2006年考研数学二真题及解析

您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 2006200620062006 年数学二试题分析、详解和评注年数学二试题分析、详解和评注 一、填空题填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （1 1 1 1）曲线 4sin 52cos xx y xx + = 的水平渐近线方程为 （2 2 2 2）设函数 2 3 0 1 sind ,0 ( ) ,0 x tt x f xx ax = = 在0 x=处连续，则a= （3 3 3 3）广义积分 22 0 d (1) x x x + = + . （4 4 4 4）微分方程 (1)yx y x = 的通解是 （5 5 5 5）设函数( )yy x=由方程1eyyx= 确定，则 0 d d x y x = = （6 6 6 6）设矩阵 21 12 A = ，E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE=+，则 =B. 二、选择题：二、选择题：7 7 7 714141414 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7 7 7 7）设函数( )yf x=具有二阶导数，且( )0,( )0fxfx，x为自变量x在点 0 x处的 增量，dyy 与分别为( )f x在点 0 x处对应的增量与微分，若0 x ，则 (A)0dyy.(B)0dyy . (C)d0yy .(D)d0yy . （8 8 8 8）设( )f x是奇函数，除0 x=外处处连续，0 x=是其第一类间断点，则 0 ( )d x f tt 是 （A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数 （C）在0 x=间断的奇函数（D）在0 x=间断的偶函数. （9 9 9 9）设函数( )g x可微， 1( ) ( )e,(1)1,(1)2 g x h xhg + =，则(1)g等于 （A）ln3 1.（B）ln3 1. （C）ln2 1.（D）ln2 1. （10101010）函数 2 12 eee xxx yCCx =+满足的一个微分方程是 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 （A）23 e . x yyyx=（B）23e . x yyy= （C）23 e . x yyyx+=（D）23e . x yyy+= （11111111）设( , )f x y为连续函数，则 1 4 00 d( cos , sin ) df rrr r 等于 （） 2 2 1 2 0 d( , )d x x xf x yy .（B） 2 2 1 2 00 d( , )d x xf x yy . (C) 2 2 1 2 0 d( , )d y y yf x yx .(D) 2 2 1 2 00 d( , )d y yf x yx . （12121212）设( , )( , )f x yx y与均为可微函数，且( , )0 y x y ，已知 00 (,)xy是( , )f x y在约 束条件( , )0 x y=下的一个极值点，下列选项正确的是 (A)若 00 (,)0 x fxy =，则 00 (,)0 y fxy =. (B)若 00 (,)0 x fxy =，则 00 (,)0 y fxy . (C)若 00 (,)0 x fxy ，则 00 (,)0 y fxy =. (D)若 00 (,)0 x fxy ，则 00 (,)0 y fxy . （13131313）设 12 , s 均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是 (A)若 12 , s 线性相关，则 12 , s AAA线性相关. (B)若 12 , s 线性相关，则 12 , s AAA线性无关. (C)若 12 , s 线性无关，则 12 , s AAA线性相关. (D)若 12 , s 线性无关，则 12 , s AAA线性无关. （14141414）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的1倍加到第 2 列得C，记 110 010 001 P = ，则 （） 1 CP AP =.（） 1 CPAP=. （） T CP AP=.（） T CPAP=. 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 三 、解答题：三 、解答题：1515151523232323小题，共小题，共 94949494 分分. . . .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . . . （15151515） （本题满分） （本题满分 10101010 分）分） 试确定,A B C的值，使得 23 e (1)1() x BxCxAxo x+= +， 其中 3 ()o x是当0 x时比 3 x高阶的无穷小. （16161616） （本题满分） （本题满分 10101010 分）分） 求 arcsine d e x x x . （17171717） （本题满分） （本题满分 10101010 分）分） 设区域 22 ( , )1,0Dx y xyx=+， 计算二重积分 22 1 d d . 1 D xy x y xy + + （18181818） （本题满分） （本题满分 12121212 分）分） 设数列 n x满足 11 0,sin(1,2,) nn xxx n + = （）证明lim n n x 存在，并求该极限； （）计算 2 1 1 lim n x n n n x x + . （19191919） （本题满分） （本题满分 10101010 分）分） 证明：当0ab知，函数( )f x单 调增加，曲线( )yf x=凹向，作函数( )yf x=的图形如 右图所示，显然当0 x 时， 00 d()d()0yyfxxfxx = ，故应选(). 【评注评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函 数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解： 0000 ()()( ),yf xxf xfx xxx =+ =，又0 x ， 则 0 ( )()d0yfxfxxy = =，即0dyy . 定义一般教科书均有，类似例题见数学复习指南 （理工类）定义一般教科书均有，类似例题见数学复习指南 （理工类）P.165P.165P.165P.165【例【例 6.16.16.16.1】 ，】 ，P.193P.193P.193P.193 【（） 】【（） 】. . . . 8.【分析分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合 题设条件的特殊函数( )f x去计算 0 ( )( )d x F xf tt=，然后选择正确选项. 【详解详解】取 ,0 ( ) 1,0 x x f x x = = . 则当0 x时， () 222 0 00 11 ( )( )dlimdlim 22 xx F xf ttt txx + = ， 而 0 (0)0lim( ) x FF x =，所以( )F x为连续的偶函数，则选项（）正确，故选（）. 【评注评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择 题，用赋值法求解往往能收到奇效. 符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见 2006200620062006 文登最新模拟试 卷（数学三） （ 文登最新模拟试 卷（数学三） （8 8 8 8）. . . . 9【分析分析】题设条件 1( ) ( )e g x h x + =两边对x求导,再令1x=即可. 【详解详解】 1( ) ( )e g x h x + =两边对x求导,得 1( ) ( )e( ) g x h xg x + =. 上式中令1x=，又(1)1,(1)2hg=，可得 1(1)1(1) 1(1)e(1)2e(1)ln2 1 gg hgg + = ，故选（C）. 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 【评注评注】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第 2 2 2 2 讲第讲第 2 2 2 2节【例节【例 12121212】 ， 数学复习指南 理工类 】 ， 数学复习指南 理工类P.47P.47P.47P.47【例【例 2.42.42.42.4】 ， 数学题型集粹与练习题集理工类】 ， 数学题型集粹与练习题集理工类P.1P.1P.1P.1【典例精析】【典例精析】. . . . 10.【分析分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与 对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根， 然后由特解形式判定非齐次项形式. 【详解详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 12 1,2= . 则对应的齐次微分方程的特征方程为 2 (1)(2)0,20+=+=即. 故对应的齐次微分方程为 20yyy+=. 又*exyx=为原微分方程的一个特解，而1=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端 的非齐次项应具有形式( )exf xC=（C为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D）. 【评注评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握 对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式. 完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第 7 7 7 7 讲第讲第 2 2 2 2节【例节【例 9 9 9 9】和【例】和【例 10101010】 ， 数学 复习指南 】 ， 数学 复习指南P.156P.156P.156P.156【例【例 5.165.165.165.16】 ， 数学题型集粹与练习题集 （理工类）】 ， 数学题型集粹与练习题集 （理工类）P.195P.195P.195P.195（题型演练（题型演练 3 3 3 3）， 考研数学过关基本题型 （理工类） ）， 考研数学过关基本题型 （理工类）P.126P.126P.126P.126【例【例 14141414】及练习】及练习. . . . 11 【分析分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题 设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即 可. 【详解详解】 由题设可知积分区域D如右图所示， 显然是Y 型域，则 原式 2 2 1 2 0 d( , )d y y yf x yx = . 故选（）. 【评注评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形. 完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第 10101010 讲第讲第 2 2 2 2节例节例 4 4 4 4， 数学复习指南 （理工类） ， 数学复习指南 （理工类）P. P. P. P.286286286286【例【例 10.610.610.610.6】 ， 考研数学过关基本题型 （理工类）】 ， 考研数学过关基本题型 （理工类）P.93P.93P.93P.93【例【例 6 6 6 6】及练习】及练习. . . . 【分析分析】 利用拉格朗日函数( , , )( , )( , )F x yf x yx y=+在 000 (,)xy （ 0 是对应 00 ,xy的参数的值）取到极值的必要条件即可. 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 【详解详解】作拉格朗日函数( , , )( , )( , )F x yf x yx y=+， 并记对应 00 ,xy的参数的 值为 0 ，则 000 000 (,)0 (,)0 x y Fxy Fxy = = ， 即 00000 00000 (,)(,)0 (,)(,)0 xx yy fxyxy fxyxy += += . 消去 0 ，得 00000000 (,)(,)(,)(,)0 xyyx fxyxyfxyxy =, 整理得 000000 00 1 (,)(,)(,) (,) xyx y fxyfxyxy xy = .（因为( , )0 y x y ） ， 若 00 (,)0 x fxy ，则 00 (,)0 y fxy .故选（）. 【评注评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法. 相关定理见数学复习指南 （理工类）相关定理见数学复习指南 （理工类）.251.251.251.251 定理定理 1 1 1 1 及及.253.253.253.253条件极值的求法条件极值的求法. . . . 13.【分析分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解详解】 记 12 (,) s B =，则 12 (,) s AAAAB=. 所以，若向量组 12 , s 线性相关，则( )r Bs，从而()( )r ABr Bs，向量组 12 , s AAA也线性相关，故应选(). 【评注评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有 无非零解进行讨论. 完全类似例题及性质见数学复习指南 （理工类）完全类似例题及性质见数学复习指南 （理工类）P. P. P. P.400400400400【例【例 3.73.73.73.7】 ，几乎相同试题见 文登 】 ，几乎相同试题见 文登 2006200620062006最新模拟试卷（数学一）最新模拟试卷（数学一）. . . .（11111111）. . . . 14.【分析分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解详解】由题设可得 110110110110 010,010010010 001001001001 BACBA = ， 而 1 110 010 001 P = ，则有 1 CPAP=.故应选（）. 【评注评注】（） 每一个初等变换都对应一个初等矩阵， 并且对矩阵A施行一个初等行 （列） 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵. （）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见数学复习指南 （理工类）完全类似例题及性质见数学复习指南 （理工类）P. P. P. P.381381381381【例【例 2.192.192.192.19】 ，文登暑期辅导 班线性代数第 】 ，文登暑期辅导 班线性代数第 2 2 2 2 讲例讲例 12.12.12.12. 15.【分析分析】题设方程右边为关于x的多项式，要联想到e x的泰勒级数展开式，比较 x的同次项系数，可得, ,A B C的值. 【详解详解】将ex的泰勒级数展开式 23 3 e1() 26 x xx xo x= +代入题设等式得 23 323 1() 11() 26 xx xo xBxCxAxo x += + 整理得 233 11 1(1)()1() 226 B BxBCxCo xAxo x += + 比较两边同次幂系数得 1 1 0 2 1 0 26 BA BC B C + = += += ，解得 1 3 2 3 1 6 A B C = = = . 【评注评注】 题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时， 要想到用麦克劳林公式或泰勒公式 求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式. 相应公式见数学复习指南理工类相应公式见数学复习指南理工类 P.124P.124P.124P.124 表格表格. . . . 16.【分析分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法. 【详解详解】 2 arcsinee darcsine deearcsineed e 1 e xx xxxxx x x xx = = + 2 1 earcsined 1e xx x x = + . 令 2 1e x t=，则 2 2 1 ln(1),dd 21 t xtxt t = ， 所以 2 2 11111 ddd 1211 1e x xtt ttt = + 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 2 2 1111e1 lnln 212 1e1 x x t C t =+= + + . 【评注评注】 被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时， 要想到用分部 积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换. 本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班高等数学第本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班高等数学第 3 3 3 3 讲第讲第 3 3 3 3 节【例节【例 6 6 6 6】， 数学复习指南理工类 】， 数学复习指南理工类P.79P.79P.79P.79【例【例 3.213.213.213.21】. . . . 17.【分析分析】 由于积分区域D关于x轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简 化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可. 【详解详解】积分区域D如右图所示.因为区域D关于x轴对称， 函数 22 1 ( , ) 1 f x y xy = + 是变量y的偶函数， 函数 22 ( , ) 1 xy g x y xy = + 是变量y的奇函数. 则 1 1 2 22222 00 11ln2 d d2d d2dd 1112 DD r x yx yr xyxyr = + 22 d d0 1 D xy x y xy = + ， 故 222222 11ln2 d dd dd d 1112 DDD xyxy x yx yx y xyxyxy + =+= + . 【评注评注】 只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题， 就要想到考查被积函数或 其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算. 完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第 10101010 讲第讲第 1 1 1 1节例节例 1 1 1 1 和例和例 2 2 2 2， 数学复习 指南 （理工类） ， 数学复习 指南 （理工类）P. P. P. P.284284284284【例【例 10.110.110.110.1】 18.【分析分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明 数列极限的存在. （）的计算需利用（）的结果. 【详解详解】（）因为 1 0 x，则 21 0sin1xx= . 可推得 1 0sin1,1,2, nn xxn + = =，则数列 n x有界. 于是 1 sin 1 nn nn xx xx + =时，） ， 则有 1nn xx + ， 可见数列 n x单 调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x 存在. 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 设lim n n xl =， 在 1 sin nn xx + =两边令n ， 得sinll=， 解得0l=， 即lim0 n n x =. （）因 22 11 1 sin limlim nn xx nn nn nn xx xx + = ，由（）知该极限为1型， 令 n tx=，则,0nt ，而 2 22 sin 1 1 111 1 sin 1 000 sinsinsin limlim 11lim11 t t t t tt t ttt ttt ttt =+=+ ， 又 3 3 233 000 ( ) 1sinsin1 3! lim1limlim 6 ttt t to tt ttt tttt + = . （利用了sinx的麦克劳林展开式） 故 22 11 1 1 6 sin limlime nn xx nn nn nn xx xx + = . 【评注评注】 对于有递推关系的数列极限的证明问题，一般利用单调有界数列必有极限准 则来证明. 完全类似例题见数学复习指南 （理工类）完全类似例题见数学复习指南 （理工类）P. P. P. P.24242424【例【例 1.171.171.171.17例例 1.211.211.211.21】. . . . 19.【分析分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解详解】 令( )sin2cossin2cos,0f xxxxxaaaaaxb=+， 则( )sincos2sincossinfxxxxxxxx=+=+，且( )0f =. 又( )cossincossin0fxxxxxxx= ， （0, sin0 xxx时） ， 故当0axb=，即 sin2cossin2cosbbbbaaaa+. 【评注评注】 本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明.证明数值不等式一般需构造辅助 函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0” ，另一端即为所作辅助函数( )f x，然后求 导验证( )f x的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值） ，作比较即得所证. 本题也可用拉 格朗日中值定理结合函数的单调性证明. 完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学 第完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学 第 8 8 8 8讲第讲第 2 2 2 2 节 【例节 【例 4 4 4 4】 ， 数学复习指南】 ， 数学复习指南 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 （理工类）（理工类）P. P. P. P.314314314314【例【例 12.2512.2512.2512.25】. . . . 20【分析分析】 利用复合函数偏导数计算方法求出 22 22 , zz xy 代入 22 22 0 zz xy += 即可得 （I）.按常规方法解（II）即可. 【详解详解】 （I） 设 22 uxy=+，则 2222 ( ),( ) zxzy f uf u xy xyxy = + . 2 22 22 2 222 2222 ( )( ) x xy xyzxx fuf u xxy xyxy + + =+ + + () 22 3 22 22 2 ( )( ) xy fuf u xy xy =+ + + ， () 222 3222 22 2 ( )( ) zyx fuf u yxy xy =+ + + . 将 22 22 , zz xy 代入 22 22 0 zz xy += 得 ( ) ( )0 f u fu u +=. （II） 令( )f up=，则 dd 0 ppu p upu + = ，两边积分得 1 lnlnlnpuC= +，即 1 C p u =，亦即 1 ( ) C f u u =. 由(1)1f=可得 1 1C=.所以有 1 ( )f u u =，两边积分得 2 ( )lnf uuC=+， 由(1)0f=可得 2 0C=，故( )lnf uu=. 【评注评注】 本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求 解. 完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学 第完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学 第 8 8 8 8讲第讲第 1 1 1 1 节 【例节 【例 8 8 8 8】 ， 数学复习指南 （理工类） 】 ， 数学复习指南 （理工类）P. P. P. P.336336336336【例【例 12.1412.1412.1412.14】,P.337,P.337,P.337,P.337【例【例 12.1512.1512.1512.15】 21. 【分析分析】（I） 利用曲线凹凸的定义来判定； （II） 先写出切线方程， 然后利用( 1,0) 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 在切线上 ； （III）利用定积分计算平面图形的面积. 【详解详解】 （I）因为 d ddd422 d 2 ,421 d ddd2 d y xyyt t tt x ttxtt t = 2 223 ddd1211 0,(0) d ddd2 d yy t x xtxttt t = = 故曲线L当0t时是凸的. （II）由（I）知，切线方程为 2 01 (1)yx t =+ ，设 2 00 1xt=+， 2 000 4ytt=， 则 22 000 0 2 41 (2)ttt t =+ ，即 232 0000 4(2)(2)tttt=+ 整理得 2 00000 20(1)(2)01, 2(ttttt+=+= 舍去）. 将 0 1t=代入参数方程，得切点为（2，3） ，故切线方程为 2 31 (2) 1 yx = ，即1yx=+. （III）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为 (1,0), (2,0), (2,3),( 1,0)ABCD， 设L的方程( )xg y=， 则() 3 0 ( )(1)dSg yyy= 由参数方程可得 24ty=，即 () 2 241xy=+. 由于（2，3）在L上，则 () 2 ( )24192 4xg yyyy=+ =.于是 () 3 0 94 4(1) dSyyyy = 33 00 (102 )d44dyyy y= ()() 3 233 2 00 87 104 33 yyy=+=. 【评注评注】 本题为基本题型，第 3 问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐 标方程求解. 完全类似例题和公式见数学复习指南 （理工类）完全类似例题和公式见数学复习指南 （理工类）P. P. P. P.187187187187【例【例 6.406.406.406.40】. . . . 您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问 22【分析分析】 （I）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明； （II）利用初等变换求 矩阵A的秩确定参数,a b，然后解方程组. 【详解详解】 （I） 设 123 , 是方程组Ax=的 3 个线性无关的解，其中 11111 4351 ,1 131 A ab = . 则有 1213 ()0,()0AA=. 则 1213 , 是对应齐次线性方程组0Ax=的解，且线性无关.（否则，易推出 123 , 线性相关，矛盾）. 所以( )2nr A，即4( )2( )2r Ar A. 又矩阵A中有一个 2 阶子式 11 10 43 = ，所以( )2r A. 因此( )2r A=. （II）因为 111111111111 435101150115A abaabaaba = + . 又( )2r A=，则 4202 4503 aa bab = += . 对原方程组的增广矩阵A施行初等行变换， 1111110242 4351101153 2133100000 A = ， 故原方程组与下面的方程组同解. 134 234 242 53 xxx x