2010年校经管类大学生数学竞赛答案

1 湖州师范学院第八届湖州师范学院第八届 高等数学竞赛试卷高等数学竞赛试卷(经管组经管组)及答案及答案 下属学院专业完整学号姓名成绩 题号一二三四五六总分 分数 一、计算题（每小题一、计算题（每小题 12 分，满分分，满分 60 分）分） 1. 求极限 2 22 sin 0 2 0 ln(1) lim 21 x xx x t dt ee + + . 解原式 2 2 sin 0 2 0 ln(1) lim (1) x x x t dt e + = 2 sin 2 0 43 00 ln(1) sin2 ln(1 sin) limlim 4 x xx t dt xx xx + + = 22 22 00 ln(1 sin)sin1 limlim. 222 xx xx xx + = 2. 设 ln(1) (ln ) x fx x + =, 计算( )f x dx . 解设lntx=, 则 t xe=, 所以 ln(1) ( ) t t e f t e + = 因此( )f x dx = ln(1) ln(1) x xx x e dxe de e + = + 1 ln(1) 1 xx x eedx e = + + ln(1) 1 x xx x e eedx e = + + ln(1)ln(1) xxx eeeC = + (1)ln(1) xx xeeC =+. 3. 设函数( )yy x=由方程 322 2221yyxyx+= 所确定, 试求( )yy x=的驻点, 并判别它是否为极值点. 湖州师院校内高等数学竞赛答案 2010-9-27 2 解对方程两边求导, 可得 2 320yyy yyx yx+=(*) 令0y =,得yx=, 将此代入原方程有 32 210 xx =由此可得唯一驻点1x =. 再对*式求导, 得 22 (32)2(31)()210yyx yyyy+ = 因此 1 (1)0 2 y =,故1x = 是( )yy x=的极小值点. 4. 已知当1x时,2)2( x x与 2 ) 1() 1(+xbxa是等价无穷小,求ba, 的值. 解1 0 2ln1 2 ) 1(2 2ln1 )2( lim ) 1() 1( 2)2( lim 1 2 1 = + + = + + = + baxba xx xbxa x x x x x 所以)2ln1 (2+=a,显然b为任意实常数. 5. 设 33222 3 (11)3ln(11) 2 yxx=+, 求 x y . 解令 32 1xu+=,则 2 3 (1)3ln(1) 2 yuu=+ x u 2 2 3 2 12 (1)2 33 x xx u =+= xu yy= x u 33 2(1)() 21 xx uuu u =+ + 2 13 3(1) 11 xx u uuu uu = += + 2 2 32 3222 131 11 uxxx uuu x = + + . 二、 （满分二、 （满分 20 分）分）设)(xf是连续函数且满足 += x x dttftxexf 0 ,)()()(求 ).(xf 解对 += x x dttftxexf 0 )()()(两边求导得 += x x dttfexf 0 )()( 再两边求导, 得( )( ) x fxef x=+令( )f xy=,得如下微分方程: x eyy= 方程满足初始条件:1, 1 00 = =xx yy 解得 xxx xeeexfy 2 1 4 3 4 1 )(+= 三、 （满分三、 （满分 20 分）分）设函数( )f x 具有一阶连续导数，)0(f存在， 且0)0( =f， 湖州师院校内高等数学竞赛答案 2010-9-27 3 0)0(=f， = = 0 , 0 , )( )( xa x x xf xg (1)确定a，使)(xg处处连续； (2)对以上所确定的a，证明)(xg具有一阶连续导数. 解(1)欲使)(xg处处连续，要求)(xg在0=x处连续,即 0 lim ( ) x g xa = 000 ( )( )(0) lim ( )limlim(0)0 xxx f xf xf ag xf xx = (2) = = . 0 , 0 , 0 , )( )( x x x xf xg 2 000 )( lim 0 )( lim )0()( lim)0( x xf x x xf x gxg g xxx = = = )0( 2 1)0()( lim 2 1 2 )( lim 00 f x fxf x xf xx = = = 于是 = = , 0 , )0( 2 1 , 0 , )()( )( 2 xf x x xfxf x xg 显然，当0x时，)(x g 连续，当0=x时，因为 = = 2 0 2 00 )()( lim )()( lim)( lim x xf x xf x xfxf x xg xxx 2 00 )( lim 0 )0()( lim x xf x fxf xx = 湖州师院校内高等数学竞赛答案 2010-9-27 4 )0( )0( 2 1 )0( 2 1 )0( gfff= = 所以)(x g 在0=x处连续，故)(xg具有一阶连续导数. 四、 （满分四、 （满分 20 分）分）求级数 2 0 ( 1) (1) 2 n n n nn = + 的和. 解 2 020 ( 1) (1)11 (1)()() 222 n nn n nnn nn n n = + =+ 0 112 () 1 23 1 2 n n = = + 设 2 3 20 2 ( )(1) (1) nn nn S xn nxx x = = 则 2 3 2 2 (1) (1) n n x n nx x = = 2 14 (1)() 227 n n n n = = 所以 2 0 ( 1) (1)4222 227327 n n n nn = + =+= 五、 （满分五、 （满分 15 分）分）设函数( , )f x y 连续, 且( , )f x y( , ) D xyf u v dudv=+,其中 D是由曲线 1 y x =和直线1,2xy=所围成. 求( , )f x y . 解( , )f x y 连续, 则( , ) D f x y dxdy 必存在，设( , ) D f x y dxdyA= 则有 ( , )f x yxAy=+ 取D上的二重积分，得 () D AxAy dxdy=+ 即 21 1 1 1 () 42 y A AdyxAy dx=+=+ ， 1 2 A= 1 ( , ) 2 f x yxy=+. 六 、 （ 满 分六 、 （ 满 分 15 分 ）分 ）设( )f x在 区 间 0,1 上 可 微 ， 且 满 足 条 件 湖州师院校内高等数学竞赛答案 2010-9-27 5 1 2 0 (1)2( ),fxf x dx= 试证：存在(0,1) 使( )( )0ff+=. 证明令 ( )( )g xxf x=, 由积分中值定理知: 存在 1 (0, ) 2 使 11 22 00 1 ( )( )( ) 2 xf x dxg x dxg =