2014年考研高数一真题及解析

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 1 页 2014 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题数学试题答案及答案及评分评分参考参考 数数 学（一）学（一） 一选择题一选择题 ( 1 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有下列每题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的 ) (1) 下列曲线中有渐近线的是 （C） （A）sinyxx （B） 2 sinyxx （C） 1 sinyx x （D） 2 1 sinyx x (2) 设函数( )f x具有 2 阶导数，( )(0)(1)(1)g xfxfx，则在区间0,1上 （D） （A）当( )0fx 时，( )( )f xg x （B）当( )0fx 时，( )( )f xg x （C）当( )0fx时，( )( )f xg x （D）当( )0fx时，( )( )f xg x (3) 设( , )f x y是连续函数，则 2 11 01 ( , ) y y dyf x y dx （D） （A） 2 1101 0010 ( , )( , ) xx dxf x y dydxf x y dy （B） 2 1100 0011 ( , )( , ) x x dxf x y dydxf x y dy （C） 1 1 2cossin 000 2 ( cos , sin )( cos , sin )df rrdrdf rrdr （D） 1 1 2cossin 000 2 ( cos , sin )( cos , sin )df rrrdrdf rrrdr (4) 若 22 11 , (cossin )min(cossin ) a b R xaxbx dxxaxbx dx ，则 11 cossinaxbx （A） (A)2sin x (B)2cosx (C) 2 sinx (D)2 cosx (5) 行列式 00 00 00 00 ab ab cd cd （B） 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 2 页 （A） 2 ()adbc （B） 2 ()adbc （C） 2222 a db c （D） 2222 b ca d (6) 设 123 , 均为 3 维向量，则对任意常数, k l，向量组 13 k， 23 l线性无关是 向量组 123 , 线性无关的 （A） （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件 (7) 设随机事件 A 与 B 相互独立，( )0.5P B ，()0.3P AB，则()P BA （B） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 (8) 设连续型随机变量 1 X与 2 X相互独立且方差均存在， 1 X与 2 X的概率密度分别为 1( ) f x 与 2( ) f x， 随 机 变 量 1 Y的 概 率 密 度 为 1 12 1 ( )( )( ) 2 Y fyf yfy， 随 机 变 量 212 1 () 2 YXX，则 （B） （A） 1212 ,EYEY DYDY （B） 1212 ,EYEY DYDY （C） 1212 ,EYEY DYDY （D） 1212 ,EYEY DYDY 二、填空题二、填空题： （9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，分，共共 24 分分.） (9) 曲面 22 (1 sin )(1 sin )zxyyx在点(1,0,1)处的切平面方程为21xyz (10) 设( )f x是周期为 4 的可导奇函数，且( )2(1),0,2fxxx，则(7)f 1 (11) 微分方程(lnln )0 xyyxy满足条件 3 (1)ye的解为y 21x xe (12) 设L是柱面 22 1xy与平面0yz的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针 方向，则曲线积分 L zdxydz (13) 设二次型 22 123121 323 ( ,)24f x x xxxax xx x的负惯性指数为 1，则a的取值范围 是2,2 (14) 设 总 体X的 概 率 密 度 为 2 2 ,2 ( ; )3 0, x x f x 其他 ， 其 中是 未 知 参 数 ， 12 , n X XX为来自总体X的简单随机样本.若 2 1 n i i cX 是 2 的无偏估计，则c= 2 5n 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 3 页 三、解答题三、解答题： （15 23 小题，小题，共共 94 分分.） (15)（本题满分（本题满分 10 分）分） 求极限 1 2 1 2 (1) lim 1 ln(1) t x x tet dt x x 解：解：原式 1 2 1 2 1 ( (1) limlim(1) t x x xx tet dt x ex x 5 分 1 2 0 1 lim x uu u eu u 令 7 分 0 11 lim 22 u u e u 10 分 (16)（本题满分（本题满分 10 分）分） 设函数( )yf x由方程 322 60yxyx y 确定，求( )f x的极值 解：解：在 322 60yxyx y 两端关于x求导，得 222 32 20y yyxyyxyx y. 3 分 令0y 得2yx 或0y （不适合方程，舍去）. 将2yx 代入方程得 3 660 x，解得1,(1)2xf 7 分 在 222 32 20y yyxyyxyx y两端关于x求导，得 222 (32) 2(3)( )4() 20yxyxyyx yyx yy. 求得 4 (1)0 9 f .所以1x 是函数( )f x的极小值点，极小值为(1)2f 10 分 (17)（本题满分（本题满分 10 分）分） 设函数( )f u具有 2 阶连续导数，(cos ) x zf ey满足 22 2 22 (4cos ) xx zz zey e xy 若(0)0,(0)0f f ，求( )f u的表达式 解：解：因 2 22 2 (cos )cos ,(cos )cos(cos )cos xxxxxx zz f ey eyfey eyf ey ey xx ； 2 22 2 (cos )sin ,(cos )sin(cos )cos xxxxxx zz f ey eyfey eyf ey ey yy ； 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 4 页 所以 22 2 22 (4cos ) xx zz zey e xy 化为 22 (cos )4 (cos )cos xxxxx fey ef eyey e. 从而函数( )f u满足方程( )4 ( )fuf uu. 5 分 方程对应的齐次方程的通解为 22 12 ( ) uu f uCeC e. 方程的一个特解为 4 u ，故方程的通解为 22 12 ( ) 4 uu u f uCeC e. 8 分 由(0)0,(0)0f f 得 12 12 0, 1 220, 4 CC CC 解得 12 11 , 1616 CC 故 22 1 ( )4 16 uu f ueeu 10 分 (18)（本题满分（本题满分 10 分）分） 设为曲面 22( 1)zxy z的上侧，计算曲面积分 33 (1)(1)(1)Ixdydzydzdxzdxdy . 解：解：设 1 为平面1z 上被 22 1 1 xy z 所围部分的下侧， 1 与所围成的空间区域记 为，则 1 3322 (1)(1)(1)3(1)3(1)1xdydzydzdxzdxdyxydxdydz 3 分 由于 1 33 (1)(1)(1)0 xdydzydzdxzdxdy ，0 xdxdydzydxdydz 所以 22 (337)Ixydxdydz . 6 分 2 2111 22222 000 (337)(37)2(1)(37)4 r xydxdydzddrrrdzrrrdr , 于是4I . 10 分 (19)（本题满分（本题满分 10 分）分） 设数列 , nn ab满足0,0 22 nn ab ，coscos nnn aab，且级数 1 n n b 收敛 (I) 证明：lim0 n n a ； (II) 证明：级数 1 n n n a b 收敛 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 5 页 证明证明：(I) 因为coscos nnn aba，且0,0 22 nn ab ，所以0 nn ab. 又因为 1 n n b 收敛，所以lim0 n n b ，故lim0 n n a 5 分 (II) 因 22 1 cos111 limlimlimlim 1 cos21 cos21 cos2 nnnnn nnnn nnnnnn abaaa bbbbaa ， 且级数 1 n n b 收敛，所以级数 1 n n n a b 收敛 10 分 (20)（本题满分（本题满分 11 分）分） 设 1234 0111 1203 A，E为 3 阶单位矩阵 (I) 求方程组 0Ax的一个基础解系； (II) 求满足ABE的所有矩阵B 解：解：(I) 对矩阵A施以初等行变换 12341001 01110102 12030013 A， 则方程组 0Ax的一个基础解系为( 1231)T ， ， ， 4 分 (II) 对矩阵(|)A E施以初等行变换 12341001001261 (|)01110100102131 12030010013141 A E. 7 分 记 123 ( ,)Ee e e，则 1 Axe的通解为 1 (2110)Tk ， ， ，x， 1 k为任意常数； 2 Axe的通解为 2 (6340)Tk， ， ，x， 2 k为任意常数； 3 Axe的通解为 3 ( 1110)Tk ， ， ，x， 3 k为任意常数； 9 分 于是，所求矩阵为 123 261 131 (,) 141 000 kkk B，其中 1 k， 2 k， 3 k为任意常数 11 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 6 页 (21)（本题满分（本题满分 11 分）分） 证明n阶矩阵 1 11 1 11 1 11 与 001 002 00n 相似 证证明明：设A 1 11 1 11 1 11 ，B 001 002 00n 因为 1 111 111 () 111 n n EA ， 1 01 02 () 00 n n n EB ， 所以A与B有相同的特征值 12 ,0(1)nn 重. 6 分 由于A为实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵 0 0 n ； 因为 2 ()( )1rrEBB，所以B对应于特征值 2 0有1n个线性无关的特征向量， 于是B也相似于. 故A与B相似. 11 分 (22)（本题满分（本题满分 11 分）分） 设随机变量X的概率分布为 1 12 2 P XP X，在给定Xi的条件下，随机 变量Y服从均匀分布(0, ),1,2Ui i (I) 求Y的分布函数( ) Y Fy； (II) 求.EY 解：解：(I) ( )()1 |12 |2 Y F yP YyP XP Yy XP XP Yy X 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 7 页 1 |1|2 2 P Yy XP Yy X. 当0y 时，( )0 Y Fy ；当01y时， 3 ( ) 4 Y Fyy；当12y时， 1 ( ) 24 Y y Fy ； 当2y 时，( )1 Y F y 所以Y的分布函数为 0,0 3 ,01 4 ( ) 1 ,12 24 1,2 Y y yy Fy y y y . 7 分 (II) 随机变量Y的概率密度为 3 ,01 4 1 ( )12 4 0, Y y fyy 其他 ， 12 01 313 ( ) 444 Y EYyfy dyydyydy 11 分 (23)（本题满分（本题满分 11 分）分） 设总体X的分布函数为 2 1,0 ( ; ) 0,0 x ex F x x ，其中是未知参数且大于零， 12 , n X XX为来自总体X的简单随机样本. (I) 求EX与 2 EX； (II) 求的最大似然估计量 n (III) 是否存在实数a，使得对任何0，都有 lim0 n n Pa ？ 解：解：(I) 总体X的概率密度为 2 2 ,0 ( ; ) 0,0 x x ex f x x ， 2222 000 21 22 xxxx x EXxedxxdeedxedx ； 2 22 00 2 x u x EXxedxue du . 4 分 (II) 设 12 , n x xx为样本观测值，似然函数为 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 8 页 2 1 1 12 12 1 2 ,0 ( )( ) 0, n i i n x n n n n i i x xx ex xx Lf x 其他 当 12 ,0 n x xx 时， 2 11 1 Ln( )ln2lnln nn ii ii Lnxnx ， 令 2 2 1 ln ( )1 0 n i i dLn x d ，得的最大似然估计值为 n 2 1 1 n i i x n ，从而的最 大似然估计量为 2 1 1 n ni i X n ； 9 分 (III) 存在a. 因为 2 n X是独立同分布的随机变量序列，且 2 i EX， 所以根据辛钦大数定律，当n时， n 2 1 1 n i i X n 依概率收敛于 2 1 EX，即. 所以对任何0都有 lim0 n n Pa 11 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 9 页 数数 学（二）学（二） 一选择题一选择题 ( 1 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个下列每题给出的四个选项中，只有选项中，只有 一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的 ) (1) 当0 x 时， 若ln (1 2 ) x , 1 (1 cos )x 均是比x高阶的无穷小， 则的取值范围是 （B） (A) (2,) (B) (1,2) (C) 1 ( ,1) 2 (D) 1 (0, ) 2 (2) 【 同数学一 第（1）题 】 (3) 【 同数学一 第（2）题 】 (4) 曲线 2 2 7, 41 xt ytt 上对应于1t 的点处的曲率半径是 （C） (A) 10 50 (B) 10 100 (C) 10 10 (D) 5 10 (5) 设函数( )arctanf xx，若( )( )f xxf，则 2 2 0 lim x x （D） (A) 1 (B) 2 3 (C) 1 2 (D) 1 3 (6) 设函数( , )u x y在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 2 0 u x y 及 22 22 0 uu xy ，则 （A） (A) ( , )u x y的最大值和最小值都在 D 的边界上取得； (B) ( , )u x y的最大值和最小值都在 D 的内部取得； (C) ( , )u x y的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得； (D) ( , )u x y的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得 (7) 【 同数学一 第（5）题 】 (8) 【 同数学一 第（6）题 】 二、填空题： （二、填空题： （9 9 1414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分分. .） (9) 1 2 1 25 dx xx 3 8 (10) 【 同数学一 第（10）题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 10 页 (11) 设( , )zz x y是由方程 22 7 4 yz exyz确定的函数，则 1 1 ( , ) 2 2 |dz 1 () 2 dxdy (12) 曲线L的极坐标方程为r，则L在点( , ), 2 2 r 处的切线的直角坐标方程为 2 0 2 xy (13) 一根长为 1 的细棒位于x轴的区间0,1上，若其线密度 2 ( )21xxx，则该细 棒的质心坐标x 11 20 (14) 【 同数学一 第（13）题 】 三、解答题（三、解答题（15 23 小题，共小题，共 94 分分.） (15)（本题满分（本题满分 10 分）分） 【 同数学一 第（15）题 】 (16)（本题满分（本题满分 10 分）分） 已知函数( )yy x满足微分方程 22 1xy yy ，且(2)0y，求( )y x的极大值与 极小值 解：解：由 22 1xy yy ，得 2 2 1 1 x y y . 令0y ，得1x . 当1x 时，0y ；当11x 时，0y ；当1x 时，0y . 因此1x 为极小值点，1x 为极大值点. 5 分 将原方程分离变量后得 22 (1)(1)y dyx dx，其通解为 33 33xyxyC. 又(2)0y，得2C . 故 33 332xyxy. 所以，( )y x的极小值为( 1)0y ，( )y x的极大值为(1)1y. 10 分 (17)（本题满分（本题满分 10 分）分） 设平面区域 22 ( , )|14,0,0Dx yxyxy 计算 22 sin() D xxy dxdy xy . 解：解： 22 sin() D xxy dxdy xy 2 2 01 cos .sin cossin drrdr 4 分 222 000 cossin1cossin cossincossin2cossin4 ddd ， 7 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 11 页 2 2 1 1 113 sin(cossin)rrdrrrr ， 故 22 sin()3 4 D xxy dxdy xy . 10 分 (18)（本题满分（本题满分 10 分）分） 【 同数学一 第（17）题 】 (19)（本题满分（本题满分 10 分）分） 设函数( ), ( )f x g x在区间, a b上连续，且( )f x单调增加，0( )1g x，证明： (I) 0( ), x a g t dtxaxa b ； (II) ( ) ( )( ) ( ) b a ag t dtb aa f x dxf x g x dx 证证明明：(I) 因为0( )1g x，所以当,xa b时，有0( )1 xxx aaa dxg t dtdt ，即 0( ) x a g t dtxa 3 分 (II) 令 ( ) ( )( )( ) ( ) x a ag u dux aa F xf t dtf t g t dt ，,xa b. 因为( ), ( )f x g x在区间, a b上连续，所以( )F x在区间, a b上可导，且 ( )( )( )( ) x a F xf ag u duf xg x . 7 分 由 (I) 知，( ) x a ag u dux ，又因为( )f x单调增加，且( )0g x ，所以( )0F x， 从而( )F x在区间, a b上单调减少.又( )0F a ，故( )0F b ，即 ( ) ( )( ) ( ) b a ag t dtb aa f x dxf x g x dx 10 分 (20)（本题满分（本题满分 11 分）分） 设函数( ),0,1 1 x f xx x ，定义函数列： 1( ) ( )f xf x， 21 ( )( )fxff x， 1 ,( )( ), nn f xf fx 设 n S是由曲线( ) n yf x，直线1x 及x轴所围平面图形的面积求极限lim n n nS 解：解： 1 21 1 ( ) 1 ( )( ) 1( )12 1 1 x f xx x fxf f x x f xx x ； 2 32 2 ( ) ( )( ) 1( )1 3 fxx fxf fx fxx ； 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 12 页 由数学归纳法得( )(1,2,3) 1 n x fxn nx . 4 分 于是 11 2 00 111ln(1) (1) 11 n xn Sdxdx nxnnxnn . 9 分 故 ln(1) limlim 11 n nn n nS n 11 分 (21)（本题满分（本题满分 11 分）分） 已知函数( , )f x y满足2(1) f y y ，且 2 ( , )(1)(2)lnf y yyyy，求曲线 ( , )0f x y 所围图形绕直线1y 旋转所成旋转体的体积 解：解：由2(1) f y y ，得 2 ( , )(1)( )f x yyg x 又 2 ( , )(1)(2)lnf y yyyy，得( )(2)lng yyy ， 因此 2 ( , )(1)(2)lnf x yyxx 4 分 于是曲线( , )0f x y 的方程为 2 (1)(2)ln ,(12)yxxx. 其所围图形绕直线1y 旋转所成旋转体的体积 2 2 1 (1)Vydx . 7 分 2 2 22 1 1 11 (2)ln(2) ln22ln 24 xxdxxxxxx 5 (2ln2) 4 11分 (22)（本题满分（本题满分 11 分）分） 【 同数学一 第（20）题 】 (23)（本题满分（本题满分 11 分）分） 【 同数学一 第（21）题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 13 页 数数 学（学（三三） 一选择题一选择题 ( 1 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.下列每题给出的四个选项中，只有下列每题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的 ) (1) 设lim, n n aa 且0,a 则当n充分大时有 （A） （A） 2 n a a （B） 2 n a a （C） 1 n aa n （D） 1 n aa n (2)【 同数学一 第（1）题 】 (3) 设 23 ( )p xa bxcxdx，当0 x 时，若( ) tanp xx是比 3 x高阶的无穷小，则下 列选项中错误 的是 （D） （A）0a （B）1b （C）0c （D） 1 6 d (4)【 同数学一 第（2）题 】 (5)【 同数学一 第（5）题 】 (6)【 同数学一 第（6）题 】 (7)【 同数学一 第（7）题 】 (8) 设 123 ,XXX为来自正态总体 2 (0,)N的简单随机样本，则统计量 12 3 2 XX S X 服从 的分布为 （C） （A）(1,1)F （B）(2,1)F （C）(1)t （D）(2)t 二、填空题：二、填空题： （9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，分，共共 24 分分.） (9) 设某商品的需求函数为402QP（P 为商品的价格） ， 则该商品的边际收益为20Q. (10) 设 D 是由曲线10 xy 与直线0yx及2y 围成的有界区域，则 D 的面积为 3 ln2 2 . (11) 设 2 0 1 4 a x xe dx ，则a 1 2 (12) 二次积分 2 211 0 () x y y e dyedx x 1 2 e 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘2014 年数学试题答案及评分参考 2014 年 第 14 页 (13)【 同数学一 第（13）题 】 (14) 设 总 体X的 概 率 密 度 为 2 2 2 ( ;)3 0 x x f x 其它 ， 其 中是 未 知 参 数 , 12 ,., n X XX为来自总体X的简单随机样本.若 22 1 n i i E cX ，则c= 2 5n 三、三、解答题：解答题： （1523 小题，共小题，共 94 分分.） (15)（本题满分（本题满分 10 分）分） 【 同数学一 第（15）题 】 (16)（本题满分（本题满分 10 分）分） 【 同数学二 第（17）题 】 (17)（本题满分（本题满分 10 分）分） 设函数( )f u具有连续导数，(cos ) x zf ey满足cossin(4cos ) xx zz yyzey e xy ， 若(0)0f，求( )f u的表达式. 解解： 因为(cos )cos xx z f ey ey x ；(cos )sin xx z f ey ey y ； 2 分 所以cossin(4cos ) xx zz yyzey e xy 化为(cos )4 (cos )cos xxxxx f ey ef eyey e， 即函数( )f u满足方程( )4 ( )f u