过力和作用线的平面，矢量构成了右帧。；。但是，要获得力矩，可以不使用垂直脚。我们在f工作线就职了一点。记录向量，如图所示。垂直于。并仍然构成右手框架。因为=-(，) (或(，)因此，(，)=(，)我们将从得到的方法扩展到普通向量，从而产生新的运算。1.4.1定义了两个非共线矢量：模块和构成每个正弦的乘积、方向和垂直、右帧的矢量。、被称为的向上产品(或外部产品)=或，1: 等于邻近的平行四边形的面积。23360向量，共线先决条件=0。定义可以引入向上乘积的计算法则。1.4.2定理量化满足以下运算法则：(1)=-()(2) =()如果卡：(1)共线，则等式显然成立。现在设定，没有共线、交换、顺序、角度和每个模型都没有变化，所以。根据积定义，和与同时垂直，因此和是共线矢量，而分别是右手框架 o；配置。， o；因此与方向相反。因此=-()(2) 0可设定，且不共线0时，是同一个方向，因此是同一个方向，是同一个方向。另一方面，(，)=(，)=(，)=()因此=() 0时与a相反。因此，与相反，但与()也相反。因此与的方向相同，另一方面与的方向相同=(，)=875;(w-(，)=(，)=()、因此=()相似证词()=()证词完成量化对加法也满足分配规律，留下，再证明。1.4.2向量的混合积定义1.4.3，的向上乘积和的数量乘积()称为的混合乘积。(，)=()混合产品的几何意义通过以下两个定理表示1.4.4定理不是定量的混合积的绝对值等于相对于，平行的6个面的体积。那个符号，构成右手的时候是正数，构成左手的是负数。证词：因为不共面，所以可以构造为共同的起始o，棱镜的平行六面体(图1-26)，它的底面在下面，相邻边的平行四边形，面积s=。它的高h。它的体积v=sh图1-26定义为数量的乘积()=cos=scos其中是与的角度。当；成为右手的时候，0/2，h=cos因此()=sh=v当；左手系统，/2 q，h=cos(-)=-cos，因此()=-sh=-v1.4.5定理3向量，共面的充分条件是(，)=0卡片：设定，共面，平行立方体体积0。()=0相反(，)=0，如果不是共面的，棱镜的平行六面体体积(，)0，矛盾，证词完成。:(，)=(，)=(，)=-(，)现在我们提出并证明馏分符合馏分法。1.5.6清理(=()=证据：第二种方法可以从第一种方法反向交换推进，所以只需要证明第一种方法。因为向量的座标等于与座标向量的数量积，所以问题总结为以下三个方程式：(=()(=()(=()我们只要证明第一个方程的余数完全相似就行了输入(，)=(，)=() ()=()()=(，) (，)=(，) (，)(，)= )卡完成1.4.3分积和混合积的坐标计算首先，坐标矢量具有以下关系：=，k=，=(1)如果有两个矢量=，=，=，=，()(=)() () () ()() () () ()（）每个矢量与自身共线，因此与自身的矢量积累为零，然后利用反交换率，之间的关系，直接推到：=(-)(-)(-)(-)使用决定因素作为表示。(-)、(-)、(-)你可能还记得(2)计算混合积，(4)上面我们都用笛卡尔坐标计算，为了理论需要，推导出用仿射坐标计算的混合积公式设定仿射帧，的三个向量的分解和、，(，(-)()()=() (5)(，)=1，因此公式(4)是公式(5)的特殊情况。1.5.4焚香混合积可以推导出一些几何公式1.计算三角形的面积设置为a(，)、b(，)和c(，)的三个顶点的坐标分别为-，-，-、-，-，-)，这三个坐标分别为X=y=z=因此，ABC=，当前ABC的面积等于相邻边平行四边形面积的一半，即ABC的面积=计算四面体的体积：如果将四个四面体顶点设置为a(，)、b(，)、c(，)、d(，)，则坐标分别为-，-，-、-，-，-、-，-=四面体ABCD的体积是平行立方体的六分之一，因此绝对值为：最后，必须提到上面定义的向量及其代数运算都在空间中。讨论仅限于平面的几何体对象时，可以精确定义平面上的向量及其向量、加法、减法和计数乘法以及数量乘积的运算。这是仅具有两个坐标矢量的平面：x、y和。xoy平面上的点可以讨论空间坐标系的xoy平面上的几何对象，该坐标系可视为空间中所有第三个坐标z=0的所有点的集合。也可以将Xoy平面中的所有矢量视为空间中第三个坐标z=0的所有矢量的集合。因此，空间矢量的上述线性和乘法运算的坐标表达式使相应平面矢量运算的公式为3坐标z=0。练习题1-41，计算以下组中两个矢量的上积(1)3，4，2和3，5，-1(2)1，-3，1和2，-1，32、已知三角形的顶点用于区域。3、已知棱锥体顶点顶点的长度必须从该顶点开始。4、证明：4点共面。5，双粪公式的证明然后问(提示，通过坐标计算证明)。6，拉格朗日方程的证明7、证明：8，设定三