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试卷第 1页,总 13页 20152015 年高考文科数学试卷全国卷年高考文科数学试卷全国卷(解析版)(解析版) 1已知集合 | 12Axx , |03Bxx ,则AB () A 1,3 B 1,0 C 0,2 D 2,3 【答案】A 【解析】 因为 | 12Axx , |03Bxx ,所以 | 13 .ABxx 故选 A. 考点:本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2若为a实数,且 2i 3i 1 i a ,则a () A4B3C3D4 【答案】D 【解析】由题意可得 2i1 i3 i24i4aa ,故选 D. 考点:本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念. 3根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨) 柱形图,以下结论中不正确的是() A逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D 【解析】由柱形图可知 2006 年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势, 所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选 D. 考点:本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解 4已知 1, 1a , 1,2 b ,则(2)aba() A1B0C1D2 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 可 得 2 1 12 a,123, a b所 以 2 22431 abaaa b .故选 C. 考点:本题主要考查向量数量积的坐标运算. 试卷第 2页,总 13页 5设 n S是等差数列 n a的前n项和,若 135 3aaa,则 5 S () A5B7C9D11 【答案】A 【解析】 试题解析:由 13533 331aaaaa,所有 15 53 5 55 2 aa Sa .故选 A. 考点:本题主要考查等差数列的性质及前 n 项和公式的应用. 6一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去 部分体积与剩余部分体积的比值为() 1 A. 8 1 B. 7 1 C. 6 1 D. 5 【答案】D 【解析】 试题分析: 如图所示, 截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的 1 6 , 剩余部分体积是正方体体积的 5 6 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值 为 1 5 ,故选 D. 考点:本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 7已知三点(1,0),(0, 3),(2, 3)ABC,则ABC外接圆的圆心到原点的距离 为() 5 A. 3 21 B. 3 2 5 C. 3 4 D. 3 【答案】B 【解析】 试题分析:ABC外接圆圆心在直线 BC 垂直平分线上即直线1x 上,设圆 试卷第 3页,总 13页 心D 1,b ,由DA=DB得 2 2 2 13 3 bbb,所以圆心到原点的距离 2 2 2 221 1 33 d . 故选 B. 考点:本题主要考查圆的方程的求法,及点到直线距离公式. 8下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更 相减损术” ,执行该程序框图,若输入的, a b分别为 14,18,则输出的a为 () A.0B.2C.4D.14 【答案】B 【解析】 试题分析:由题意可知输出的 a 是 18,14 的最大公约数 2,故选 B. 考点:本题主要考查程序框图及更相减损术. 9已知等比数列 n a满足 1 1 4 a , 354 41a aa ,则 2 a () A.2B.1 1 C. 2 1 D. 8 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 可 得 2 35444 412a aaaa , 所 以 3 4 1 82 a qq a ,故 21 1 2 aa q,选 C. 考点:本题主要考查等比数列性质及基本运算. 10已知BA,是球O的球面上两点,90AOB,C为该球面上的动点.若三 棱锥ABCO体积的最大值为 36,则球O的表面积为() A.36B.64C.144D.256 【答案】C 【解析】 试题分析:设球的半径为 R,则AOB 面积为 2 1 2 R,三棱锥OABC体积最大 时,C 到平面 AOB 距离最大且为 R,此时 3 1 366 6 VRR,所以球 O 的表 试卷第 4页,总 13页 面积 2 4144SR.故选 C. 考点:本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力. 11如图,长方形的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运 动,记BOPx,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f x ,则 的图像大致为() 【答案】B 【解析】 试题分析:由题意可得 2 2,51 2424 ffff ,由此可 排 除C,D ; 当 0 4 x时 点P在 边BC上 ,tanPBx, 222 4tanPAABPBx, 所 以 2 tan4fxxtan x , 可 知 0, 4 x 时图像不是线段,可排除 A,故选 B. 考点:本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力. 12 设函数 2 1 ( )ln(1 |) 1 f xx x ,则使得( )(21)f xfx成立的x的取值范 围是() A 1 ,1 3 B 1 ,1, 3 C 1 1 , 3 3 D 11 , 33 【答案】A 【解析】 试题分析: 由 2 1 ( )ln(1 |) 1 f xx x 可知 f x 是偶函数,且在 0, 是增函 数,所以 试卷第 5页,总 13页 2 2 1 212121211 3 fxfxfxfxxxxxx .故选 A. 考点:本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法. 13已知函数 3 2f xaxx 的图像过点(-1,4),则 a= 【答案】-2 【解析】 试题分析:由 3 2f xaxx 可得 1242faa . 考点:本题主要考查利用函数解析式求值. 14若 x,y 满足约束条件 50 210 210 xy xy xy ,则 z=2x+y 的最大值为 【答案】8 【解析】 试题分析:不等式组 50 210 210 xy xy xy 表示的可行域是以 1,1 , 2,3 , 3,2 为顶点 的三角形区域,2zxy的最大值必在顶点处取得,经验算,3,2xy时 max 8z. 考点:本题主要考查线性规划知识及计算能力. 15已知双曲线过点 4, 3,且渐近线方程为 1 2 yx ,则该双曲线的标准方 程为 【答案】 2 2 1 4 x y 【解析】 试题分析:根据双曲线渐近线方程为 1 2 yx ,可设双曲线的方程为 2 2 4 x ym,把 4, 3代入 2 2 4 x ym得1m.所以双曲线的方程为 2 2 1 4 x y. 考点:本题主要考查双曲线几何性质及计算能力. 16已知曲线lnyxx在点 1,1 处的切线与曲线 2 21yaxax 相 切,则 a= 【答案】8 试卷第 6页,总 13页 【解析】 试题分析:由 1 1y x 可得曲线 lnyxx在点 1,1 处的切线斜率为 2,故切 线方程为21yx,与 2 21yaxax 联立得 2 20axax,显然 0a ,所以由 2 808aaa . 考点:本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. 17 (本小题满分 12 分)ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分BAC,BD=2DC. ()求 sin sin B C ; ()若60BAC ,求B. 【答案】 () 1 2 ; ()30. 【解析】 试题分析: ()利用正弦定理转化得: sin1 . sin2 BDC CBD ()由诱导公式 可 得 31 sinsincossin. 22 CBACBBB由 ( ) 知 2sinsinBC, 所以 3 tan,30 . 3 BB 试题解析: ()由正弦定理得, sinsinsinsin ADBDADDC BBADCCAD 因为 AD 平分BAC,BD=2DC,所以 sin1 . sin2 BDC CBD . ()因为 180,60 ,CBACBBAC 所 以 31 sinsincossin. 22 CBACBBB由 ( I ) 知 2sinsinBC, 所以 3 tan,30 . 3 BB 考点:本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换 能力及运算能力. 18 (本小题满分 12 分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两 地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布 表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图 试卷第 7页,总 13页 B 地区用户满意度评分的频率分布表 满意度评分分 组 50,60)50,60)50,60)50,60)50,60) 频数2814106 ()在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此 图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出 结论即可) B 地区用户满意度评分的频率分布直方图 ()根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级: 满意度评 分 低于 70 分70 分到 89 分 不 低 于 90 分 满意度等 级 不满意满意非常满意 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 【答案】 ()见试题解析()A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率 大. 【解析】 试题分析: ()通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用 户满意度评分比较集中,而 A 地区用户满意度评分比较分散.(II)由直方图 得 A P C 的估计值为0.6, B P C 的估计值为0.25.,所以 A 地区的用户的满 意度等级为不满意的概率大. 试卷第 8页,总 13页 试题解析: () 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度 评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比 较集中,而 A 地区用户满意度评分比较分散. ()A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 记 A C表示事件“A 地区的用户的满意度等级为不满意” ; B C表示事件“B 地 区的用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得 A P C 的估计值为 0.01 0.020.03100.6 , B P C 的估计值为 0.0050.02100.25. , 所以 A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 考点:本题主要考查频率分布直方图及概率估计. 19 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 长 方 体 1111 ABCDABC D中 AB=16,BC=10, 1 8AA ,点 E,F分别在 1111 ,AB DC上, 11 4.AED F过点 E,F的 平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. ()在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; ()求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】 ()见试题解析() 9 7 或 7 9 【解析】 试题分析: ()分别在,AB CD上取 H,G,使10AHDG;长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱,可求得其体积比值为 9 7 或 7 9 试题解析: 解: ()交线围成的正方形EHGF如图: 试卷第 9页,总 13页 ()作,EMAB垂足为 M,则 1 4AMAE, 1 12EB , 1 8EMAA,因 为EHGF是正方形,所以10EHEFBC,于是 22 6,10,6.MHEHEMAHHB因为长方体被平面分成两个高 为 10 的直棱柱,所以其体积比值为 9 7 ( 7 9 也正确). 考点:本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算. 20 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 2 , 点 2,2在 C 上. ()求 C 的方程; ()直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值. 【答案】 () 22 22 1 84 xy ()见试题解析 【解析】 试题分析: ()由 22 22 242 ,1, 2 ab aab 求得 22 8,4ab,由此可得 C 的方程.(II)把直线方程与椭圆方程联立得 222 214280.kxkbxb, 所以 12 22 2 , 22121 MMM xxkbb xykxb kk 于是 1 , 2 M OM M y k xk 1 2 OM kk . 试题解析: 解: ()由题意有 22 22 242 ,1, 2 ab aab 解得 22 8,4ab,所以椭圆 C 的方程为 22 22 1 84 xy . ()设直线 :0,0l ykxb kb , 1122 , MM A x yB xyM xy ,把 试卷第 10页,总 13页 ykxb代入 22 22 1 84 xy 得 222 214280.kxkbxb 故 12 22 2 , 22121 MMM xxkbb xykxb kk 于 是 直 线 OM 的 斜 率 1 , 2 M OM M y k xk 即 1 2 OM kk ,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为 定值. 考点:本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力. 21(本小题满分 12 分)已知 ln1f xxax . ()讨论 f x 的单调性; ()当 f x 有最大值,且最大值大于22a时,求 a 的取值范围. 【答案】 ()0a , f x 在 0, 是单调递增;0a , f x 在 1 0, a 单调 递增,在 1 , a 单调递减;() 0,1 . 【解析】 试题分析: ()由 1 fxa x ,可分0a ,0a 两种情况来讨论;(II) 由(I)知当0a 时 f x 在 0, 无最大值,当0a 时 f x 最大值为 1 ln1.faa a 因此 1 22ln10faaa a .令 ln1g aaa ,则 g a 在 0, 是增函数,当01a时, 0g a ,当 1a 时 0g a ,因此 a 的取值范围是 0,1 . 试题解析: () f x 的定义域为 0, , 1 fxa x ,若0a ,则 0fx , f x 在 0, 是单调递增;若0a ,则当 1 0,x a 时 0fx ,当 1 ,x a 时 0fx ,所以 f x 在 1 0, a 单调递增,在 1 , a 单调递减. () 由 () 知当0a 时 f x 在 0, 无最大值,当0a 时 f x 在 1 x a 试卷第 11页,总 13页 取 得 最 大 值 , 最 大 值 为 111 ln1ln1.faaa aaa 因 此 1 22ln10faaa a .令 ln1g aaa ,则 g a 在 0, 是增 函数, 10g ,于是,当01a时, 0g a ,当1a 时 0g a ,因此 a 的取 值范围是 0,1 . 考点:本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想. 22(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底 边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. ()证明EFBC; ()若 AG 等于圆 O 半径,且2 3AEMN,求四边形 EBCF 的面积. 【答案】 ()见试题解析;()16 3 3 【解析】 试题分析: ()要证明EFBC, 可证明,ADBCADEF; ()先求 出有关线段的长度,然后把四边形 EBCF 的面积转化为ABC 和AEF 面积之 差来求. 试题解析: () 由于ABC 是等腰三角形,ADBC所以 AD 是CAB的平分线,又因 为圆 O 与 AB,AC 分别相切于 E,F,所以AEAF,故ADEF,所以EFBC. ()由()知AEAF,ADEF,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 为圆 O 的弦,所以 O 在 AD 上,连接 OE,OF,则OEAE,由 AG 等于圆 O 的半径得 AO=2OE,所以30OAE ,因此,ABC 和AEF 都是等边三角形,因为 2 3AE ,所以4,2,AOOE因为2,OMOE 1 3, 2 DMMN所 以 OD=1, 于 是 AD=5, 10 3 , 3 AB 所 以 四 边 形 DBCF 的 面 积 为 试卷第 12页,总 13页 2 2 110 331316 3 2 3. 232223 考点:本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力. 23 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线 1 cos , : sin, xt C yt (t 为参数,且0t ),其中 0, 在 以 O 为 极 点 ,x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线 23 :2sin ,:2 3cos .CC ()求 2 C与 3 C交点的直角坐标; ()若 1 C与 2 C相交于点 A, 1 C与 3 C相交于点 B,求 AB 最大值. 【答案】 () 3 3 0,0 , 22 ;()4. 【解析】 试 题 分 析 : ( ) 把 2 C与 3 C的 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 分 别 为 22 20 xyy, 22 2 30 xyx,联立解方程组可得交点坐标;()先确 定曲线 1 C极坐标方程为 ,0 , R 进一步
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